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EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ELASTICIDAD
Condiciones de equilibrio
1. Verdadero o falso: a) ∑ 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎 es suficiente para que exista el equilibrio estático. b) ∑ 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎 es necesario para que exista el equilibrio estático. c) En equilibrio estático, el momento resultante respecto a cualquier punto es nulo. d) Para que un objeto esté en equilibrio es necesario que sobre él no actúe ninguna fuerza. La condición de equilibrio estático es: ∑ 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎 i ∑ 𝝉𝝉 = 𝟎𝟎. **Por tanto, b y c son correctas.
- Un balancín de 4 m de longitud pivota en su centro. Un niño de 28 kg se sienta en uno de** los extremos. ¿Dónde debe sentarse un segundo niño de 40 kg para equilibrar el balancín? Para tener equilibrio el momento resultante ha de ser 0.
3. Como indica la figura, Misako realiza un ejercicio de levantar su cuerpo con las manos. Su centro de gravedad se encuentra directamente sobre el punto P del suelo, el cual dista 0,9 m de sus pies y 0,6 de sus manos. Si su masa es de 54 kg, ¿Cuál es la fuerza ejercida por el suelo sobre sus manos?
Operando: 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭𝟐𝟐 (𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭𝟐𝟐) ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝟐𝟐 +𝒅𝒅𝟏𝟏
4. Juan y Betina transportan un bloque de 60 kg sobre una taula de 4 m como indica la figura. La masa de la tabla es 10 kg. Como Juan pasa la mayor parte de su tiempo leyendo libros de cocina, mientras Betina practica la gimnasia, sitúan el bloque a 2,5 m de Juan y a 1,5 m de Betina. Determinar la fuerza en Newtons ejercida por cada una para transportar el bloque.
𝑭𝑭𝟏𝟏 + 𝑭𝑭𝟐𝟐 = (𝒎𝒎 𝟏𝟏 + 𝒎𝒎 𝟐𝟐)^ ∗ 𝒈𝒈
Considerando momentos sobre el centro del tablón: El tablón tiene 4 m, la distancia del bloque al centro del tablón son 0,5 m=d. 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟐𝟐 + 𝒎𝒎 (^) 𝟏𝟏 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒅𝒅 Operando, despejamos F 1 de la primera: 𝑭𝑭𝟏𝟏 = (𝒎𝒎 (^) 𝟏𝟏 + 𝒎𝒎 (^) 𝟐𝟐)^ ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭𝟐𝟐 Substituimos en la segunda y despejamos F 2 : 𝑭𝑭𝟐𝟐 = (𝒎𝒎 (^) 𝟏𝟏 +𝒎𝒎 (^) 𝟐𝟐)∗𝒈𝒈∗𝒅𝒅𝟏𝟏 −𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝒅𝒅 𝒅𝒅𝟐𝟐 +𝒅𝒅𝟏𝟏 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟎𝟎∗𝟗𝟗.𝟐𝟐∗𝟐𝟐−𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟗𝟗,𝟐𝟐∗𝟎𝟎,𝟓𝟓 𝟒𝟒 =^ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟗𝟗,^ 𝟓𝟓𝑵𝑵 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝟕𝟕𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗. 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟗𝟗. 𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟏𝟏𝟓𝟓. 𝟓𝟓 𝑵𝑵
Substituyendo:
𝑭𝑭𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝜽𝜽 = 𝝁𝝁𝒆𝒆 ∗ 𝑭𝑭𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 ; 𝝁𝝁𝒆𝒆 = 𝒕𝒕𝒈𝒈𝜽𝜽
b) Para el pie las fuerzas que actúan son las mismas, dado que el coeficiente e fricción depende de la tangente de ϴ , como la tangente aumenta con el ángulo en el primer cuadrante, la fricción también lo hará. c) Si los pasos son pequeños, el ángulo de inclinación se hace mayor y por ende el coeficiente de fricción también. Centro de gravedad
7. Verdadero o falso: el centro de gravedad se encuentra siempre en el centro geométrico del cuerpo. **Falso, depende de la distribución de masas del cuerpo.
- ¿Es necesario que exista materia en el centro de gravedad de un objeto?** No, por ejemplo, en un cascarón esférico uniforme el centro de gravedad estará en su **centro geométrico, y no hay masa en ese punto.
- Si la aceleración de la gravedad no es constante en todas las partes de un objeto, ¿es el** centro de masa o el centro de gravedad el que coincide con el punto pivote cuando el objeto está equilibrado? **Es el centro de gravedad el punto pivote.
- Dos esferas de radio R se encuentran sobre una tabla horizontal con sus centros** separados una distancia 4 R. Una esfera pesa el doble que la otra. ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad del sistema? Si consideramos la esfera de masa 2 M a la izquierda, en el origen de coordenadas, tendremos, el centro de gravedad en una posición x: 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ (𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹 − 𝒙𝒙); 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹 11. Un automóvil gravita al 58 por ciento de su peso sobre las ruedas delanteras. La distancia entre las ruedas delanteras y traseras es de 2 m. Determinar el centro de gravedad del automóvil respecto a las ruedas delanteras. Consideramos el origen de coordenadas en las ruedas delanteras, las ruedas traseras están a 2 m, el centro de gravedad en un punto x. 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 − 𝒙𝒙); 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒎𝒎 12. Cada uno de los objetos que se muestran en la figura se encuentra suspendido del techo mediante una cuerda atada al punto marcada con una x en ella. Describir mediante un diagrama la orientación de uno de los objetos suspendidos.
El centro de gravedad estará en el centro geométrico de las figuras. En el primer caso la figura rotará hasta que el centro de gravedad esté en la vertical con el punto de suspensión.
En el segundo caso:
Para el tercero:
15. Cuando el árbol que había frente a su casa fue cortado para ensanchar la carretera. Yoe hizo sonar su guitarra eléctrica con amplificador. Todo lo que quedó fue un tronco uniforme de 10 m en posición horizontal sobre dos soportes, esperando ser desmenuzado al día siguiente. Un soporte distaba 2 m del extremo izquierdo y el otro estaba a 4 m del extremo derecho. Determinar las fuerzas ejercidas sobre el tronco por los soportes, mientras Yoe tocaba una horrible melodía que tituló “Réquiem por un árbol caído”. La masa del árbol son 100 kg. La distancia del soporte de la izquierda al centro es de 3 m y la del soporte de la derecha de 1 m. 𝑭𝑭𝟏𝟏 + 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝒅𝒅𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟏𝟏 +𝒅𝒅𝟐𝟐^ =^
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟗𝟗,𝟐𝟐∗𝟑𝟑 𝟒𝟒 =^ 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟔𝟔^ 𝑵𝑵 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟓𝟓 𝑵𝑵
16. Un hombre utiliza una palanca de 1 m de longitud para levantar un pequeño cajón del suelo. La palanca tiene un punto de apoyo rígido a 10 cm de un extremo, como se indica en la figura. a) Si el hombre ejerce una fuerza hacia debajo de 600 N en un extremo de la barra, ¿Cuál es la fuerza hacia arriba ejercida sobre el cajón por el otro extremo? b) La relación entre las fuerzas ejercidas en los extremos de la barra se denomina ventaja mecánica de la palanca. ¿Cuál es en este caso la ventaja mecánica?
a) 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 (^) 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝑭𝑭𝟏𝟏𝒅𝒅^ ∗𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟐𝟐
b) 𝟐𝟐 = 𝑭𝑭 𝒇𝒇 =^
𝟓𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 =^ 𝟗𝟗
17. La figura muestra un balandro de 25 pies. El mástil es un palo uniforme de 120 kg soportado sobre cubierta y amarrado a proa y popa por cables del modo indicado. La tensión del cable de popa es de 1000 N. Determinar la tensión en el cable de proa y la fuerza que la cubierta ejerce sobre el mástil. ¿Existe alguna tendencia de que el mástil se deslice hacia la proa o la popa? Si fuera así, ¿Dónde debería colocarse un bloque para evitar el movimiento del mástil?
Dibujando las fuerzas que actúan sobre el mástil:
El ángulo de la proa es: 𝜽𝜽 (^) 𝑭𝑭 = 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 �^ 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟒𝟒 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐�^ =^ 𝟐𝟐𝟗𝟗,^ 𝟑𝟑º Aplicando un momento nulo respecto a la base del mástil, las únicas fuerzas con momento son las dos tensiones: 𝑻𝑻 (^) 𝑭𝑭 ∗ 𝒍𝒍 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝜽𝜽 (^) 𝑭𝑭 = 𝑻𝑻 (^) 𝑩𝑩 ∗ 𝒍𝒍 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 La tensión con la popa, T (^) B, es de 1000 N. 𝑻𝑻 (^) 𝑭𝑭 = 𝑻𝑻^ 𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏^ ∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓𝜽𝜽 𝒇𝒇
Aplicando el equilibrio de fuerzas: 𝑻𝑻 (^) 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 (^) 𝑭𝑭 − 𝑻𝑻 (^) 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟒𝟒𝟓𝟓 = 𝑭𝑭𝑫𝑫𝒙𝒙 ; 𝑭𝑭𝑫𝑫𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝟗𝟗, 𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟒𝟒𝟓𝟓 𝑭𝑭𝑫𝑫𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑 𝑵𝑵 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒓𝒓𝒅𝒅𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅𝒂𝒂 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒄𝒄𝒅𝒅𝒂𝒂 𝒍𝒍𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒓𝒓𝒆𝒆𝒄𝒄𝒉𝒉𝒂𝒂 𝑻𝑻 (^) 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝜽𝜽𝑭𝑭 + 𝑻𝑻 (^) 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝑭𝑭𝑫𝑫𝒚𝒚; 𝑭𝑭𝑫𝑫𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟐𝟐𝟗𝟗, 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝑫𝑫𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗𝟎𝟎 𝑵𝑵; 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒓𝒓𝒅𝒅𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅𝒂𝒂 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒄𝒄𝒅𝒅𝒂𝒂 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒓𝒓𝒅𝒅𝒃𝒃𝒂𝒂. La fuerza resultante del suelo sobre el mástil: 𝑭𝑭𝑫𝑫 = �𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑𝟐𝟐^ + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐^ = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟒𝟒𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 � (^) 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔𝟔𝟒𝟒𝟑𝟑𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟐𝟐º Si consideramos momentos de fuerzas respecto a la punta del mástil, la fuerza con momento es FD, , para contrarrestar su momento pondremos el bloque en la parte izquierda de la base.
18. El balandro de la figura se diferencia ligeramente del correspondiente al problema 17. La masa del mástil es de 150 kg y la tensión del cable de popa sigue siendo 1000 N. Determinar la tensión en cable de proa y la fuerza que el puente ejerce sobre el mástil. ¿existe alguna tendencia de que el mástil se deslice a proa o popa? Si así fuera, ¿dónde debería colocarse un bloque para evitar que el mástil se mueva?
De igual manera que en el problema anterior:
sobre la tabla con la cabeza sobre el fulcro, como indica la figura. La balanza está a dos metros del fulcro. El estudiante tiene una masa de 70 kg y cuando está sobre la tabla, la balanza marca 250 N. ¿Dónde está localizado el centro de gravedad del estudiante?
Tenemos tres fuerzas actuando, el peso del estudiante, la fuerza de la mesa en la cabeza del estudiante y la fuerza en los pies del estudiante. El momento resultante respecto al punto P ha de ser nulo. 𝑭𝑭𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 = 𝒘𝒘 ∗ 𝒙𝒙 ; 𝒙𝒙 = (^) 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎𝟎∗𝟗𝟗∗𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎
21. Un tablero de 3 m de longitud y 5 kg de masa está sujeto al suelo por una de sus extremos con una bisagra. Se aplica una fuerza vertical F por el otro extremo con el fin de levantar una caja de 60 kg, que se encuentra en reposo sobre el tablero a 80 cm de la bisagra, como se indica en la figura. a) Calcular la magnitud de la fuerza que es necesario aplicar para mantener el tablero estacionario y formando un ángulo 𝜽𝜽 = 𝟑𝟑𝟎𝟎º. b) Calcular a fuerza ejercida por la bisagra cuando 𝜽𝜽 = 𝟑𝟑𝟎𝟎º. c) Calcular la fuerza F y la fuerza ejercida por la bisagra si 𝜽𝜽 = 𝟑𝟑𝟎𝟎º y la fuerza se ejerce perpendicularmente al tablero.
a)
Considerando momento total respecto a la bisagra nulo: 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟔𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟔𝟔𝟎𝟎,𝟐𝟐+𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝟏𝟏∗𝟑𝟑 .𝟓𝟓∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎= (𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟐𝟐+𝟓𝟓∗𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟔𝟔𝟎𝟎.𝟓𝟓)∗𝟗𝟗∗𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎= (𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟎𝟎,𝟐𝟐+𝟓𝟓∗𝟏𝟏,𝟓𝟓)∗𝟗𝟗,𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟑𝟑 =^ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏,^ 𝟓𝟓^ 𝑵𝑵
b) Considerando la fuerza resultante cero: 𝑭𝑭𝑯𝑯 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭 = (𝟔𝟔𝟎𝟎 + 𝟓𝟓) ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏, 𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟓𝟓𝟔𝟔, 𝟐𝟐 𝑵𝑵 c)
Aplicamos momento nulo: 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟗𝟗𝟎𝟎,𝟐𝟐+𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝟏𝟏∗𝟑𝟑 .𝟓𝟓∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎= (𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟐𝟐+𝟓𝟓∗𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟗𝟗𝟎𝟎.𝟓𝟓)∗𝟗𝟗∗𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎= 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕 𝑵𝑵 Considerando fuerza resultante nula: 𝑭𝑭 (^) 𝑯𝑯𝒚𝒚 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑𝟎𝟎 = (𝟔𝟔𝟎𝟎 + 𝟓𝟓)^ ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝑭𝑭 (^) 𝑯𝑯𝒙𝒙 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟕𝟕𝟐𝟐, 𝟓𝟓 𝑵𝑵 𝑭𝑭𝑯𝑯 = �𝟓𝟓𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐^ + 𝟕𝟕𝟐𝟐, 𝟓𝟓 𝟐𝟐^ = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑵𝑵
22. Un cilindro de peso W se apoya en un sistema sin rozamiento formado por un plano inclinado 30º con la horizontal a la izquierda y otro inclinado 60º a la derecha, como muestra la figura. Determinar la fuerza ejercida por cada plano sobre el cilindro.
b) Considerando momento nulo respecto a A: 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟑𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍 = 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍 ; 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑵𝑵 ; c) 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟑𝟑𝟎𝟎 =^ 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎^ 𝑵𝑵 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒙𝒙 = 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐, 𝟔𝟔 𝑵𝑵 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒚𝒚 = 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 − 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝑵𝑵 Por tanto 𝑭𝑭𝑯𝑯 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐, 𝟔𝟔 𝑵𝑵 , 𝜽𝜽 = 𝟎𝟎º.
24. Una tabla horizontal de 8,0 m de longitud es utilizada por los piratas para castigar a sus víctimas en el llamado “paseo de la plancha”. Un pirata de 105 kg de masa se sitúa de pie en el extremo de la tabla en la cubierta del buque para evitar que se levante. Determinar la máxima distancia que la tabla puede sobresalir del costado del buque para que una víctima de 63 kg pueda andar hasta el otro extremo si a) La masa de la tabla es despreciable. b) La masa de la tabla es de 25 kg.
a) En este caso no tenemos mp. Tenemos el pirata en el extremo izquierdo de la tabla, en la parte derecha tenemos la víctima, el punto de apoyo es P. 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝟐𝟐 − 𝒙𝒙) = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒙𝒙 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝟐𝟐 𝒎𝒎+𝟐𝟐 =^
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓∗𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓+𝟔𝟔𝟑𝟑 =^ 𝟓𝟓^ 𝒎𝒎 b) En este caso si tendremos mp. 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝟐𝟐 − 𝒙𝒙) + 𝒎𝒎 (^) 𝒑𝒑 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝟒𝟒 − 𝒙𝒙) = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒙𝒙 𝒙𝒙 =
𝟐𝟐∗𝟐𝟐+𝒎𝒎 (^) 𝒑𝒑 ∗𝟒𝟒 𝒎𝒎+𝟐𝟐+𝒎𝒎 (^) 𝒑𝒑^ =^
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓∗𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟒𝟒 𝟔𝟔𝟑𝟑+𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓+𝟐𝟐𝟓𝟓 =^ 𝟒𝟒,^ 𝟐𝟐𝟕𝟕^ 𝒎𝒎
25. Dos jóvenes estudiantes planean una aventura de despedida de la universidad donde se han graduado: soltar miles de bolitas (canicas) en el vestíbulo del centro durante los exámenes finales. Para ello colocan una caja de 2 m x 1 m x 1 m sobre una taula rugosa y articulada por un extremo como muestra la figura y la llenan de bolitas. Cuando el edificio está en completo silencio, los jóvenes levantan lentamente un extremo de la tabla, incrementando poco a poco el ángulo ϴ del plano inclinado. Si el coeficiente de rozamiento estático es suficientemente grande para que la caja no deslice, ¿para qué ángulo volcará la caja?
La caja volcará cuando la fuerza peso se encuentre fuera de la su base:
𝒕𝒕𝒈𝒈𝜽𝜽 = 𝟎𝟎𝟏𝟏,𝟓𝟓 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈(𝟎𝟎, 𝟓𝟓) = 𝟐𝟐𝟔𝟔, 𝟔𝟔º
26. Una puerta uniforme de 18 kg, 2,0 m de alto y 0,8 m de ancho, cuelga de dos bisagras situadas una a 20 cm de la parte superior u otra a 20 cm de la parte inferior. Si cada bisagra soporta la mitad del peso de la puerta, determinar la dirección y magnitud de los componentes horizontales de las fuerzas ejercidas por las dos bisagras sobre la puerta.
Consideramos momentos respecto a la bisagra inferior: 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏, 𝟔𝟔 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒉𝒉 = 𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝟎𝟎,𝟒𝟒 𝟏𝟏,𝟔𝟔 =^
𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟗𝟗,𝟐𝟐𝟏𝟏∗𝟎𝟎,𝟒𝟒 𝟏𝟏,𝟔𝟔 =^ 𝟒𝟒𝟒𝟒,^ 𝟏𝟏^ 𝑵𝑵 Consideramos equilibrio de fuerzas horizontales: 𝑭𝑭`^ ′𝑯𝑯^ 𝒉𝒉= 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒉𝒉 = 𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟏𝟏 𝑵𝑵
27. Determinar la fuerza ejercida por el borde del escalón sobre la rueda justo cuando la rueda deja de apoyarse sobre la superficie del suelo.
El ángulo de la cuerda central es: 𝜽𝜽 (^) 𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝟔𝟔 𝟐𝟐� = 𝟒𝟒𝟏𝟏, 𝟒𝟒º 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 = (𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒈𝒈 )𝑵𝑵 𝑷𝑷 = (𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒈𝒈)𝑵𝑵
a) Considerando momentos respecto a la bisagra: 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍 + 𝑷𝑷 ∗ (^) 𝟐𝟐𝒍𝒍 = 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ (^) 𝟐𝟐𝒍𝒍 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝜽𝜽 (^) 𝟏𝟏 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒏𝒏𝜽𝜽 (^) 𝟏𝟏∗ �𝑻𝑻^ 𝟏𝟏^ +^
𝑷𝑷 𝟐𝟐 �^ =^
𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟏𝟏,𝟒𝟒 ∗^ (𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎^ +^ 𝟓𝟓𝟎𝟎)^ ∗ 𝟗𝟗,^ 𝟐𝟐𝟏𝟏^ =^ 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑𝟓𝟓𝟏𝟏^ 𝑵𝑵 b) Mirando el equilibrio de fuerzas: 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒙𝒙 = 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟒𝟒𝟏𝟏, 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑵𝑵 c) 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒚𝒚 = −𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒏𝒏𝟒𝟒𝟏𝟏, 𝟒𝟒 + 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 + 𝑷𝑷 𝑭𝑭𝑯𝑯𝒚𝒚 = −𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑𝟓𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟏𝟏, 𝟒𝟒 + 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 = −𝟑𝟑𝟗𝟗𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑵𝑵 La fuerza FHy está dirigida hacia abajo.
29. El trampolín de piscina que se muestra en la figura tiene una masa de 30 kg. Determinar la fuerza que actúa sobre los soportes cuando el saltador de 70 kg se encuentra de pie en el extremo de la tabla. Dar la dirección de cada fuerza sobre los soportes como tensión o compresión.
Considerando momentos respecto al punto O: 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟒𝟒, 𝟐𝟐 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟐𝟐, 𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝟒𝟒,𝟐𝟐+𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟐𝟐 =^
(𝟕𝟕𝟎𝟎∗𝟒𝟒,𝟐𝟐+𝟑𝟑𝟎𝟎∗𝟐𝟐,𝟏𝟏)∗𝟗𝟗,𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟐𝟐 =^ 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏𝟐𝟐^ 𝑵𝑵 Considerando momentos respectos al punto P: 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟑𝟑 + 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟎𝟎. 𝟗𝟗 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝟑𝟑+𝒎𝒎∗𝒈𝒈∗𝟎𝟎.𝟗𝟗 𝟏𝟏.𝟐𝟐 =^
(𝟕𝟕𝟎𝟎∗𝟑𝟑+𝟑𝟑𝟎𝟎∗𝟎𝟎,𝟗𝟗)∗𝟗𝟗.𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟐𝟐 =^ 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟑𝟑𝟕𝟕^ 𝑵𝑵 También podemos considerar equilibrio de fuerzas: 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 − 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗. 𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝟕𝟕𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗. 𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟑𝟑𝟕𝟕 𝑵𝑵 La reacción a F 2 actúa sobre el soporte, sentido hacia abajo, y es de compresión. Para F 1 , su reacción actúa sobre el soporte hacia arriba, es de tensión.
30. Calcular la fuerza ejercida por la articulación A sobre el puntal que se muestra en la figura si se supone a) Que la barra no tiene peso. b) Que el peso de la barra es de 20 N.
a) En este caso w no existe. Haciendo momentos: 𝑻𝑻 ∗ 𝑳𝑳 = 𝑾𝑾 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 𝑻𝑻 = 𝑾𝑾 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 = 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 Por equilibrio de fuerzas: 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝑾𝑾 − 𝑻𝑻 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟒𝟒𝟓𝟓 = 𝟔𝟔𝟎𝟎 − 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝑵𝑵
Considerando los momentos: 𝑻𝑻 (^) 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒏𝒏𝜽𝜽 (^) 𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗𝟗. 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓 + 𝑻𝑻 (^) 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟒𝟒𝟗𝟗𝟎𝟎𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 �𝟐𝟐𝟐𝟐^ +𝒙𝒙𝟐𝟐^ ∗ 𝒙𝒙^ =^ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎^ ∗ 𝟗𝟗.^ 𝟐𝟐𝟏𝟏^ ∗ 𝟓𝟓^ +^ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎^ ∗ 𝟗𝟗.^ 𝟐𝟐𝟏𝟏^ ∗ 𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟗𝟗𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟓𝟓𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ �𝟐𝟐𝟐𝟐^ + 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝟏𝟏, 𝟔𝟔 ∗ 𝒙𝒙 = �𝟐𝟐𝟐𝟐^ + 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝒙𝒙 𝟐𝟐^ = 𝟔𝟔𝟒𝟒 𝒙𝒙 = 𝟔𝟔, 𝟒𝟒 𝒎𝒎
33. Un cilindro de masa M y radio R rueda contra un escalón de altura h como indica la figura. Cuando una fuerza F se aplica a la parte alta del cilindro, éste permanece en reposo. a) ¿Cuál es la fuerza normal ejercida por el suelo sobre el cilindro? b) ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida por el borde del escalón sobre el cilindro? c) ¿Cuál es el componente vertical de la fuerza ejercida por el borde del escalón sobre el cilindro?
a) Aplicamos momento nulo: 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒍𝒍 = 𝑭𝑭𝒏𝒏 ∗ 𝒍𝒍 + 𝑭𝑭 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 − 𝒉𝒉) 𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭∗(𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉) 𝒍𝒍 Por otra parte: 𝒍𝒍 = �𝑹𝑹𝟐𝟐^ − (𝑹𝑹 − 𝒉𝒉)𝟐𝟐^ = √𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒉𝒉 − 𝒉𝒉𝟐𝟐
𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭∗(𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉) �𝟐𝟐∗𝑹𝑹∗𝒉𝒉−𝒉𝒉 𝟐𝟐^ =^ 𝟐𝟐^ ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭 ∗ � 𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉𝒉𝒉 b) Considerando suma nula de fuerzas horizontales:
c) Para las fuerzas verticales: 𝑭𝑭𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝑭𝑭𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭𝒏𝒏
𝑭𝑭𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 + 𝑭𝑭 ∗ �^ 𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉 𝒉𝒉 =^ 𝑭𝑭 ∗ �^
𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉 𝒉𝒉
34. Determinar la fuerza horizontal mínima F del cilindro del problema 33 para que suba al escalón sin deslizar sobre el borde. Aplicando las consideraciones del problema anterior:
𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭 ∗ � 𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉𝒉𝒉 Para subir, implica Fn =0.
𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 − 𝑭𝑭 ∗ � 𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉𝒉𝒉 ; 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ � (^) 𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝒉𝒉𝒉𝒉
35. Un hombre robusto sostiene un extremo de una barra de 3 m de longitud y masa 5 kg manteniéndola en posición horizontal (figura). a) ¿Qué fuerza total ejerce el hombre sobre la barra? b) ¿Qué momento total ejerce el hombre sobre la barra? c) Si el esfuerzo realizado por el hombre lo sustituimos por dos fuerzas que actúan en sentidos opuestos, separadas por la anchura de la mano del hombre, que es de 10 cm, ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones de las dos fuerzas?
a) Considerando equilibrio de fuerzas: 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟗𝟗 𝑵𝑵 b) El momento total ha de ser nulo, considerando momentos respecto al extremo libre: 𝟐𝟐𝑭𝑭 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒍𝒍 𝟐𝟐 =^ 𝟒𝟒𝟗𝟗^ ∗^
𝟑𝟑 𝟐𝟐 =^ 𝟕𝟕𝟑𝟑,^ 𝟓𝟓^ 𝑵𝑵^ 𝒎𝒎 c) Sea F 1 la fuerza hacia abajo y F 2 la fuerza hacia arriba. La fuerza F 1 actúa en el extremo de la barra y F 2 10 cm más allá. Considerando equilibrio de fuerzas: 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 + 𝑭𝑭𝟏𝟏 El momento total respecto del extremo libre ha de ser cero: 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍 + 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (^) 𝟐𝟐𝒍𝒍 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ (𝒍𝒍 − 𝟎𝟎, 𝟏𝟏) De las dos ecuaciones obtenemos: 𝑭𝑭𝟏𝟏 = � 𝒍𝒍 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎,^ 𝟏𝟏� ∗^
𝟐𝟐∗𝒈𝒈 𝟎𝟎,𝟏𝟏 =^
𝟏𝟏,𝟒𝟒∗𝟓𝟓∗𝟗𝟗,𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟏𝟏 =^ 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟔𝟔^ 𝑵𝑵 𝑭𝑭𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝟓𝟓 ∗ 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑵𝑵
36. Una compuerta que pesa 200 N está soportada por bisagras en la parte superior e inferior y además sujeta por un alambre como muestra la figura. a) ¿Cuál debe ser la tensión en el alambre para que la fuerza sobre la bisagra superior no tenga componente horizontal? b) ¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la bisagra inferior? c) ¿Cuáles son las fuerzas verticales sobre las bisagras?
