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Rotación
1. Dos puntos sobre un disco giran a velocidad angular constante: uno de ellos está en
el borde del disco y el otro a la mitad de distancia entre el borde y el eje. ¿Cuál de los
dos puntos recorre una mayor distancia en un tiempo determinado? ¿Cuál gira un
ángulo mayor? ¿Cuál posee mayor velocidad? ¿Y mayor velocidad angular? ¿Cuál
tiene mayor aceleración tangencial? ¿Y mayor aceleración angular? ¿Y mayor
aceleración centrípeta?
El que está más alejado recorre más distancia.
Los dos giran el mismo ángulo.
El que está más alejado tiene mayor velocidad lineal.
Los dos tienen la misma velocidad angular.
Los dos tienen la misma aceleración angular, el más alejado tiene más
aceleración tangencial.
El más alejado tiene mayor aceleración normal o centrípeta.
2. Verdadero o falso:
a) La velocidad angular y la velocidad lineal tiene las mismas dimensiones.
b) Todas las partes de una rueda giratoria tienen la misma velocidad angular.
c) Todas las partes de una rueda giratoria deben tener la misma aceleración
angular.
Falso, verdadero y verdadero.
3. Partiendo del reposo, un disco realiza 10 revoluciones hasta alcanzar la velocidad
angular ω. Con aceleración angular constante, ¿Cuántas revoluciones adicionales
debe realizar para alcanzar una velocidad 2 ω?
a) 10 rev b) 20 rev c) 30 rev d) 40 rev e) 50 rev
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
4. Una partícula se mueve en una circunferencia de radio 90 m con una velocidad de
módulo constante de 25 m/s.
a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo alrededor del centro de la
circunferencia?
b) ¿Cuántas revoluciones realiza en 30 s?
a) 𝝎 =
𝒗
𝑹
𝟐𝟓
𝟗𝟎
𝒓𝒂𝒅
𝒔
b) 𝚫𝜽 = 𝝎 ∗ 𝚫𝒕 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟖 ∗ 𝟑𝟎 = 𝟖, 𝟑𝟒 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
5. Una rueda parte del reposo y tiene aceleración angular constante de 2,6 rad/s
2
a) ¿Cuál es su velocidad angular después de 6 s?
b) ¿Qué ángulo habrá girado?
c) ¿Cuántas revoluciones habrá realizado?
d) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,3 m del eje de
rotación?
a) 𝝎 = 𝝎
𝒐
b) 𝜽 = 𝜽
𝒐
𝒐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
c) 𝟒𝟔, 𝟖 𝒓𝒂𝒅 ∗
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
d) 𝒗 = 𝝎 ∗ 𝑹
𝒕
𝟐
𝒏
𝒗
𝟐
𝑹
𝟐
𝒏
𝟐
𝟐
𝒕
𝟐
𝒏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
6. Un tocadiscos que gira a 33 1/3 rev/min se desconecta. Se frena con aceleración
angular constante y queda parada al cabo de 26 s.
a) Hallar la aceleración angular.
b) ¿Cuál es la velocidad angular media del tocadiscos?
c) ¿Cuántas revoluciones realiza antes de detenerse?
a) 𝜶 =
𝚫𝝎
𝚫𝒕
𝒐
𝒓𝒆𝒗
𝒎𝒊𝒏
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟏 𝒎𝒊𝒏
𝟔𝟎𝒔
𝟎−𝟑,𝟒𝟗
𝟐𝟔
𝟐
b) 𝝎
𝒎
𝚫𝜽
𝚫𝒕
𝒐
𝒐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝒎
𝚫𝜽
𝚫𝒕
𝟒𝟓,𝟒𝟓
𝟐𝟔
c) 𝟒𝟓, 𝟒𝟓 𝒓𝒂𝒅 ∗
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
7. Un disco de 12 cm de radio alrededor de su eje partiendo del reposo con aceleración
angular constante de 8 rad/s
2
. Al cabo de t= 5 s.
a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco?
b) ¿Cuál es la aceleración tangencial a t
y centrípeta a c
de un punto del borde del
disco?
a) 𝝎 = 𝝎
𝒐
b) 𝒂
𝒕
𝟐
𝒏
𝒗
𝟐
𝑹
𝟐
𝒏
𝟐
𝟐
8. Los locutores de radio que todavía utilizan discos de vinilo deben tener cuidado
cuando conectan discos grabados en directo. Mientras los álbumes gravados ene
estudio tienen espacios en blanco entre las canciones, los discos mencionados suelen
tener los aplausos del público. Si los niveles de volumen se dejan elevados cuando el
disco se conecta, suena como si la audiencia hubiera irrumpido súbitamente a través
de la pared. Si un disco que parte del reposo gira 10º en 0,5 s, ¿cuánto tiempo debe
esperar el locutor antes de que el disco alcance la velocidad angular requerida de 33
1/3 rev/min? Suponer aceleración angular constante.
𝒐
𝒐
𝟏
𝟐
𝟐
gravitatoria casera ante el próximo torneo interestelar de baloncesto. La petición de
David requeriría en la estación espacial una velocidad angular de
a) 4,4 10
- 2
rad/s b) 7,0 10
- 3
rad/s c) 0,28 rad/s d) - 0,22 rad/s e) 1300
rad/s
𝒏
𝟐
𝒂
𝒏
𝑹
𝟗,𝟖
𝟓,𝟏𝟎∗𝟏𝟎
𝟑
14. Una bicicleta tiene ruedas de 1,2 m de diámetro. El ciclista acelera desde el reposo
con aceleración constante hasta alcanzar la velocidad de 24 km/h en 14,0 segundos.
¿Cuál es la aceleración angular de las ruedas?
𝒌𝒎
𝒉
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝚫𝒘
𝚫𝒕
𝚫𝒗
𝚫𝒕∗𝑹
𝟔,𝟔𝟕−𝟎
𝟏𝟒,𝟎∗𝟎,𝟔
𝟐
15. La cinta de una “cassette” de vídeo VHS estándar tiene una longitud L=246 m; su
duración en funcionamiento es de 2,0 horas. (figura). Al comienzo, el carrete que
contiene la cinta tiene un radio externo de aproximadamente R=45 mm, mientras
que su radio interno es r= 12 mm aproximadamente. En cierto punto de su recorrido,
ambos carretes tienen la misma velocidad angular. Calcular esta velocidad angular
en rad/s y rev/min.
Cuando las dos velocidades son iguales:
=
𝒗
𝑹
𝒇
Las áreas totales son las mismas en las dos situaciones, dado que la cinta es la misma:
𝟐
𝟐
𝒇
𝟐
𝟐
𝒇
𝑹
𝟐
+𝒓
𝟐
𝟐
La velocidad lineal de la cinta es constante y su valor es:
𝒗 =
𝑳
𝑻
; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑳 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒏𝒕𝒂 𝒚 𝑻 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐.
Substituimos la expresión de R f
y v en la primera ecuación:
=
𝑳/𝑻
√
𝑹
𝟐
+𝒓
𝟐
𝟐
𝟐𝟒𝟔/(𝟐∗𝟑𝟔𝟎𝟎)
√
𝟎,𝟎𝟒𝟓
𝟐
+𝟎,𝟎𝟏𝟐
𝟐
𝟐
𝒓𝒂𝒅
𝒔
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅𝒓𝒂𝒅
𝟔𝟎 𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏
Momento de una fuerza, momento de inercia y segunda ley de Newton aplicada a la
rotación
16. Las dimensiones del momento de una fuerza son las mismas que las del
a) Impulso b) energía c) cantidad de movimiento d) ninguna de las
anteriores
Las dimensiones del momento son:
[
]
𝟑
−𝟐
𝑪𝒐𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝒚 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒏 ∶
[𝑾] = 𝑴 ∗ 𝑳
𝟑
−𝟐
17. El momento de inercia de un objeto de masa M
a) Es una propiedad intrínseca del objeto.
b) Depende de la elección del eje de rotación.
c) Es proporcional a M independientemente de la elección del eje.
d) Ambos (b) y (c) son correctos.
La opción correcta es la d. Depende de la masa y de los ejes de rotación.
18. ¿Puede un objeto seguir girando en ausencia del momento de una fuerza?
Si, con movimiento circular y uniforme.
19. El momento resultante aplicado, ¿incrementa siempre la velocidad angular de un
objeto?
El momento resultante hace variar la velocidad angular, pero puede aumentarla o
disminuirla.
20. Verdadero o falso:
a) Si la velocidad angular de un objeto es cero en algún momento, el momento
resultante que actúa sobre el objeto debe ser cero en ese instante.
b) El momento de inercia de un objeto depende de la localización del eje de
rotación.
c) El momento de inercia de un objeto depende de la velocidad angular del objeto.
A es falsa, el momento hace cambiar la velocidad angular, si fuera así un objeto
parado no podría ponerse a rotar o uno que se está parando permanecería en
reposo.
B es correcta, depende de la masa del objeto y de los ejes de rotación.
C es falsa.
b) ¿Cuáles el momento ejercido respecto al punto pivote?
c) Demostrar que 𝝉 = 𝑰𝜶 con 𝒂
𝒕
= 𝑳𝜶 da lugar a la misma aceleración tangencial
deducida en la parte (a).
a)
𝒕
𝒕
b) 𝝉 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝑳
c) 𝝉 = 𝒎 ∗ 𝑳
𝟐
𝒂
𝒕
𝑳
26. Una barra uniforme de masa M y longitud L pivota sobre un extremo y cuelga como
se muestra en la figura, de modo que puede oscilar sin rozamiento alrededor del
pivote. Una fuerza horizontal F o
golpea la barra durante un corto tiempo ∆t a una
distancia x por debajo del pibote como indica la figura.
a) Demostrar que la velocidad del centro de masas de la barra inmediatamente
después del golpe es v o
=3F
o
x∆t/2ML.
b) Determinar la fuerza suministrada por el pivote y demostrar que esta fuerza es
cero si x=2L/3. (Nota: el punto x=2L/3 se llama centro de percusión de la barra)
a) El centro de masas está en el centro (L/2). Por tanto, si la barra se mueve con
una velocidad angular ω:
𝒄𝒎
𝑳
𝟐
El momento de la fuerza aplicada:
𝒐
𝑭 𝒐
∗𝒙
𝑰
El momento de inercia de la barra respecto de un eje perpendicular en un extremo
es:
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑∗𝑭 𝒐
∗𝒙
𝑴∗𝑳
𝟐
Para un m.c.u.a:
𝟑∗𝑭
𝒐
∗𝒙∗∆𝒕
𝑴∗𝑳
𝟐
Por tanto:
𝒄𝒎
𝑳
𝟐
𝟑∗𝑭 𝒐
∗𝒙∗∆𝒕
𝟐∗𝑴∗𝑳
b) Sobre la barra actúen dos fuerzas la del pivote y la externa F o
Aplicando el teorema del impulso:
𝒑
𝒐
𝒄𝒎
𝒑
𝟑∗𝑭
𝒐
∗𝒙
𝟐∗𝑳
𝒐
Para x=2L/3:
𝒑
27. Un disco horizontal uniforme de masa M y radio R gira alrededor de su eje vertical
con una velocidad angular w. Cuando se sitúa sobre una superficie horizontal, el
coeficiente de rozamiento cinético entre el disco y la superficie es μ c
a) Determinar el momento d 𝝉 ejercido por la fuerza de rozamiento sobre un
elemento circular de radio r y anchura dr.
b) Determinar el momento resultante ejercido por el rozamiento sobre el disco.
c) Determinar el tiempo necesario para que el disco se detenga.
a) Sobre un trozo diferencial del disco actúa un diferencial de fuerza, su masa es
dm:
𝒄
𝒄
𝒄
Considerando un elemento diferencia de forma circular y anchura dr:
Substituyendo en la expresión del diferencial del momento:
𝟐
𝒄
La densidad superficial del disco es M/πR*
2
𝒄
𝟐
𝟐
b) Integramos la expresión anterior para todo el disco:
𝟐∗𝑴∗𝒈∗𝝁
𝒄
𝑹
𝟐
𝟐
𝑹
𝟎
𝟐
𝟑
𝒄
c) Suponiendo m.c.u.a.:
∆𝒘
∆𝒕
Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton para la rotación:
𝝉
𝑰
El momento de inercia de un disco es:
𝟏
𝟐
𝟐
La velocidad inicial es w i la final 0, la aceleración es negativa, con esto:
∆𝝎
𝜶
𝝎∗𝑰
𝝉
𝝎∗
𝟏
𝟐
∗𝑴∗𝑹
𝟐
𝟐
𝟑
∗𝑴∗𝒈∗𝝁
𝒄
∗𝑹
𝟑∗𝝎∗𝑹
𝟒∗𝒈∗𝝁 𝒄
Cálculo del momento de inercia
33. Utilizar el teorema de los ejes paralelos para hallar el momento de inercia de una
esfera maciza de masa M y radio R alrededor de un eje tangente a la esfera (figura).
𝒐
𝒄𝒎
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
𝟐
𝟕
𝟓
𝟐
34. Una rueda de vagón de 1,0 m de diámetro está formada por una llanta delgada de
masa 8 kg y seis radios, cada uno de los cuales tiene una masa de 1,2 kg. Determinar
el momento de inercia de la rueda respecto a su eje de rotación.
𝒓𝒖𝒆𝒅𝒂
𝒍𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂
𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝒔
𝒍𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂
𝟐
𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐
𝒄𝒎
𝑹
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝒓𝒖𝒆𝒅𝒂
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
𝒓𝒖𝒆𝒅𝒂
𝟐
𝟐
35. Dos masas puntuales m 1
y m 2
están separadas por una barra sin masa de longitud L.
a) Deducir una expresión para el momento de inercia de este sistema respecto a un
eje perpendicular a la barra que pasa a través de ésta por un punto situado a la
distancia x 1
de la masa m 1
b) Calcular dI/dx y demostrar que I es mínimo cuando el eje pasa por el centro de
masas del sistema.
a) 𝑰 = 𝒎
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
b)
𝒅𝑰
𝒅𝒙
𝟏
𝟐
Por la condición de mínimo:
𝟏
𝟐
𝒎 𝟐
∗𝑳
𝒎 𝟏
Coincide con la posición del centro de masas.
36. Una placa rectangular uniforme tiene una masa m y sus lados valen a y b.
a) Demostrar por integración que su momento de inercia respecto a un eje
perpendicular a la placa y que pasa por uno de sus vértices es 1/3 m(a
2
+b
2
b) ¿Cuál es el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de
masas y que sea perpendicular a la placa?
a)
𝟐
𝟐
𝒂,𝒃
𝟎,𝟎
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
b) 𝑰
𝒐
𝒄𝒎
𝟐
𝒄𝒎
𝒐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
𝒂
𝟐
𝟒
𝒃
𝟐
𝟒
𝒄𝒎
𝟏
𝟏𝟐
𝟐
𝟐
37. Dos jóvenes A y B están realizando un trabajo de investigación intensiva sobre el
“bastón acrobático giratorio teórico”. Ambos utilizan el mismo modelo de bastón:
Dos esferas uniformes, cada una de masa 500 g y radio 5 cm, montadas en los
extremos de una varilla uniforme de 30 cm de longitud y masa 60 g (figura). A y B
desean calcular el momento de inercia del bastón modelo respecto a un eje
perpendicular a la varilla que pasa por su centro. A utiliza la aproximación de que las
dos esferas pueden considerarse como partículas puntuales que distan 20 cm del eje
de rotación y que la masa de la varilla es despreciable. B , sin embargo, hace los
cálculos sin aproximaciones.
a) Comparar los resultados.
b) Si las esferas tuvieran la misma masa, pero fueran huecas, ¿aumentaría o
disminuiría la inercia de la rotación? Justificar la respuesta brevemente. No es
necesario calcular el nuevo valor de I.
a) 𝑰
𝑨
𝟐
𝟐
𝟐
𝑩
𝒆
𝒃
Para la esfera:
𝒆
𝟐
𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
𝒃
𝟏
𝟏𝟐
𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝑹
𝟐
𝑹
𝟏
[
𝒓
𝟒
𝟒
]
𝑹
𝟏
𝑹
𝟐
𝟏
𝟐
𝑴
𝒉∗𝝅∗(𝑹
𝟐
𝟐
−𝑹
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟒
𝟏
𝟒
Como:
𝟐
𝟒
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
40. Demostrar que el momento de inercia de una corteza esférica de radio R y masa m es
2/3mR
2
. Esto puede hacerse directamente por integración o, más fácilmente,
determinando el incremento del momento de inercia de una esfera sólida cuando
cambia su radio. Para hacer esto último demostrar en primer lugar que el momento
de inercia de una esfera sólida de densidad ρ es I=8/15 π ρ R
5
. Después, calcular la
variación dI del momento de inercia I para una variación dR del radio y tener en
cuenta que la masa de esta corteza es m=4πR
2
ρdR.
La esfera está formada por un conjunto de discos como el de la figura.
Cada disco tiene un momento de inercia dado por:
𝟏
𝟐
𝟐
Donde dm es:
𝟐
𝑴
𝟒
𝟑
∗𝝅∗𝑹
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒∗𝑹
𝟑
𝟐
Para la esfera el momento de inercia es:
∫ 𝒙
𝟐
∗𝒅𝒎= 𝟏
𝟐
𝟐
𝑹
−𝑹
𝟑
𝟒∗𝑹
𝟑
𝟐
𝟑∗𝑴
𝟖∗𝑹
𝟑
𝟒
𝑹
−𝑹
Teniendo en cuenta que 𝒛
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑∗𝑴
𝟖∗𝑹
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝑹
−𝑹
𝟑∗𝑴
𝟖∗𝑹
𝟑
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
𝑹
−𝑹
𝟐
𝟓
𝟐
En función de la densidad:
𝟒
𝟑
𝟑
𝟖
𝟏𝟓
𝟓
Si hacemos la diferencial de esta expresión:
𝟖
𝟑
𝟒
El diferencial de masa de una capa esférica será:
𝟐
De las dos expresiones eliminamos dR:
𝟐
𝟑
𝟐
Este es el momento de inercia de una capa. Por tanto, si la capa tiene una masa M y un
radio R:
𝟐
𝟑
𝟐
41. La densidad de la Tierra no es uniforme. Varia con la distancia r al centro de la Tierra
en la forma 𝝆 = 𝑪(𝟏, 𝟐𝟐 −
𝒓
𝑹
) , en donde R es el radio de la Tierra y C una constante.
a) Determinar C en función de la masa total M y el radio.
b) Determinar el momento de inercia de la Tierra.
a) 𝑴 = ∫
𝟐
𝑹
𝟎
𝟐
𝟏
𝑹
𝑹
𝟎
𝟑
𝑹
𝟎
𝟏,𝟐𝟐∗𝑹
𝟑
𝟑
𝑹
𝟑
𝟒
𝑴
𝑹
𝟑
b) Utilizando el momento de inercia de una capa esférica:
𝟖
𝟑
𝟒
Integrando:
𝟖
𝟑
𝟒
𝑹
𝟎
𝟖
𝟑
𝑴
𝑹
𝟑
𝒓
𝑹
𝟒
𝑹
𝟎
𝟖∗𝟎,𝟓𝟎𝟖∗𝑴∗𝝅
𝟑∗𝑹
𝟑
𝟒
𝒓
𝟓
𝑹
𝑹
𝟎
𝑹
𝟎
𝟒,𝟐𝟔∗𝑴
𝑹
𝟑
𝟏,𝟐𝟐∗𝑹
𝟓
𝟓
𝑹
𝟔
𝟔∗𝑹
𝟐
42. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un cono
homogéneo circular recto de altura H, radio de la base R y densidad ρ, respecto a su
eje de simetría.
44. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un disco delgado
uniforme de masa M y radio R respecto a un diámetro como eje de rotación.
𝟐
𝟐
Utilizamos:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝑹
−𝑹
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝒛
−𝒛
Para hacer la integral:
𝒛
𝑹
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝒛
−𝒛
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝑹
−𝑹
Usamos:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝑹
𝟒
∗ ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟐
( 𝒖
) ∗ 𝒄𝒐𝒔
𝟐
( 𝒖
) ∗ 𝒅𝒖
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
= 𝑹
𝟒
∗ ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟐
( 𝒖
) ∗ (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏
𝟐
( 𝒖
) ) ∗ 𝒅𝒖
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝟒
𝟐
𝟒
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
Aplicamos:
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏
𝒏−𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝒖)∗𝒔𝒆𝒏
𝒏−𝟏
(𝒖)
𝒏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
−𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
[
𝒄𝒐𝒔(𝒖)∗𝒔𝒆𝒏(𝒖)
𝟐
]
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
𝟏
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
[
𝒖
𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝒖)∗𝒔𝒆𝒏(𝒖)
𝟐
]
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( −𝟏
)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟏)
De la misma forma:
𝟒
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟏)
−𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝒄𝒐𝒔
( 𝒖
) ∗𝒔𝒆𝒏
𝟑
( 𝒖
)
𝟒
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
𝟑
𝟒
𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝒄𝒐𝒔
( 𝒖
) ∗𝒔𝒆𝒏
𝟑
( 𝒖
)
𝟒
𝟑∗𝒄𝒐𝒔
( 𝒖
) ∗𝒔𝒆𝒏
( 𝒖
)
𝟖
𝟑∗𝒖
𝟖
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
Por tanto:
𝟒
𝒄𝒐𝒔(𝒖)∗𝒔𝒆𝒏
𝟑
(𝒖)
𝟒
𝒄𝒐𝒔(𝒖)∗𝒔𝒆𝒏(𝒖)
𝟖
𝒖
𝟖
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(−𝟏)
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
( 𝟏
)
Podemos deshacer la sustitución:
𝒛
𝑹
𝒙
𝑹
𝒛
𝟐
𝑹
𝟐
Deshaciendo:
𝑹
𝟒
∗𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(
𝒛
𝑹
)
𝟖
𝑹∗𝒛
𝟑
∗
√ 𝟏−
𝒛
𝟐
𝑹
𝟐
𝟒
𝑹
𝟑
∗𝒙∗
√ 𝟏−
𝒛
𝟐
𝑹
𝟐
𝟖
−𝑹
𝑹
𝑹
𝟒
𝟖
Por tanto:
𝑹
𝟒
𝟖
𝑴
𝝅∗𝑹
𝟐
𝑹
𝟒
𝟒
𝟏
𝟒
𝟐
45. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un anillo
circular de radio R y masa M respecto a un diámetro como eje de rotación.
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝝅
𝟎
𝟑
𝟐
𝟐𝝅
𝟎
Usamos:
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏
𝒏−𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝒖)∗𝒔𝒆𝒏
𝒏−𝟏
(𝒖)
𝒏
𝟑
∗ [
𝜽
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒔𝒆𝒏𝜽
𝟐
]
𝟎
𝟐𝝅
𝟑
𝑴
𝟐∗𝝅∗𝑹
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
46. Un vendedor de helados junto a la carretera utiliza conos rotatorios para llamar la
atención de los viajeros. Cado cono gira alrededor de un eje de simetría que pasa por
el vértice. Los tamaños de los conos son variables y el propietario piensa si sería más
rentable energéticamente utilizar conos más pequeños o unos pocos muy grandes.
Para obtener una respuesta debe calcular el momento de inercia de un cono circular
recto homogéneo de altura H, radio de la base R y densidad ρ. ¿Cuál es el resultado?
Por teorema Steiner, para un disco diferencial del cono:
𝒙
𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐
𝟐
𝟐
a) 𝒗
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
𝟒
𝒄
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
b) 𝑰 = 𝟏 ∗ 𝟎, 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐
𝟐
49. Cuatro partículas de 2 kg están situadas en los vértices de un rectángulo de lados 3 y
2 m (figura).
a) Hallar el momento de inercia de este sistema alrededor del eje z.
b) El sistema se pone en rotación alrededor de este eje con energía cinética de 124
J. Hallar el número de revoluciones que el sistema realiza por minuto.
a) 𝑰 =
𝒊
𝒊
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
b) 𝑬
𝒄
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐∗𝑬
𝒄
𝑰
𝟐∗𝟏𝟐𝟒
𝟓𝟐
𝒓𝒂𝒅
𝒔
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟔𝟎 𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕
50. Una bola sólida de masa 1,4 kg y diámetro 15 cm, gira alrededor de su diámetro a 70
rev/min.
a) ¿Cuál es la energía cinética de rotación?
b) Si se suministran 2 J de energía a su energía de rotación, ¿Cuál será la nueva
velocidad angular de la bola?
a) 𝑰 =
𝟐
𝟓
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟓
𝟐
𝟐
𝟏
𝟓
𝟐
𝟕𝟎𝒓𝒆𝒗
𝒎𝒊𝒏
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟏 𝒎𝒊𝒏
𝟔𝟎 𝒔
𝟐
𝒄
b) 𝝎 = √
𝟐∗𝑬
𝒄
𝑰
𝟐∗𝟐,𝟎𝟖𝟒𝟔
𝟐
𝟓
∗𝟏,𝟒∗𝟎,𝟎𝟕𝟓
𝟐
𝟓∗𝟐,𝟎𝟖𝟒𝟔
𝟏,𝟒∗𝟎,𝟎𝟕𝟓
𝟐
𝒓𝒂𝒅
𝒔
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟔𝟎 𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕
51. Un motor desarrolla unpar de 400 N m a 3700 rev/min. Determinar la potencia
suministrada por el motor.
𝒓𝒆𝒗
𝒎𝒊𝒏
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟏 𝒎𝒊𝒏
𝟔𝟎 𝒔
𝟑
52. Dos masas puntuales m 1
y m 2
están conectadas por una varilla ligera de longitud L. El
conjunto gira alrededor de su centro de masas con velocidad angular w. Determinar
que la relación entre las energías cinéticas de las masas es
𝑬
𝒄𝟏
𝑬
𝒄𝟐
𝒎
𝟐
𝒎
𝟏
𝑬
𝒄𝟏
𝑬
𝒄𝟐
𝟏
𝟐
∗𝑰
𝟏
∗𝝎
𝟐
𝟏
𝟐
∗𝑰 𝟐
∗𝝎
𝟐
𝒎
𝟏
∗𝒓
𝟏
𝟐
𝒎
𝟐
∗𝒓
𝟐
𝟐
Por la definición del centro de masas:
𝒄𝒎
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒎
𝟐
𝒎
𝟏
𝒓
𝟏
𝒓
𝟐
𝑬
𝒄𝟏
𝑬
𝒄𝟐
𝒎
𝟏
𝒎
𝟐
𝒎
𝟐
𝟐
𝒎
𝟏
𝟐
𝒎
𝟐
𝒎
𝟏
53. Calcular la energía cinética de rotación de la Tierra y compararla con la energía
cinética del movimiento del centro de masas de la Tierra. Admitir que la Tierra es
una esfera homogénea de masa 6,0 10
24
kg y cuyo radio vale 6,4 10
6
m. El radio de la
órbita terrestre es 1,5 10
11
m.
𝟐
𝟓
𝟐
𝒄𝑹𝒐𝒕
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
𝟏𝒓𝒆𝒗
𝟐𝟒 𝒉
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟐
𝒄𝑹𝒐𝒕
𝟏
𝟓
𝟐𝟒
𝟔
𝟐
−𝟓
𝟐
𝟐𝟗
𝑬
𝒄𝒕𝒓𝒂𝒔𝒍𝒂
=
𝟏
𝟐
∗ 𝑴 ∗ 𝒗
𝟐
=
𝟏
𝟐
∗ 𝟔, 𝟎 ∗ 𝟏𝟎
𝟐𝟒
∗ (
𝟐∗𝝅∗𝟏,𝟓∗𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝒎
𝟑𝟔𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔
∗
𝟏 𝒅𝒊𝒂
𝟐𝟒 𝒉
∗
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
)
𝟐
= 𝟐, 𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎
𝟑𝟑
𝑱
𝑬 𝒄𝒕𝒓𝒂𝒔𝒍𝒂
𝑬
𝒄𝑹𝒐𝒕
~𝟏𝟎
𝟒
54. Un bloque de 2000 kg asciende a una velocidad constante de 8 cm/s mediante un
cable que pasa por una polea de masa despreciable y se arrolla al tambor de un
torna impulsado por un motor (figura). El radio del tambor es de 30 cm.
a) ¿Qué fuerza ejerce el cable?
b) ¿Qué momento ejerce la tensión del cable sobre el tambor?
c) ¿Cuál es la velocidad angular del tambor?
d) ¿Qué potencia debe desarrollar el motor para hacer girar el tambor del torno?
a) 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 = 𝟏𝟗, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
b) 𝑴 = 𝑻 ∗ 𝒓 = 𝟏𝟗, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
𝟑
c) 𝝎 =
𝒗
𝒓
𝟎,𝟎𝟖
𝟎,𝟑
d) 𝑷 = 𝑻 ∗ 𝒗 = 𝟏𝟗, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
𝟑
55. Un disco uniforme de masa M y radio R está sujeto de modo que puede girar
libremente respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del
disco. Se sujeta una pequeña partícula de masa m al borde del disco y en su parte
superior directamente encima del eje de rotación. El sistema se hace girar
inicialmente con suavidad.
a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco cuando la partícula se encuentra en el
punto más bajo de su trayectoria?
