Errores en Metodos Numericos, Ejercicios de Métodos Numéricos

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Curso de Métodos

Numéricos

Tipos de Errores y Evaluación de Funciones Usando Series Infinitas

M.S.M. Roberto Hernández Chávez:

Aproximaciones y errores de redondeo

• Para muchos problemas de ingeniería, no podemos obtener soluciones analíticas.
• Los métodos numéricos dan resultados aproximados, resultados que se acercan a la solución analítica exacta. No podemos calcular exactamente los errores asociados con los métodos numéricos.
• Sólo en raras ocasiones los datos dados son exactos, ya que se originan a partir de mediciones. Por lo tanto es probable que haya error en la información de entrada.

Algunas definiciones

• Exactitud: Es lo cerca que está el valor calculado

o medido del valor real.

• Precisión (o reproducibilidad): Es lo cerca que

está el valor calculado o medido de los valores

previamente calculados o medidos.

• Inexactitud (o sesgo): Una desviación sistemática

del valor real.

• Imprecisión (o incertidumbre): La magnitud de la

dispersión.

Diferencia entre Exactitud y Precisión

Incrementando la EXACTITUD ->



Incrementando la

PRESICIÓN

Exactitud baja, Precisión alta

Exactitud alta, Precisión baja

Exactitud alta, Precisión alta

Exactitud baja, Precisión baja

Definición de Error Verdadero

Valor verdadero = Aproximación + Error

Error Verdadero(Et)

Et = Valor verdadero – Valor aproximado

Una desventaja de esta definición es que no toma

en consideración el orden de la magnitud del valor

que se estima.

Por ejemplo un error de 1 cm es más significativo al

medir un remache que al medir un puente.

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Definición de Error Relativo

• Una forma de tomar en cuenta las magnitudes de

las cantidades que se evalúan es normalizar el

error respecto al valor verdadero.

• Error relativo porcentual verdadero (εt)

Valor verdadero

Error verdadero Error relativo fraccional verdadero

100 % Valor verdadero

Error verdadero  t  

• Para determinar una estimación del error sin conocer los valores verdaderos, se hace una aproximación considerando la aproximación anterior.
• Este proceso se repite varias veces de forma iterativa para calcular de forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones.
• El error relativo porcentual está dado por:

Aproximación en métodos iterativos

Aproximaciónactual

Aproximación actual-Aproximación anterior

 a  

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(+ / -)

Los signos de εa pueden ser positivos o negativos. Con frecuencia el signo del error no importa mucho y basta con que el valor absoluto sea menor que una tolerancia porcentual prefijada εs.

Criterio de paro en cálculos iterativos

• En los procesos iterativos que usaremos en este curso emplearemos el valor absoluto del error relativo y repetiremos los cálculos hasta que se cumpla la relación siguiente:
• Donde εs es la tolerancia porcentual prefijada.
• Es conveniente relacionar estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación. La tolerancia porcentual prefijada se puede determinar con el criterio siguiente y si se cumple puedes estar seguro de que el resultado es correcto, al menos en n cifras significativas:

 (^) a   s

s  (0.5  10 (2-n))%

Cómo trabajan los sistemas numéricos

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Series infinitas

es verdadera para cualquier x

Serie Armónica Alterada

• Es una serie que converge.
• Ejercicio: haz un programa en VBA que evalúe la serie, con n=1 hasta n=10. Muestra el resultado de cada iteración en un rango de 10 celdas de Excel.

Evaluación de Series Infinitas

• Con frecuencia las funciones se representan mediante series infinitas. En estos casos, entre más términos se agreguen a la serie, la aproximación será más una mejor aproximación al valor verdadero de la función. En este caso usaremos la función exponencial.

Valores de ex^ de acuerdo al número de términos

incluidos en la ecuación.

Número de

Términos (^) e

x

Diferencia