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Asignatura: E.S.O. CIENCIAS, Profesor: , Carrera: Economía, Universidad: UCLM
Tipo: Apuntes
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Módulo Dos
Educación Secundaria Para Adultos – Ámbito Científico y Tecnológico (^) 1
Módulo Dos
- I N D I C E –
Presentación
Diofanto de Alejandría fue un famoso matemático griego del que no se sabe con certeza cuándo nació. Lo que sí se sabe es la edad a la que murió, gracias al siguiente epitafio: “Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! Y la tumba dice con arte la medida de su edad. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena cuatro años con esta ciencia del cálculo, llego al término de su vida”. En este tema conoceremos un nuevo “idioma”, el lenguaje algebraico, y aprenderemos a utilizarlo para resolver problemas como éste.
1. Expresiones algebraicas
3ax + 2ay – 4xy Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones para reflejar de forma generalizada la relación que existe entre varias magnitudes y poder realizar un cálculo de esa relación en función de los valores que tomen las diferentes magnitudes. U EjemploU.- Expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular. Si suponemos que mide " x " metros de largo e " y " metros de ancho, obtendremos:
Perímetro: 2x + 2y ; Área: x · y
Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la
x
y
x
y
multiplicación acostumbra a no ponerse).
Otras expresiones algebraicas podrían ser: Suma de cuadrados: a^2 + b^2 Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y Suma de varias potencias de un número: a^4 + a^3 + a^2 + a
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por número y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el " valor numérico " de la expresión algebraica para los valores de las letras dados. En el ejemplo anterior, si el largo del terreno fueran 50 m ( x = 50) y el ancho 30 m ( y = 30 ), el valor numérico sería:
Perímetro = 2 · 50 + 2 · 30 = 100 + 60 = 160 m Área = 50 · 30 = 1500 m^2
Naturalmente debe observarse que el valor numérico de una expresión algebraica no es único sino que depende del valor que demos a las letras que intervienen en ella.
Ya puedes realizar la Tarea 1
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las letras que se indican: a) 2x2 – 3x + 4 para x = - b) 3x2 + 2xy – 5y para x = -1, y = 3
18 H Respuestas
Ejemplo:
Monomio Coeficiente Literal Grado 3axy^2 3 axy^2 -5z^3 -5 z 3 3 -4x -4 x 1 x^3 y^3 1 x^3 y^3
Son monomios semejantes entre sí aquellos que tienen la misma parte literal con los mismos exponentes.
U Ejemplo.- USon monomios semejantes: 2ax^4 y^3 ; -3ax 4 y^3 ; ax^4 y^3 ; 5ax^4 y^3 Mientras que por ejemplo Uno son semejantes a los anteriores: axy^3 ; 3a^2 x^4 y^3 ; 2bx^4 Por tanto:
Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente y siempre tendrán el mismo grado.
Indica cuales de los siguientes monomios son semejantes:
a) 2 x^3 b) 4 x^4 c) − 6 x^2 d) 54 x^3
e) − 2 x f) − 12 x^2 g) 54 x^3 h) − 10 x^4
19 H Respuestas
Ya puedes realizar la Tarea 2
Observar las siguientes operaciones:
U EjemploU.-
En el primer caso la resta de monomios se puede realizar mientras que en el segundo caso la suma no.
En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por tanto:
Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.
Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado es un polinomio como veremos en este tema.
U EjemploU.- Observa las siguientes operaciones con monomios:
a) 2ax^4 - 3ax^4 + 5ax^4 = 7ax^4 - 3ax^4 = 4 ax^4 b) 2x^3 - x + x^3 + 3x^3 +2x = 6x 3 + x
Como puedes observar, se suman o restan los coeficientes de los monomios que son semejantes. USi no lo son no pueden sumarse U, se deja la operación indicada.
Se multiplican todas las potencias de base x. Resultado: x^6 Se multiplican todas las potencias de base y. Resultado: y^7 Resultado final: 4ax^4 y^3 · x^2 y · 3ab 2 y^3 = 12a^2 b^2 x^6 y^7
Ya puedes realizar la Tarea 4
Realiza los siguientes productos de monomios: a) 4 x^2 ⋅ −( 2 x (^) )⋅ x = b) x^2^ ⋅ x ⋅ −( 3 x )= c) 2 x ⋅ −( 2 x (^) )⋅ 2 x =
d) 43 x^2 ⋅ −( 2 x )= 21 H Respuestas
Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.
Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.
U EjemploU.- Son polinomios las expresiones siguientes:
a) 4ax^4 y^3 + x^2 y + 3ab^2 y^3 b) 4x^4 -2x^3 + 3x^2 - 2x + 5
En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio. Por lo tanto, este polinomio tiene tres términos, cada uno con varias letras.
En el segundo caso, el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente: 5 en el caso b) y 0 (no existe) en el caso a)
Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio. x^2 y + 3aby^2 2x + 3 son ejemplos de binomios
Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio : el caso a) anterior o - 2x^3 + 3x^2 + 5 son dos trinomios. Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.
Respecto al U grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.
En el caso b) el grado es 4.
Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4, -2, 3, -2 y 5 respectivamente en el caso b).
"Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con una sola letra, que habitualmente será la x". En este caso a la letra se le suele llamar variable.
Indica el grado de cada uno de estos polinomios:
a) x^3^ − 3 x^2 − 5 x + 6
Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.
Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos , debemos sumar al primero el opuesto del segundo ; es decir, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados.
U EjemploU.- Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:
(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x )
Se calcula la suma: (4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( - 5x^3 + x^2 - 2x ) = 4x^4 - 7x^3 + 4x^2 - 4x + 5
4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5
(Observa que hemos cambiado el signo a todos los términos del polinomio sustraendo)
Dados los polinomios: P x ( (^) ) = − 3 x^4 − 5 x^2 + 1 Q x ( (^) ) = x^3 − 6 x + 3 R x ( (^) ) = 3 x^4 − 4 x^3 − 5 x^2 + 6
Calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
c) P(x) + Q(x) – R(x) 23 H Respuestas
Ya puedes realizar la Tarea 7
Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base").
En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.
En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.
Ejemplo:
No siempre se realiza la multiplicación como en esta imagen. También se pueden colocar todos los términos seguidos y sumar después los que son semejantes. Así:
U EjemploU; a) (2x + 3y)^2 = (2x) 2 + 2 · 2x · 3y + (3y) 2 = 4x^2 +12xy + 9y^2 b) (- x + 3)^2 = (-x) 2 + 2 · (-x) · 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9
Suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferencia de ellos mismos: (a + b) · (a - b) = a^2 - ab + ba + b 2 = a^2 - b 2
Siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados". Ejemplos: a) (x + 3) · (x – 3) = x^2 – 3^2 = x^2 - 9 b) (2a + 3b) · (2a – 3b) = (2a) 2 – (3b)^2 = 4a^2 – 9b^2
¿Por qué son útiles los productos notables? Si tenemos que hacer el cuadrado de un binomio de números podemos actuar de dos formas:
Como vemos en el ejemplo, es más fácil sumar y luego elevar al cuadrado que utilizar el desarrollo del producto notable, pero ¿Qué ocurre si en vez de tener un binomio formado por dos números, uno de ellos es una letra? Entonces no podemos sumar y elevar, quedando únicamente la segunda opción:
U Otras igualdades importantes pero menos utilizadas sonU: Cubo de una suma: (a + b) 3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 +b^3 Cuadrado de un trinomio: (a + b + c) 2 = a^2 + b^2 +c^2 + 2ab+ 2ac + 2bc
Ya puedes realizar la Tarea 8
15 B
La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. Veamos el proceso para dividir dos polinomios con un ejemplo:
1ª.- Que tenga infinitas soluciones y se denomina identidad.
U EjemploU.- 3b = b + b + b
Podemos dar cualquier valor a “b” y siempre se cumplirá la igualdad.
2ª.- Que tenga una sola solución y se denomina ecuación.
U EjemploU.- x = 3 + 1
Solamente dando el valor 4 a “x” se cumplirá la igualdad. (Puede haber casos en los que la ecuación no tenga solución y dará igualdades del tipo 3 = 7 o 1 = 2).
En toda ecuación se identifican unos elementos que la conforman:
U TérminosU : Son cada uno de los monomios que forman la ecuación. U MiembrosU : Son los polinomios que se encuentran a ambos lados del signo igual. El primer miembro a la izquierda del signo y el segundo a la derecha. U IncógnitaU: Es la parte literal (habitualmente x) que es objeto del cálculo.
U Primer miembro USegundo miembro 3 + 4(5 + x) = 3x - 1 Término Término Término Término
Las ecuaciones se clasifican según el grado del polinomio que las componen. De este modo podemos tener:
Ecuaciones de primer grado: 2x -1 = x + 2 Ecuaciones de segundo grado: 2x + 3 = x^2 – 5
Y así sucesivamente. En este módulo vamos a estudiar las de primer grado, siendo las de segundo objeto de estudio en posteriores módulos.
Ya puedes realizar la Tarea 10
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado:
a) 2x + 1 = 3x - b) x2 = 4 c) 2x2 = 3x + 1 d) 4x = 102 e) 2·(3x + 1) = 4·(2x – 5) 28 H Respuestas
Eliminación de denominadores
Si existen denominadores se eliminarán, aplicando el procedimiento del mínimo común múltiplo (M.C.M) (Recordar el cálculo del m.c.m. del Módulo 1). Es decir, se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores y éste se divide entre cada denominador antiguo, multiplicando el resultado por su respectivo numerador.
U EjemploU.-
2 x +^3 x =^5
El m.c.m de los denominadores 2 y 3 es 6. Ponemos el mismo denominador en los dos miembros. Lo dividimos por cada denominador antiguo y el resultado lo
