¡Descarga Análisis vectorial: elemento neutro, opuesto y dependencia lineal de vectores - Prof. del y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
1 El espacio vecorial IRn
1.1. De niciones
De nición 1.1.1 Sea V un conjunto no vacío. Se dice que V es un espacio vectorial
sobre IR si:
1. En V hay de nida una operación interna llamada suma, tal que se veri can las
siguientes propiedades:
a) Asociativa: (~u + ~v) + w~ = ~u + (~v + w~) ∀~u, ~v, ~w ∈ V.
b) Conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u, ∀~u, ~v ∈ V.
c) Existencia de elemento neutro: existe ~ 0 ∈ IRn/~u + ~0 = ~u, ∀~v ∈ V.
d) Existencia de elemento opuesto: ∀~u ∈ V, existe −~u ∈ V , tal que ~u + (−~u) =
(−~u) + ~u = ~ 0.
2. En V hay de nida una operación externa, producto por un escalar, veri cando:
a) λ(~u + ~v) = λ~u + λ~v, ∀λ ∈ IR, ~u, ~v ∈ V.
b) (λ + μ)~u = λ~u + μ~u ∀λ, μ ∈ IR, ~u ∈ V.
c) λ(μ~u) = (λμ)~u, ∀λ, μ ∈ IR, ~u ∈ V.
d) 1 ~u = ~u, ∀~u ∈ V.
A los elementos de V se les llama vectores y a los de IR escalares.
De nición 1.1.2 El conjunto IRn^ se de ne como
IRn^ =
~x^ =
x 1
xn
/x 1 , x 2 ,... , xn ∈ IR
Cada vector ~x ∈ IRn^ es una matriz columna. IRn^ con las operaciones suma de
matrices y producto de una matriz por un número real veri ca los axiomas de la
de nición de espacio vectorial, siendo ~0 =
y −~x =
−x 1
−xn
1.2. Dependencia e independencia lineal de vectores
De nición 1.2.1 El conjunto de vectores {~u 1 , ~u 2 ,... , ~up} ⊂ IRn^ se dice que es
un conjunto linealmente dependiente o que los vectores ~u 1 , ~u 2 ,... , ~up ∈ IRn^ son
linealmente dependientes si existen λ 1 , λ 2 ,... , λp ∈ IR no todos nulos tales que se
veri ca
λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 + · · · + λp~up = ~ 0.
De nición 1.2.2 Dados ~u 1 , ~u 2 ,... , ~up ∈ IRn^ y λ 1 , λ 2 ,... , λp ∈ IR, a la expresión
λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 + · · · + λp~up,
se le llama combinación lineal de los vectores ~u 1 , ~u 2 ,... , ~up.
Dados los vectores de IR^3 ~u 1 =
(^) , ~u 2 =
(^) , ~u 3 =
(^) , demostrar que son linealmente dependientes. Solución: Una combinación lineal de los vectores igualada a ~ 0 , λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 + λ 3 ~u 3 = ~ 0 ,
λ 1
(^) + λ 2
(^) + λ 3
da lugar al sistema homogéneno
λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 λ 1 − λ 2 + 3 λ 3 = 0 λ 1 + 2 λ 2 = 0. El sistema es compatible indeterminado, las in nitas soluciones son
λ 1 = − 2 α λ 2 = α λ 3 = α
, α ∈ IR.
Existen in nitas combinaciones lineales de ~u 1 , ~u 2 , ~u 3 iguales a ~ 0. Los vectores son linealmente dependientes.
Ejemplo 1.
De nición 1.2.3 El conjunto de vectores {~u 1 , ~u 2 ,... , ~up} ⊂ IRn^ se dice que es
un conjunto linealmente independiente o que los vectores ~u 1 , ~u 2 ,... , ~up ∈ IRn^ son
linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que vale ~ 0 es la
que tiene todos los coe cientes nulos, es decir,
λ 1 ~u 1 + λ 2 ~u 2 + · · · + λp~up = ~ 0 , λ 1 , λ 2 ,... , λp ∈ IR ⇒ λ 1 = λ 2 = · · · = λp = 0.
Dados los vectores ~u 1 =
(^) , ~u 2 =
(^) , ~u 3 =
(^) , demostrar que son linealmente independientes. Solución: Una combinación lineal de los vectores igualada a ~ 0 ,
λ 1
(^) + λ 2
(^) + λ 3
da lugar al sistema homogéneno
λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 λ 1 − λ 2 + 3 λ 3 = 0 2 λ 2 = 0. El sistema es compatible determinado, la única solución es la trivial λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Los vectores son linealmente independientes.
Ejemplo 2.
De nición 1.3.3 Todas las bases de IRn^ tienen n vectores. Se dice que n es la
dimensión de IRn^ y se representa por
dim(IRn) = n.
1.4. Coordenadas de un vector respecto a una base y dependencia lineal
Teorema 1.4.1 Sea B = {~u 1 ,... , ~un} una base de IRn. Todo vector ~u ∈ IRn^ se
puede expresar de manera única como combinación lineal de los vectores de B.
~u = λ 1 ~u 1 + · · · + λn~un.
A λ 1 ,.. ., λn se les llama coordenadas de ~u respecto de la base B.
De nición 1.4.1 A la base
Bc =
^ ,
^ ,... ,
se le llama base canónica de IRn.
Hallar las coordenadas de
(^) respecto de la base
B =
Solución: Hay que calcular λ 1 , λ 2 , λ 3 tales que
λ 1
(^) + λ 2
(^) + λ 3
El sistema (^)
λ 1 = 1 λ 1 + + 2 λ 3 = 2 λ 2 + λ 3 = 3 tiene solución única. La matriz ampliada:
Las coordenadas del vector respecto de la base B son λ 1 = 1, λ 2 = 5/ 2 , λ 3 = 1/ 2. Se representa:
Bc
B
Ejemplo 5.
Teorema 1.4.2 Sea el conjunto de vectores U = {~u 1 , ~u 2 ,... , ~up} ⊂ IRn^ y A la
matriz cuyas las (o columnas) están formadas por las coordenadas de los vectores
de U. Entonces
~u 1 , ~u 2 ,... , ~up son linealmente independientes ⇔ rg(A) = p = no^ de vectores.
Analizar la dependencia o independencia lineal de los vectores:
∈ IR^3.
Solución: Colocando los vectores por columnas:
A =
Rg(A) = 2 < 3 = no^ de vectores, son linealmente dependientes.
Ejemplo 6.
Analizar la dependencia o independencia lineal de los vectores:
∈ IR^3.
Solución: Colocando los vectores por las: A =
Rg(A) = 2 = no^ de vectores, son linealmente independientes.
Ejemplo 7.
Teorema 1.4.3 (Teorema fundamental de dependencia lineal).
~u 1 ,... , ~up ∈ IRn^ son linealmente independientes ⇒ p ≤ n.
Observación 1.4.1 La condición p ≤ n es condición necesaria para que los vec-
tores sean linealmente independientes.
p > n ⇒ ~u 1 ,... , ~up son linealmente dependientes.
Analizar la dependencia o independencia lineal de los vectores: ( (^1) 1
∈ IR^2.
Solución: Tres vectores de IR^2 , son linealmente dependientes.
Ejemplo 8.
1.5. Subespacios vectoriales. De nición
De nición 1.5.1 Sea y sea F ⊂ IRn, F 6 = ∅. Entonces se dice que F es un subespa-
cio vectorial de IRn, si a su vez F es un espacio vectorial sobre IR con las mismas
operaciones de IRn.
Teorema 1.5.1 Dado ∅ 6 = F ⊂ IRn^ es un subespacio vectorial de IRn^ si, y solo si
∀~u, ~v ∈ F, α, β ∈ IR ⇒ α~u + β~v ∈ F.
Demostrar que el conjunto F =
{( (^) x x
∈ IR^2 /α ∈ IR
, es un subespacio vec- torial de IR^2. Solución: F 6 = ∅. Sean
( (^) x 1 x 1
( (^) x 2 x 2
∈ F , α, β ∈ IR. Entonces:
α
( (^) x 1 x 1
( (^) x 2 x 2
( (^) αx 1 +^ βx 2 αx 1 + βx 2
∈ F.
Ejemplo 11.
De nición 1.5.2 F = {θ} = {~ 0 } y el mismo IRn^ son dos subespacios vectoriales
de IRn^ llamados triviales. Los demás se llaman propios.
Observación 1.5.1 Los subespcios vectoriales F ⊂ IRn^ poseen dimensión y bases.
Además
0 ≤ dim(F ) ≤ n.
Calcular la dimensión y una base del subespacio F =
{( (^) x x
/x ∈ IR
⊂ IR^2.
Solución: dim(F ) = 1 y una base B =
Ejemplo 12.
1.6. Subespacios generados por un conjunto de vectores
De nición 1.6.1 Dado el conjunto de vectores U = {~v 1 , ~v 2 ,... , ~vp} ⊂ IRn, se
de ne el subespacio vectorial generado por los vectores del conjunto U y se denota
por
F =< ~v 1 , ~v 2 ,... , ~vp >,
al subespacio vectorial formado por todos los vectores que son combinación lineal de
los vectores de U , es decir,
F = {~v ∈ IRn/existen λ 1 ,... , λp ∈ IR/~v = λ 1 ~v 1 + · · · + λp~vp}.
Al conjunto U se le llama conjunto generador de F o que los vectores ~v 1 , ~v 2 ,... , ~vp
generan F.
Calcular el subespacio F generado por los vectores
Soolución:
F =
α
(^) + β
(^) /α, β ∈ IR
α α β
(^) /α, β ∈ IR
Ejemplo 13.
1.6.1. Dimensión y base
Teorema 1.6.1 Sea F =< ~u 1 , ~u 2 ,... , ~up >, y A la matriz cuyas las son las
coordenadas de ~u 1 ,... , ~up. Entonces:
1. dim(F ) = rg(A).
2. Las las no nulas de una matriz escalonada equivalente por las a A son los
vectores de una base de F.
Calcular la dimensión y una base del subespacio
F =<
>⊂ IR^3.
Solución: Sea A =
La dim(F ) = 2 y una base BF =
Ejemplo 14.
Observación 1.6.1 Las las no nulas de la matriz de Hermite de A también es
una base de F.
Calcular la dimensión y una base del subespacio
F =<
>⊂ IR^3.
Solución: Sea A =
La dim(F ) = 2 y una base BF =
Ejemplo 15.
Calcular unas ecuaciones paramétricas del subespacio F generado por los vectores
Solución: Se tiene dim(F ) = 2 y una base BF =
Unas ecuaciones paramétricas de F son:
x 1 = λ 1 x 2 = 3λ 1 + λ 2 x 3 = 4λ 1 + λ 2
Ejemplo 17.
1.8. Ecuaciones cartesianas o implícitas de un subespacio
Teorema 1.8.1 Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = 0
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = 0
El conjunto formado por todas las soluciones del sistema es un subespacio vectorial
de IRn.
De nición 1.8.1 El conjunto de las ecuaciones del sistema homogéneo se dice que
son las ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio.
Observación 1.8.1 Al resolver el sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas
del susbespacio. Por tanto las ecuaciones paramétricas de un subespacio se pueden
interpretar como las soluciones de cierto sistema de ecuaciones homogéneo.
Calcular las ecuaciones paramétricas, una base y la dimensión del subespacio vectorial F ⊂ IR^3 formado por las soluciones del sistema x 1 + x 2 + x 3 = 0. Solución: Resolviendo el sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas:
x 1 = −α − β x 2 = α x 3 = β
Una base B =
,^ dim(F^ ) = 2.
Ejemplo 18.
Teorema 1.8.2 Sea F ⊂ IRn^ un subespacio vectorial. Se veri ca:
no^ de ecuaciones cartesianas = n − dim(F ).
Observación 1.8.2 Por el número de ecuaciones cartesianas se entiende como el
número de ecuaciones de un sistema escalonado equivalente. Se trata de un sistema
en el que no se pueden eliminar ecuaciones por transformaciones elementales.
Calcular la dimensión del subespacio F ⊂ IR^3 cuyas ecuaciones cartesianas son
x +2y +3z = 0 x −y = 0 −x −z = 0 Solución: A =
dim(F ) = 3 − no^ de ecuaciones = 1.
Ejemplo 19.
Calcular el número de ecuaciones cartesianas de F =<
Solución: no^ de ecuaciones: = 3 − dim(F ) = 3 − rg
Ejemplo 20.
1.8.1. De ecuaciones paramétricas a cartesianas
Dadas las ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial, las ecuaciones carte-
sianas se obtienen eliminando los parámetros.
Calcular las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial que tiene las siguientes ecuaciones paramétricas: (^)
x 1 = λ 1 x 2 = 3λ 1 + λ 2 x 3 = 4λ 1 + λ 2 Solución: Estas ecuaciones se pueden considerar como un sistema compatible no homogéneo de tes ecuaciones e incógnitas λ 1 , λ 2 , λ 3. La matriz ampliada:
(A|B) =
1 0 x 1 3 1 x 2 4 1 x 3
1 0 x 1 0 1 x 2 − 3 x 1 0 0 −x 1 − x 2 + x 3
Para que el sistema sea compatible debe ocurrir que x 1 + x 2 − x 3 = 0. Esta es la ecuación implícita del subespacio.
Ejemplo 21.
