Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se
llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además
cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina
ortonormal. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 1.
Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto
interno2. Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por: w1=
v1 Entonces B´ es una base ortogonal de V.3. Sea ui= wi ││w1││
entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de
V.Ejemplo: Forma alternativa del proceso de ortonormalización de
Gram-SchmidtDetermine una base ortonormal del espacio solución
del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales w+ x +
z= 02w+x + 2y+ 6z=0Solución: La matriz aumentada se reduce como
se sigue. --> Entonces cada solución del sistema es de la forma Una
base del espacio solución es: B= {v1, v2,} = {(-2,2,1,0), (1,-8,0,1)}.
Para hallar una base ortonormal B´= {u1, u2}, se usa la forma
alternativa del proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt como
sigue.
ESPACIO
VECTORIAL
CON
PRODUCTO
INTERNO
Y
SUS
PROPIEDADES.
DEFINICION
SISTEMAS
DE
ESVUACIONES
LINEALES
Producto Interno:Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una
operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u,
v>.Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real
‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes
axiomas:Propiedades:i. (v, v) ≥ 0ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.iii, (u, v +w) =
(u, v)+ (u, w)iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)v. (u, v) = (v, u)vi. (αu, v) = α(u,
v)vii. (u, αv) = α(u, v)Espacios con producto interior:El producto interior
euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que
definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros
posibles productos internos se usa la siguiente notación.u ●v = producto
punto (producto interior euclidiano para Rn)‹u, v› = producto interno general
para espacio vectorial V.Propiedades de los productos interiores:1. ‹0, v› =
‹v, 0› = 02. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›3. ‹u, cv› = c‹u, v›.Un espacio vectorial
con producto interno se denomina espacio con producto interno.
Base
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del
espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio,
haciendo uso de las operaciones en él
definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.
Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se
puede expresar como:
1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvnn
Dimensión Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en
cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede
demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
Para concluir que un conjunto S= { v1, v2,…, vn} es una base de un espacio vectorial V es
necesario saber que S satisface dos condiciones: que S genera a V y es linealmente
independiente.
Definición de Espacio Renglón y Espacio Columna de una matriz Sea A una matriz m x
n.
El espacio renglón de A es el subespacio de Rn generado por los vectores renglón de A.
El espacio columna de A es el subespacio de Rn generado por los vectores columna de A.
Estos dos comparten muchas propiedades, pero debido al conocimiento que se tiene sobre
las operaciones elementales en los renglones se empieza por considerar el espacio renglón
de una matriz. Cabe recordar que dos matrices son equivalentes por renglones si una
puede obtenerse a partir de la otra al aplicar operaciones elementales en los renglones. El
siguiente teorema establece que las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo
espacio renglón.
Base para el Espacio Renglón de una Matriz
Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que está en forma escalonada,
entonces los vectores renglón de B diferentes de
cero forman una base del espacio renglón de A.
Definición del Rango de una Matriz
La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se
denota por rango (A).
COMBINACIÓN
LINEAL.
INDEPENDENCIA
LINEAL.
BASE
ORTONORMAL,
PROCESO
DE
ORTONORMALIZACIÓN
DE
GRAM
-
SCHMIDT.
BASE
Y
DIMENSIÓN
DE
UN
ESPACIO
VECTORIAL,
CAMBIO
DE
BASE.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y
suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicación por un escalar
definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de
V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo,
en primer lugar, se demostrará un resultado que hace
relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es
en realidad sub espacio de V
Definición
de
subespacio
vectorial
y
sus
propiedades.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y
suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones
de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces
se dice que H es un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos
de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un
resultado que hace relativamente sencillo determinar si un
subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y
v en H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para
cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se
obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que
tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier
vector de la forma:
α1v1+α2v2+…+αnvn
donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación
lineal de v1,v2,…,vn.
Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como
i = (1,0,0);
j = (0,1,0);
k =(0,0,1)
V= (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)
Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.