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Algebra lineal y Geometr´´ ıa I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEM ATICAS´
- Aplicaciones lineales. N´ucleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.
Sean E y E 0 k-espacios vectoriales.
Definici´on 1.1. Una aplicaci´on E T ! E 0 es lineal si T (e + v) = T (e) + T (v) y T ( e) = T (e) o, lo que es equivalente, T ( e + μv) = T (e) + μT (v), cualesquiera que sean e, v 2 E y , μ 2 k.
Si E T ! E 0 es una aplicaci´on lineal la imagen del vector cero es el vector cero: T (0) = T (0e + 0v) = 0T (e) + 0T (v) = 0.
Ejemplo 1.2.
R 3 T ! R 2 (x, y, z) 7! (x + z + 2, y z)
No es lineal pues T (0, 0 , 0) = (2, 0) 6 = (0, 0)
- La aplicaci´on derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E !D E, es lineal : D( p(x) + μq(x)) = p 0 (x) + μq 0 (x) = D(p(x)) + μD(q(x)).
- La aplicaci´on
R 3 T ! R 2 (x, y, z) 7! (x + y, z 2 )
No es lineal ya que T ( (x, y, z)) no es igual T (x, y, z) para todo valor de .
T ( (x, y, z)) = T ( x, y, z) = ( x + y, ^2 z 2 ) 6 = ( x + y, z 2 ) = (x + y, z 2 ) = T (x, y, z).
La igualdad se da si 2 = , esto es, s´olo para = 0, 1
1.1. N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal.
Definici´on 1.3. Sea E T ! E 0 una aplicaci´on lineal, se definen su n´ucleo, ker T , y su imagen, Im T , por: ker T = {e 2 E : T (e) = 0} ✓ E Im T = {e 0 2 E 0 : e 0 = T (e) , para alg´un e 2 E} ✓ E 0
Teorema 1.4. Si E !T E 0 una aplicaci´on lineal, ker T es un subespacio vectorial de E e Im T es un subespacio vectorial de E 0 y se verifica la f´ormula de dimensi´on:
dim (^) k E = dim (^) k ker T + dim (^) k Im T
Demostraci´on.
- ker T es cerrado por combinaciones lineales: Si e, v 2 ker T y , μ 2 k se tiene que T ( e + μv) = T (e) + μT (v) = 0, lo que prueba que e + μv 2 ker T.
- Im T es cerrado por combinaciones lineales: Si T (e), T (v) 2 Im T y , μ 2 k se tiene que T (e) + μT (v) = T ( e + μv), lo que prueba que e + μv 2 Im T. 1
- Sea {v 1 ,... , v (^) m } una base de ker T. Ampliemos esta base para formar una base {v 1 ,... , v (^) m , e (^) m+1 ,... , e (^) n } de E. Tomando im´agenes por T , los vectores {T (v 1 ),... , T (v (^) m ), T (e (^) m+1 ),... , T (e (^) n )} generan Im T , y como T (v 1 ) = · · · = T (v (^) m ) = 0 por definici´on de n´ucleo, resulta que {T (e (^) m+1 ),... , T (e (^) n )} es un sistema de generadores de Im T. Probaremos que {T (e (^) m+1 ),... , T (e (^) n )} son linealmente independientes con lo que quedar´a demostrada la f´ormula. Si (^) m+1 T (e (^) m+1 ) + · · · + (^) n T (e (^) n ) = 0, por ser T lineal, T ( (^) m+1 e (^) m+1 + · · · + (^) n e (^) n ) = 0, por tanto el vector (^) m+1 e (^) m+1 + · · · + (^) n e (^) n pertenece a ker T , luego (^) m+1 e (^) m+1 + · · · + (^) n e (^) n = 0, ya que {e (^) m+1 ,... , e (^) n } generan un suplementario de ker T y como adem´as son linealmente independientes resulta que (^) m+1 = · · · = (^) n = 0. ⇤
Ejemplo 1.5. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3. Calculemos el n´ucleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales:
(a) Operador derivada: E !D E, definido por D(p(x)) = p 0 (x). (b) E T ! R, definida por T (p(x)) =
R 1
1 p(x)dx ker D = {p(x) 2 E : p 0 (x) = 0} = {polinomios constantes} = h 1 i. Im D = h 1 , x, x 2 i, pues la derivada de un polinomio de grado menor o igual que tres es un polinomio de grado menor o igual que 2. Im T es un subespacio vectorial de R y como Im T 6 = (0), ha de ser Im T = R = h 1 i, luego dim ker T = dim E dim Im T = 4 1 = 3. Calculemos una base del ker T : Z (^1)
1
(a + bx + cx 2 + dx 3 )dx = ax + b
x 2 2
x 3 3
x 4 4
1
= 2a +
c
luego
ker T = {a + bx + cx 2 + dx 3 2 E : 2a +
c = 0} = {a + bx 3 ax 2 + dx 3 : a, b, d 2 R}
= {a(1 3 x 2 ) + bx + dx 3 : a, b, d 2 R} = h 1 3 x 2 , x, x 3 i
1.2. Aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y biyectivas.
Definici´on 1.6. Sea E !T E 0 una aplicaci´on lineal. T es inyectiva o epiyectiva si como aplicaci´on de conjuntos lo es, esto es:
- T es inyectiva si siempre que T (e) = T (v) se deduce que e = v, cualesquiera que sean e, v 2 E
- T es epiyectiva si Im T = E 0.
T es biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Las aplicaciones lineales biyectivas se llaman isomorfismos. Un endomorfismo de E es una aplicaci´on lineal de E en si mismo, E T ! E. Se llaman automorfismos a los endomorfismos biyectivos.
Ejemplo 1.7.
- Sea V un subespacio vectorial de E, la inclusi´on natural
V ,! E v 7! v
es una aplicaci´on lineal inyectiva.
- Si E representa el espacio vectorial de los polinomios, p(x), de grado menor o igual que tres y E 0 el de los polinomios de grado menor o igual que dos, la aplicaci´on derivada
E D ! E 0 p(x) 7! p 0 (x)
- Aplicaciones lineales en coordenadas: Matrices
2.1. Matriz asociada a una aplicaci´on lineal.
Dada una aplicaci´on lineal E T ! E 0 y bases {e 1 ,... , e (^) n } de E y {e 01 ,... , e (^0) m } de E 0 , existe una ´unica matriz A = (a (^) ij ) 2 M (m ⇥ n, k) determinada por
T (e (^) j ) =
X^ m
i=
a (^) ij e (^0) i , para j = 1,... , n
A es la matriz asociada a T respecto de la las bases {e 1 ,... , e (^) n } de E y {e 01 ,... , e (^0) m } de E 0. Las columnas de A son las coordenadas de los vectores T (e 1 ),... , T (e (^) n ) respecto de la base {e 01 ,... , e (^0) m } de E 0. Si e = x 1 e 1 + · · · + x (^) n e (^) n y T (e) = x 01 e 01 + · · · + x (^0) m e (^0) m , la expresi´on en coordenadas de T es
T (x 1 ,... , x (^) n ) = (x 01 ,... , x (^0) m ) , siendo A ·
x (^1) .. . x (^) n
A =
x (^01) .. . x (^0) m
A (^) la expresi´on matricial del
sistema lineal que T define. Obs´ervese que:
- A es la matriz de coeficientes del sistema lineal anterior y ker T es el subespacio de solu- ciones del sistema homog´eneo asociado.
- Los vectores {T (e 1 ),... , T (e (^) n )} forman un sistema de generadores del subespacio imagen, Im T , luego su dimensi´on coincide con el rango de la matriz A y por tanto la dimensi´on del n´ucleo es la de E menos el rango de A
dim (^) k Im T = rg A , dim (^) k ker T = dim (^) k E rg A
Ejemplo 2.1. Dada la aplicaci´on lineal
R 3 T ! R 4 (x, y, z) 7! (x y, x + 2z, y, y + z)
calculemos su matriz asociada y probemos que T es inyectiva.
A =
B
B
C
C
A ,^ rg^ A^ = 3^ )^ dim^ R^ ker^ T^ = 3^ ^ 3 = 0^ )^ ker^ R^ T^ =^ {^0 }
Ejemplo 2.2. Sean {e 1 , e 2 , e 3 } una base de E y {e 01 e 02 , e 03 , e 04 } una base de E 0 y k = R.
Consid´erense la aplicaci´on lineal E T ! E 0 definida por T (e 1 ) = e 01 + e 02 e 03 , T (e 2 ) = 2e 02 e 04 , T (e 3 ) = 3e 01 + 3e 02 3 e (^03)
calculemos su expresi´on en coordenadas y bases y dimensiones de Im T y ker T.
La matriz asociada a T , por columnas, es A =
T (e 1 ) T (e 2 ) T (e 3 )
B
B
C
C
A
dim (^) R Im T = rg A = 2 , Im T = hT (e 1 ), T (e 2 )i = he 01 + e 02 e 0 3 , 2 e 01 e 04 i dim (^) R ker T = dim (^) R E rg A = 1
ker T ⌘
x + 3z = 0 x + 2y + 3z = 0 ker T = {( 3 z, 0 , z), z 2 R} = h( 3 , 0 , 1)i = h 3 e 1 + e 3 i
2.2. Matrices asociadas a la suma de aplicaciones lineales y al producto de una aplicaci´on lineal por un escalar.
Sean A = (a (^) ij ) y B = (b (^) ij ) las matrices asociadas a las aplicaciones lineales E f ! E 0 y
E
g ! E 0 respecto de la las bases {e 1 ,... , e (^) n } de E y {e 01 ,... , e (^0) m } de E 0.
- La matriz asociada a la aplicaci´on lineal suma f + g es la matriz A + B. En efecto:
(f + g)(e (^) j ) = f (e (^) j ) + g(e (^) j ) =
X^ m
i=
a (^) ij e (^0) i +
X^ m
i=
b (^) ij e (^0) i =
X^ m
i=
(a (^) ij + b (^) ij )e (^0) i
- La matriz asociada a la aplicaci´on lineal f es la matriz A. En efecto:
( f )(e (^) j ) = f (e (^) j ) =
X^ m
i=
a (^) ij e (^0) i =
X^ m
i=
aij e (^0) i
2.3. Matriz asociada a la composici´on de aplicaciones lineales.
E
f (^) //
g f
E 0
g (^) // E 00
Sea A = (a (^) ij ) la matriz asociada a f respecto de la las bases {e 1 ,... , e (^) n } de E y {e 01 ,... , e (^0) m } de E 0 y sea B = (b (^) ij ) la matriz asociada a g respecto de la las bases {e 01 ,... , e (^0) m } de E 0 y {e 001 ,... , e (^00) s } de E 00 , esto es:
f (e (^) j ) =
X^ m
i=
a (^) ij e (^0) i , para j = 1,... , n ; g(e (^0) i ) =
X^ s
k=
b (^) ki e (^00) k , para i = 1,... , m
La matriz asociada a g f respecto de las bases {e 1 ,... , e (^) n } de E y {e 001 ,... , e (^00) s } de E 00 es la matriz producto B · A. En efecto:
(g f )(e (^) j ) = g(f (e (^) j ) =
X^ m
i=
a (^) ij g(e (^0) i ) =
X^ m
i=
a (^) ij
Xs
k=
b (^) ki e (^00) k =
X^ s
k=
X^ m
i=
b (^) ki a (^) ij )e (^00) k =
X^ s
k=
(B · A) (^) kj e (^00) k
Ejemplo 2.3. Dadas las aplicaciones lineales
R 3 f ! R 2 (x, y, z) 7! (x y, y + 2z)
R 2
g ! R 3 (x, y) 7! (x + y, 2 y, x y)
Calculemos las matrices asociadas a f g y g f y la dimensi´on y una base del subespacio Im(f g) de R 2 y del subespacio Im(g f ) de R 3.
- Cambios de base
Sea {e 1 ,... , e (^) n } una base de E, que llamaremos base inicial o antigua, y {e¯ 1 ,... , e¯ (^) n } otra base de E, a la que nos referiremos como base nueva. Los vectores ¯e (^) j de la base nueva expresados como combinaci´on lineal de los de la base antigua, ¯e (^) j =
P (^) n i=1 b^ ij^ e^ i^ , definen la matriz B = (b (^) ij ) que expresa el cambio de base en el espacio vectorial E. La matriz de cambio de base B = (b (^) ij ) es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base nueva en funci´on de los de la antigua. La aplicaci´on lineal que realiza el cambio de base de matriz B es la aplicaci´on identidad respecto de las bases {¯e 1 ,... , e¯ (^) n } y {e 1 ,... , e (^) n }.
h¯e 1 ,... , ¯e (^) n i = E Id (^) B ! E = he 1 ,... , e (^) n i , Id (^) B (¯e (^) j ) = ¯e (^) j =
X^ n
i=
b (^) ij e (^) i ,
Es f´acil deducir las correspondientes f´ormulas cuando s´olo se cambia la base de E, A¯ = A · B, o s´olo la de E 0 , A¯ = B 0 ^1 · A.
En particular, si E T ! E un endomorfismo de E, A su matriz asociada respecto de la base {e 1 ,... , e (^) n } de E y A¯ es la matriz de T respecto de la nueva base {¯e 1 ,... , ¯e (^) n }, se tiene:
F´ormula de cambio de base para endomorfismos: A¯ = B ^1 · A · B
Ejemplo 3.2. Sea {e 1 , e 2 , e 3 } una base de E y E !T E el endomorfismo de E definido por:
T (e 1 ) = e 1 + 2e 2 e 3 , T (e 2 ) = 2e 1 e 3 , e 3 + e 2 2 ker T
(a) Averigemos si Im T y ker T son subespacios suplementarios. De e 3 + e 2 2 ker T se
deduce que T (e 3 ) = T (e 2 ), luego la matriz asociada es A =
A, y se
tiene: dim (^) R Im T = rg A = 2 y {T (e 1 ) = (1, 2 , 1), T (e 2 ) = (2, 0 , 1)} es una base de Im T. dim (^) R ker T = dim (^) R E dim (^) R Im T = 1 y {e 3 + e 2 = (0, 1 , 1)} es una base de ker T.
Los vectores {(1, 2 , 1), (2, 0 , 1), (0, 1 , 1)} forman una base de E pues su determi- nante es no nulo, luego Im T y ker T son subespacios suplementarios. (b) Calculemos la matriz A¯ de T respecto de la base { 2 e 1 + e 2 , e 2 e 3 , e 1 + e 2 e 3 }. La
matriz del cambio de base es B =
A, luego
A¯ = B ^1 · A · B =
A
(c) Sea {e 01 , e 02 , e 03 } una base del espacio vectorial E 0 y E T 0 ! E 0 la aplicaci´on lineal definida por T (e 1 ) = e 01 + e 2 , T (e 2 ) = e 01 e 02 , T (e 3 ) = e 02 + e (^03) Calculemos la matriz asociada a la composici´on T 0 T respecto de las bases { 2 e 1 + e 2 , e 2 e 3 , e 1 + e 2 e 3 } de E y {e 01 , e 02 , e 03 } de E 0. Las matrices A^0 de T 0 y C de T 0 T respecto de las bases {e 1 , e 2 , e 3 } de E y {e 01 , e 02 , e 03 } de E 0 son
A^0 =
A C = A 0 · A =
A
La matriz C¯ de T 0 T respecto de las bases { 2 e 1 + e 2 , e 2 e 3 , e 1 + e 2 e 3 } de E y {e 01 , e 02 , e 03 } de E 0 , viene dada por:
E
(T 0 T ) (^) C // E 0
E
Id (^) B
O O
(T 0 T ) (^) C¯
}^ >^ > }} }} }}
C^ ¯ = C · B =
A
- Problemas resueltos
- Sea T el endomorfismo de R 3 definido por
T (x, y, z) = (x + y, x + z, x y + 2z)
(a) Calcular la dimensi´on y una base de los subespacios ker T e Im T. (b) ¿Se verifica que R 3 = ker T Im T? En caso afirmativo, calcular las coordenadas del vector (1, 2 , 3) en la nueva base que la identificaci´on anterior define. (c) Determinar para que la imagen del vector e = ( , 1 , 0) pertenezca al subespacio generado por e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0).
Soluci´on. Las ecuaciones del endomorfismo y su matriz asociada respecto de la base {e 1 , e 2 , e 3 } son, respectivamente:
x + y = ¯x x + z = ¯y x y + 2z = ¯z
A = (T (e 1 ), T (e 2 ), T (e 3 )) =
A
Como T (e 3 ) = T (e 1 ) T (e 2 ) es rg A = 2. (a) dim(Im T ) = rg A = 2 e Im T = hT (e 1 ), T (e 2 )i.
dim(ker T ) = 3 rg A = 1 ker T = {(x, y, z) 2 R 3 : x + y = 0, x + z = 0} = h(1, 1 , 1)i
(b) ker T es un subespacio suplementario de Im T pues
det(T (e 1 ), T (e 2 ), e¯ 3 ) =
Si escribimos ¯e 1 = T (e 1 ), ¯e 2 = T (e 2 ), ¯e 3 = ¯e 3 , la matriz B del cambio de base es
B =
A
y las coordenadas del vector (1, 2 , 3) en la nueva base son: 0
@
x¯ y ¯ z ¯
A = B ^1 ·
A =
A .
(c) ( + 1, , 1) = T (e) 2 he 1 , e 2 i precisamente si rg(T (e), e 1 , e 2 ) = 2, es decir, si:
0 = det(T (e), e 1 , e 2 ) =
- Calcular la matriz asociada a la aplicaci´on lineal
R 3 T ! R 2 (x, y, z) 7! (x + 3y 2 z, y z)
en las bases {e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0), e 3 = (0, 0 , 1)} de R 3 y {u¯ 1 = (1, 1), u¯ 2 = (1, 1)} de R 2.
Soluci´on. El plano ⇡ y la recta r son subespacios suplementarios, pues ⇡ \ r = { 0 } ya que el sistema lineal determinado por sus ecuaciones tiene determinante no nulo. Por tanto, si elegimos como base (nueva) en R 3 {e¯ 1 , ¯e 2 , ¯e 3 }, siendo he¯ 1 , ¯e 2 i = ⇡ y he¯ 3 i = r bases respectivas de ⇡ y r, la matriz asociada a T en esta base es:
A¯ =
A ,
pues por la condicin (a) es T (¯e 1 ) = 3¯e 1 , T (¯e 2 ) = 3¯e 2 y de la condicin (b) se deduce que T (¯e 3 ) = e¯ 3 para algn 2 R. Calculemos bases de ⇡ y r:
⇡ = h¯e 1 = (1, 0 , 1), e¯ 2 = (0, 1 , 1)i ; r = he¯ 3 = ( 2 , 1 , 0)i.
Por ltimo, el de la matriz A¯ se determina imponiendo la condicin (c), pero para ello hay que efectuar previamente un cambio de base. Si A es la matriz de T en la base antigua y B es la matriz del cambio de base es:
A = B · A¯ · B ^1 =
A
A
A
A
y aplicando(c)
A ·
A =
A (^) , resulta = 2.
Y las ecuaciones de T son:
A ·
x y z
A =
¯x y ¯ z ¯
A
7 x 10 y 10 z = ¯x 5 x + 8y + 5z = ¯y 3 z = ¯z
- Problemas propuestos
- Sea R 3 f ! R 2 la aplicaci´on definida por: f (x, y, z) = (x y + z, x + y z)
Probar que es una aplicaci´on lineal y calcular bases y dimensi´on del n´ucleo y la imagen. ¿Es epiyectiva?
- Sea T : R 3! R 3 la aplicaci´on definida por:
T (x, y, z) = (y z, x + 4z, y + z)
Probar que es una aplicaci´on lineal. Hallar el n´ucleo y la imagen. ¿Es un isomorfismo?
- Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que 4. Se define la aplicaci´on T : E! E por T (p(x)) = (x 1)p 0 (x), siendo p 0 (x) la derivada del polinomio p(x).
(a) Demostrar que T es lineal. Calcular su n´ucleo y su imagen. (b) Calcular los polinomios p(x) tales que T (p(x)) = p(x).
- Sea T 2 End (^) k (E). Pru´ebese que el conjunto S de vectores que permanecen invariantes forman un subespacio vectorial.
- Sobre el espacio vectorial E de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales, se considera la aplicaci´on T : E! E definida por:
T
a b c d
5 a 3 b 6 a 4 b a + 92 b + 3c 2 d 6 a 3 b d
Probar que T es lineal y calcular su n´ucleo y su imagen.
- Sea f 2 End (^) k (E) tal que f 2 = Id. Pru´ebese que los subconjuntos E +^ y E ^ de E definidos por E +^ = {x 2 E : f (x) = x}, E ^ = {x 2 E : f (x) = x} son subespacios de E y se verifica E = E +^ E ^. Util´ıcese lo anterior para demostrar que toda funci´on real de variable real es suma, de manera ´unica, de una funci´on par m´as una impar.
- Sea T un endomorfismo idempotente, T 2 = T , del espacio vectorial E. Pru´ebese que la imagen de T est´a formada por los vectores invariantes por T y concl´uyase que
E = ker T Im T
- Calcular la matriz asociada a la aplicaci´on lineal
f : R 3! R 2 (x, y, z) 7! (x + 3y 2 z, y z)
en las bases {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} de R 3 y {(1, 1), (1, 1)} de R 2.
- Para cada n´umero real ✓, sea ⌧ (^) ✓ : R 3! R 3 la aplicaci´on definida por la f´ormula:
⌧ (^) ✓ (x, y, z) = (x cos ✓ y sin ✓, x sin ✓ + y cos ✓, z) (a) Pru´ebese que ⌧ (^) ✓ es un automorfismo del espacio vectorial R 3 y h´allese su matriz en la base est´andar del espacio. (b) Interpr´etese geom´etricamente la aplicaci´on ⌧ (^) ✓ y calc´ulense sus subespacios invariantes.
- Consid´erese la aplicaci´on lineal f : R 3! R 3 definida por f (x, y, z) = (2x + y, z, 0). Calcular su matriz y a partir de ella:
(a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio. (b) Hallar Im f y el rango de f. (c) ¿Pertenece (6, 2 , 0) al ker f ?.
- Sea E el espacio vectorial de las matrices reales de la forma
0 a b c
con a + b + c = 0.
Calcular una base de E y respecto de la misma calcular la matriz del endomorfismo T : E! E definido por: (^) ✓ 0 a b c
0 a 2 b 2 b 3 c 3 c a
Deducir de lo anterior bases de ker T e Im T.
- Hallar la matriz de una aplicaci´on lineal f : R 3! R 3 definida por las condiciones:
(a) f (1, 0 , 0) es proporcional a (0, 0 , 1). (b) f 2 = f. (c) ker f = {(x, y, z) 2 R 3 : x + z = 0}.
¿Es f ´unica?.
- Sea T : R 3! R 3 el endomorfismo T (x, y, z) = (y z, z x, x y). Se pide:
(a) Calcular la matriz de T en la base ordinaria. (b) Calcular la matriz de T en la base e 1 = (0, 1 , 1), e 2 = (1, 0 , 1), e 3 = ( 1 , 0 , 0). (c) Hallar una base de ker T , Im T , precisando sus dimensiones. (d ) Calcular una base de ker T 2. ¿Coincide este n´ucleo con el de T ?. Raz´onese la respuesta.
- Sea T el endomorfismo de R 3 cuya matriz en la base {e 1 , e 2 , e 3 } es
A. Hallar
la matriz de T en la base {e 01 , e 02 , e 03 } siendo:
e 1 = e 01 , e 2 =
e 02 , e 3 = e 03 + e 01
e (^02)
