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Cap´ıtulo 2
Espacios vectoriales
2.1. Primeras definiciones
Definici´on 2.1 Sea V un conjunto y K = R o C. Se dice que V es un espacio vectorial (e.v.) sobre el cuerpo K, si dadas las operaciones
- : V × V → V (operaci´on interna) (x, y) x + y · : K × V → V (operaci´on externa) (α, x) αx
se satisfacen las siguientes propiedades
Respecto de la suma: asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento opuesto. y respecto del producto por escalares i. (α + β)u = αu + βu, ∀α, β ∈ K ∀u ∈ V ii. α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ K ∀u, v ∈ V iii. (αβ)u = α(βu), ∀α, β ∈ K ∀u ∈ V iv. (1Ku) = u, ∀u ∈ V
A los elementos de V se les llama vectores y a los elementos de K escalares.
Ejemplo 2.1 Algunos ejemplos los encontramos en los vectores de Rn, en el conjunto de las matrices Mn×m(K) y el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n, que lo denotaremos Pn[x].
Proposici´on 2.1 Un subconjunto L ⊆ V con V e.v. se dice que es un subespacio vectorial de V si
i. u + v ∈ L ∀u, v ∈ L ii. αu ∈ L ∀α ∈ K, ∀u ∈ L
o equivalentemente αu + βv ∈ L ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ L
Nota 2.1 Una condici´on necesaria para que un conjunto L ⊆ V sea subespacio vectorial es que OV ∈ L.
Ejercicio 2.1 Probar que los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios indi- cados.
- L = {(x, 0) | x ∈ R} de V = R^2
- L = {(x, 0) | x ∈ R} ∪ {(0, y) | y ∈ R} de V = R^2
- L =
{( (^) a 0 0 a
| a ∈ R
de M 2 (R)
- L = {a + ax | a ∈ R} de P 1 [x].
Nota 2.2 Otro ejemplo de espacio vectorial es el de la funciones con operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalares. Algunos subespacios vectoriales suyos los encon- tramos en las funciones continuas, derivables e integrables.
1. L + M = V
2. L ∩ M = OV
En esta situaci´on se dice que V es suma directa de los subespacios L y M , y se representa V = L ⊕ M.
2.1.2. Subespacio engendrado por un conjunto
Proposici´on 2.2 Sea L = {l 1 ,... , ln} un conjunto de vectores. Entonces
< L >=
{ (^) ∑n
i=
αili = α 1 l 1 + α 2 l 2... + αnln | αi ∈ K i = 1, 2 ,... , n
es un subespacio vectorial y se llama subespacio engendrado o generado por L. Adem´as, La expresi´on que aparece en (2.1) recibe el nombre de combinaci´on lineal de l 1 ,... , ln.
Demostraci´on. Comprobamos las dos propiedades de la Proposici´on 2.
En el caso de la propiedad i., sean x, y ∈< L >; estos vectores se pueden escribir como una combinaci´on lineal de l 1 ,... , ln
x =
∑^ n i=
αili = α 1 l 1 + α 2 l 2... + αnln, y =
∑^ n i=
βili = β 1 l 1 + β 2 l 2... + βnln
Si sumamos los vectores x e y y aplicamos la propiedad distributiva respecto de la suma de escalares, obtenemos
x + y = (α 1 l 1 + α 2 l 2... + αnln) + (β 1 l 1 + β 2 l 2... + βnln) = (α 1 + β 1 )l 1 + (α 2 + β 2 )l 2... + (αn + βn)ln =
∑^ n i=
(αi + βi)li
y como es una combinaci´on lineal de l 1 ,... , ln se cumple que x + y ∈< L >.
En el caso de la propiedad ii., sean x ∈< L > y por tanto se puede escribir como una combinaci´on lineal de l 1 ,... , ln
x =
∑^ n i=
αili = α 1 l 1 + α 2 l 2... + αnln,
y λ un escalar. Si multiplicamos el escalar λ por el vector x y aplicamos la propiedad distributiva con respecto del producto por escalares, obtenemos
λx = λ (α 1 l 1 + α 2 l 2... + αnln) = (λα 1 )l 1 + (λα 2 )l 2... + (λαn)ln =
∑^ n i=
(λαi)li
y como es una combinaci´on lineal de l 1 ,... , ln se cumple que λx ∈< L >.
Nota 2.
La proposici´on anterior es muy ´util en la pr´actica para demostrar que un conjunto es un subespacio vectorial. Si S es un subespacio vectorial que contiene a L (L ⊆ S), entonces < L >⊆ S. En otras palabras, < L > es el menor subespacio que contiene a L.
Ejemplo 2.2 Prueba que los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales
- A = {(x, x, y, y, z) | x, y, z ∈ R}
- B =
a a b b
| a, b ∈ R
- C = {a + ax + bx^2 + bx^4 + cx^5 , | a, b, c ∈ R}
Definici´on 2.3 Sean L 1 y L 2 dos conjuntos de vectores. Se dice que son equivalentes si
< L 1 >=< L 2 >
- Comprobar que los siguientes sistemas de vectores son generadores a) {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1), (1, 1 , 1)} de R^3 b) {(1, 0 , 0), (1, 1 , 0), (1, 1 , 1)} de R^3 c)
de M 2 (R)
d)
de M 2 (R) e) { 1 , x, x^2 , x^3 } de P 3 [x] f) { 1 , 1 + 2x, 3 + x^2 , 1 + x + x^3 } de P 3 [x]
- Determinar si {(1, 1 , 0), (1, 1 , 1), (− 1 , 1 , 2), (0, 1 , 1)} es un sistema generador de R^3.
2.3. Dependencia e independencia lineal
Definici´on 2.5 Sea S = {u 1 ,... , un} ⊆ V un conjunto de vectores. Se dice que u 1 ,... , un son linealmente dependientes o que S es un sistema ligado, si existen α 1 ,... , αn ∈ K no todos nulos tales que (^) n ∑ i=
αiui = OV (2.2)
Definici´on 2.6 Sea S = {u 1 ,... , un} ⊆ V un conjunto de vectores. Se dice que u 1 ,... , un son linealmente independientes o que S es un sistema libre, si la ´unica soluci´on de la ecuaci´on (^) ∑n
i=
αiui = OV (2.3)
es la soluci´on trivial, es decir, α 1 =... = αn = 0K.
Nota 2.5 Supongamos que u 1 ,... , un son linealmente dependientes ∑^ n i=
αiui = OV
donde por ejemplo α 1 ̸= 0K. Entonces u 1 es combinaci´on lineal de u 2 ,... , un ya que
α 1 u 1 = −
∑^ n i=
αiui ⇐⇒ α 1 ̸= 0K
u 1 = −
∑^ n i=
(αi/α 1 )ui.
Ejemplo 2.3 Sean los vectores: u 1 = (1, 0 , 1 , 0), u 2 = (0, 1 , 0 , 0), u 3 = (2, 3 , 2 , 0) y u 4 = (1, 1 , 1 , 1). Considerar el subespacio vectorial engendrado por estos vectores
L =< u 1 , u 2 , u 3 , u 4 >= {α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 + α 4 u 4 | αi ∈ R, i = 1, 2 , 3 , 4 }
Los vectores u 1 , u 2 , u 3 , u 4 son linealmente dependientes ya que
(2α)u 1 + (3α)u 2 + (−α)u 3 + 0u 4 = (0, 0 , 0 , 0) (2.4)
donde α puede ser cualquier escalar. Si uno observa, por ejemplo, que u 3 = 2u 1 + 3u 2 , los elementos del subespacio vectorial L pueden escribirse en t´erminos de los vectores u 1 , u 2 , u 4 ya que
α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 + α 4 u 4 = α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 (2u 1 + 3u 2 ) + α 4 u 4 = (α 1 + 2α 3 )u 1 + (α 2 + 3α 3 )u 2 + α 4 u 4 = β 1 u 1 + β 2 u 2 + β 4 u 4
donde β 1 = α 1 + 2α 3 , β 2 = α 2 + 3α 3 y β 4 = α 4. Por tanto, tambi´en se tiene
L =< u 1 , u 2 , u 4 >
d´onde hemos eliminado el vector u 3 ya que lo hemos podido escribir como combinaci´on lineal de otros vectores del sistema generador de L.
De la misma forma podr´ıamos haber eliminado los vectores u 1 y u 2 : L =< u 1 , u 2 , u 3 , u 4 >=< u 2 , u 3 , u 4 >=< u 1 , u 3 , u 4 >=< u 1 , u 2 , u 4 >
Observa que siempre aparece el vector u 4 (es decir, que no lo podemos eliminar) ya que no se puede escribir como combinaci´on lineal de los vectores u 1 , u 2 , u 3. Esto se identifica f´acilmente con el coeficiente “0”que aparece en la combinaci´on lineal (2.4).
2. S =
⊂ M 2 (R)
- S = { 1 , x} ⊂ P 1 [x].
- S = {1 + x, 2 + 2x, 3 + 3x} ⊂ P 1 [x].
- Decir si los vectores {(1, 1 , 2), (1, 2 , 1), (3, 1 , 1)} son linealmente dependientes o independientes.
- Comprobar si los siguientes sistemas de matrices {( 1 0 0 0
son linealmente independientes.
- Determinar el valor que ha de tomar k para que los vectores
{(4, 1 , 2), (5, 2 , 1), (2, k, 4)}
sean linealmente dependientes.
- Se considera el espacio vectorial M 2 (R). Probar que son linealmente dependientes o independientes
- Probar que los polinomios p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1, q(x) = 2x^3 + x^2 + x + 3 y r(x) = x^2 + 2, son linealmente independientes. ¿Pertenece el polinomio s(x) = −x^3 + 3x^2 + 2 al espacio engendrado por A = {p(x), q(x), r(x)}?
- Si OV ∈ S, ¿puede ser S un sistema libre?
- Dados los vectores v 1 = (− 2 , 5 , 7), v 2 = (3, 5 , −3), v 3 = (0, 5 , 0) y v 4 = (4, − 1 , 2), expresar v 4 como combinaci´on lineal de v 1 , v 2 y v 3.
2.4. Base y dimensi´on de un espacio vectorial
Definici´on 2.7 Un conjunto de vectores linealmente independientes que sean sistema ge- nerador de un espacio vectorial se llama base del espacio vectorial.
Proposici´on 2.3 Sea S = {u 1 ,... , un} una base de un espacio vectorial V , entonces todo elemento de V se puede escribir de forma ´unica como combinaci´on lineal de S.
Demostraci´on. Por R.A.
Supongamos lo contrario, es decir, que existe v ∈ V tal que
v =
∑^ n i=
αiui v =
∑^ n i=
βiui
con αi ̸= βi para alg´un i. Igualando las expresiones anteriores obtenemos ∑^ n i=
αiui =
∑^ n i=
βiui ⇐⇒
∑^ n i=
(αi − βi)ui = OV
con αi − βi ̸= 0K para alg´un i. En consecuencia u 1 ,... , un son linealmente dependientes. Contradicci´on con que S sea una base.
Ejemplo 2.5 Unas bases importantes de los espacios con los que estamos trabajando son las can´onicas:
BC = {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} de R^3 BC =
de M 2 (R)
BC = { 1 , x, x^2 , x^3 } de P 3 [x]
Ejercicio 2.7 Calcular una base para el subespacio vectorial
L = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 | x 1 + x 2 − x 3 = 0}
Ejercicio 2.8 Aplicar las Proposiciones 2.5 y 2.6 para probar que
B = {(1, 2 , −1), (0, 1 , 1), (1, − 1 , 1)}
es base de R^3.
Proposici´on 2.7 Sea V un e.v. y L ⊆ V un subespacio vectorial de V. Entonces
dim(L) ≤ dim(V )
Adem´as, si dim(L) = dim(V ) entonces L = V.
Corolario 2.1 Sean V un e.v. y L 1 , L 2 dos subespacios de V. Entonces
dim(L 1 ∩ L 2 ) ≤ m´ın{dim(L 1 ), dim(L 2 )}
Demostraci´on. Se propone como ejercicio.
Teorema 2.4 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Entonces,
dim(L) + dim(M ) = dim(L + M ) + dim(L ∩ M )
En el caso particular que L y M sean complementarios respecto de V , se tiene
dim(V ) = dim(L + M ) dim(L) + dim(M ) = dim(L + M )
Ejercicio 2.
- Sea V = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ∈ R^5 | x 1 − x 2 + x 3 = 0 y x 2 + x 4 + x 5 = 0}. Pro- bar que es subespacio vectorial de R^5 y hallar una base de V.
- Prueba que E =
a b c d
| a = b − 3 c, c = d
es un subespacio vectorial de M 2 (R) y halla su dimensi´on.
- Probar que
B 1 =
1 + x + 2x^2 , 3 − x, 2 x + x^2
y B 2 =
−1 + 2x + x^2 , 3 − x^2 , 1 + x + 2x^2
son bases del espacio vectorial de los polinomios cuadr´aticos P 2 [x].
- Dados S = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R^4 | x 1 + x 2 + x 3 = 0 y x 1 + x 2 − x 3 = 0} y T = ⟨(1, − 1 , 2 , 1), (1, − 1 , 0 , 1), (2, − 2 , 3 , 1), (1, − 1 , 1 , 2)⟩. Demostrar que S es un subes- pacio vectorial de R^4 y hallar una base de S y T.
- Sean S =< (1, 0 , 1 , 0), (1, 1 , 2 , 0) > y
T = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R^4 | x 1 = x 2 , x 4 = 0}. Determina una base para S + T y S ∩ T.
- Dados los subespacios
L =< (1, 1 , 0 , 0), (1, 2 , 1 , 0) > M =< (1, 0 , − 1 , 0), (1, 0 , 0 , 1) > determinar una base de L + M y de L ∩ M
- Se consideran los siguientes subespacios de R^4
S = ⟨(1, 2 , 1 , 2), (2, 5 , 5 , 5)⟩ T = ⟨(3, 8 , 9 , 10), (1, 5 , 10 , 7)⟩ Hallar una base y la dimensi´on de S + T y S ∩ T.
- Considerar los subespacios S y T donde
S =
, T =
a) Decir si es cierto o falso que ( 3 2 2 3
∈ T.
b) Dar una base de S + T y otra de S ∩ T.
2.5.1. Cambio de base
En esta secci´on nos proponemos determinar las coordenadas de un vector v ∈ Rn respecto de una base B 2 = {u 1 ,... , un} cuando se conocen las coordenadas de ese vector v respecto de una base diferente B 1 = {e 1 ,... , en}.
Para resolver este problema planteamos dos posibilidades
Primera posibilidad (Forma directa):
- Calcular v a partir de sus coordenadas respecto de la base B 1 (v =
∑^ n i=
αiei)
- Resolver el sistema v =
∑^ n i=
γiui
Segunda posibilidad (Utilizando las matrices de cambio de base).
Vamos a centrarnos en la segunda opci´on y por sencillez, consideramos el caso parti- cular de n = 2. Sean
e 1 = (e 11 , e 12 ), e 2 = (e 21 , e 22 ), u 1 = (u 11 , u 12 ), u 2 = (u 21 , u 22 ), v = (v 1 , v 2 ).
Usando la definici´on de coordenadas respecto de una base, se tiene
α 1 e 1 + α 2 e 2 = v, γ 1 u 1 + γ 2 u 2 = v,
o equivalentemente
α 1 (e 11 , e 12 ) + α 2 (e 21 , e 22 ) = (v 1 , v 2 ), γ 1 (u 11 , u 12 ) + γ 2 (u 21 , u 22 ) = (v 1 , v 2 ).
Igualando ambas expresiones, se tiene ( u 11 u 21 u 12 u 22
γ 1 γ 2
e 11 e 21 e 12 e 22
α 1 α 2
Y por tanto (^) ( γ 1 γ 2
( (^) u 11 u 21 u 12 u 22
)− 1 ( (^) e 11 e 21 e 12 e 22
) ( (^) α 1 α 2
La matriz B =
( (^) u 11 u 21 u 12 u 22
)− 1 ( (^) e 11 e 21 e 12 e 22
recibe el nombre de matriz de cambio de base.
En el caso que el espacio sea Rn^ y las bases sean ei = (ei 1 ,... , ein) y ui = (ui 1 ,... , uin) 1 ≤ i ≤ n, entonces la matriz de cambio de base viene dada por
B =
u 11... un 1 ... ... u 1 n... unn
e 11... en 1 ... ... e 1 n... enn
Teorema 2.5 La matriz de cambio de base B del teorema anterior es regular. Adem´as, la matriz del cambio inverso es B−^1 , es decir, α 1 ... αn
= B− 1
γ 1 ... γn
Ejercicio 2.
- Se considera el espacio vectorial R^3. Probar que {(1, 2 , 3), (− 2 , 4 , 0), (0, 1 , 1)} es una base y hallar las coordenadas respecto de dicha base del vector (6, 4 , 8).
- Probar que B 1 = {(1, 1 , 0), (0, 1 , 0), (0, 1 , 1)} y B 2 = {(1, 2 , 3), (− 2 , 4 , 0), (0, 1 , 1)} son bases de R^3. Si las coordenadas de un vector respecto de la primera base son (2, 4 , 6), halla sus coordenadas respecto de la segunda base.
- Halla mediante la matriz de cambio de base las coordenadas del vector v respecto de la base B 2 = {(1, 0), (2, 1)} sabiendo que sus coordenadas respecto de la base B 1 = {(1, 1), (2, 0)} son
i. v(1, 2)B 1 (Sol : v(3, 1)B 2 ) ii. v(4, 5)B 1 (Sol : v(6, 4)B 2 )
