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RESOLUCIÓN
PRUEBA 29 de MAYO
1) Una empresa dedicada a la construcción se dedica a preparar y distribuir bolsas de un cierto material constructivo.
Sabiendo que el peso de las bolsas sigue una distribución normal de media 3.3 kg y desviación típica 210 gramos
a) Describe y justifica las características de la distribución de la variable: media muestral medida en una muestra de tamaño n para una variable X que sigue una distribución normal.
(0.5puntos)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si se escoge al azar una muestra de 9 bolsas el peso medio de las 9 bolsas esté comprendido entre 3.15 y 3.40 kg? (1punto)
Peso de una bolsa : ܺ ~ܰሺ ݉ൌ 3.3; ൌ 0.21ሻ
Peso medio de 10 bolsas de turba: ܺ തଵ
ܺതଽ ݉ሺܰ~ ଽ ൌ 3.3; ଽ ൌ^
a) Describe y justifica las características de la distribución de la variable:
media muestral medida en una muestra de tamaño n para una variable
X que sigue una distribución normal.
Dada una variable x que sea normal de media m y desviación típica , La
media muestral de una muestra de tamaño n será también una variable de
distribución normal puesto que ݔ̅ ൌ
será una suma de n variables
normales. La media de ̅ݔ será la misma que la de x, es decir, m.
݉ ௫̅ୀ݉ሺ^ ௫ଵ^ ݉^ ௫ଶ^ ⋯ … … ݉^ ௫^ ݊ሻൗ^ ݊ ൌ ݉ ݉ ൌ ݊/
La varianza de ̅ݔ no será igual a la varianza de x, ( ^2 ) sino que será igual a
ߪ ݊ଶൗ y, por tanto, a medida que aumente el tamaño de la muestra, la variable
media muestral tendrá menos variabilidad.
௫ଶ
௫
ൗ ݊ ൌ ߪ ଶ^ ݊/ ଶ^ ߪ ൌ ଶ^ ݊/
a) La duración X hasta el fallo de determinadas componentes tipo A y tipo C siguen una distribución exponencial siendo la vida media de la componente C de 250 horas. Se diseña un dispositivo conectando en paralelo las dos componentes (A y C) que funcionan de modo independiente. ¿Cuánto debe valer como mínimo la vida media de las componente A, si se desea que la fiabilidad del dispositivo a las 100 horas sea superior al 95%? (0.75 puntos)
αc =1/250 =0.
P(Xc>100)= e-0.004*100^ = 0.
P(A+C)=P(A)+P(C)-P(A)*P(C)=0.
P(A)+0.67-0.67P(A)=0.
P(A)=(0.95-0.67) /(1-0.67) = 0.
P(XA>100)= e-αA 100^ = 0.
C
A
c) Suponiendo que los errores de medición siguen una distribución normal, calcular e interpreta r un intervalo de confianza del 95 % para la varianza de dichos errores. (1 punto)
d) Un competidor afirma que con ese modelo de telémetros se sobrestima la distancia real
menos 0.050 m. En base a los datos observados, ¿existen razones para dudar de esa
afirmación? (Asumir α=0.05) (1 punto)
a) Las estimaciones puntuales son la media muestral 0.00486667 y la desviación típica muestral 0.
b)
N
S
IC m x t
= [0.034614 0.062720]
Interpretación: el intervalo obtenido tiene una probabilidad del 90% de contener el verdadero valor desconocido de m
c)
0. 0005120 0. 002375
1
2
2
2
^
g
N S
g
N S
IC
Interpretación: el intervalo obtenido tiene una probabilidad del 95% de contener el verdadero valor desconocido de ^2
d) H (^) o : m 0. H 1 : m < 0.05 (el = en la H 0 )
s N
x mo
^
t calculada como la media muestral es 0.0486667 y la desviación
típica muestral es 0.0309069 y N=15s
tcalculada ^0.^04686667 ^0.^05
A la vista del gráfico, la t calculada cae en la zona de aceptación y por tanto no podemos rechazar la H 0 y en principio no podríamos afirmarlo.
t N 1 ( 5 %) t 14 ( 5 %) 1. 761
4) Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero:
Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Carbono (%) 2,4 2,2 2,3 2,5 2,8 2,2 2,7 2,4 2,3 2,
Resistencia 46 45 44 45 48 43 47 44 45 42
Se efectuaron distintos análisis con el Statgraphics, obteniéndose los siguientes resultados:
MultipleRegression - RESISTENCIA Dependent variable: RESISTENCIA Independent variables: %CARBONO Standard T Parameter Estimate Error Statisti c
P-Value CONSTANT 28,8488 2,74211 10,5207 0, %CARBONO 1,14694 5,88017 0,
Analysis of Variance Source Sum of Squares
Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 23,4698 1 23,4698 34,58 0, Residual 5,43023 8 0, Total (Corr.)
28,9 9
R-squared = percent R-squared (adjusted for d.f.) = 78,8616 percent Standard Error of Est. = Mean absolute error = 0, Durbin-Watson statistic = 1,84453 (P=0,3838) Lag 1 residual autocorrelation = -0,
Covariances %CARBONO RESISTENCIA %CARBONO 0,0573333 0, (10) (10) RESISTENCIA 0,386667 3, (10) (10)
d) Aproximamos suponiendo la predicción sigue una normal de media 42.8 y de desviación típica Sres Para un 80% se puede calcular q ue el ancho del intervalo son 1.28 desviaciones típicas usando la tabla de la normal
[m (^) resistencia/X=2.1% -1.28 S (^) res m (^) resistencia/X=2.1%-+1.28 S (^) res]
S (^) res = 0.678779 0.5^ =0.
[41.75 43.86]
e) Cabe esperar que se mantenga dado que la tabla muestra la significación del parámetro que afecta a la variable explicativa con un pvalue < 0.
f) Sirve para ver los residuos del modelo (errores de predicción) y sirve para detectar datos anómalos, no linealidades o incumplimientos de los supuestos del modelo de regresión , por ejemplo homocedasticidad. A la vista del gráfico no se observa ningún incumplimiento ni problema de ningún tipo. Además los residuos alternan al azar en torno a cero lo que muestra que el modelo sin curvatura es apropiado
