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1. - La siguiente tabla de contingencia ofrece datos muestrales representativos sobre una variable bidimensional que relaciona el nivel de estudios y el número de horas de televisión consumidas a la semana por las personas de un determinado país:
Horas
Nivel estudios
Menos de 7 h. Más de 7 h.
Total
Primarios 12 65 77
Secundarios 42 23 65
Universitarios 120 9 129
Total 174 97 271
Nota: El nivel de estudios considerado para cada individuo encuestado es el de mayor grado que tenga.
a) (0.5 puntos) ¿Ver la televisión menos de 7 horas a la semana es independiente de tener estudios secundarios? b) (0.5 puntos) ¿Y de tener estudios primarios o universitarios? c) (0.5 puntos) De los alumnos que ven la televisión más de 7 horas a la semana, ¿qué porcentaje poseen una titulación universitaria?
a) P(Televisión menos de 7 horas a la semana) = 174/271 = 0. P(Televisión menos de 7 horas a la semana/ Tener estudios secundarios) = 42/ =0. Las probabilidades son casi iguales por lo que se podría afirmar que son prácticamente independientes
b) P(Primarios+Universitarios/ Televisión menos de 7 horas a la semana)=(12+120)/ = 0. P(Primarios+Universitarios)= (77+129) /271) = 0. Las probabilidades son casi iguales por lo que se podría afirmar que son prácticamente independientes c) P(Universitarios/ Televisión menos de 7 horas a la semana) = 9/97=0.
2.- En un estudio sobre la resistencia de vigas de acero, se ensayaron hasta la rotura 12 vigas obteniéndose los siguientes resultados expresados en miles de números de ciclo hasta la ruptura debida a la fatiga del metal:
De la muestra anterior se ha obtenido que: CA tipificado = 2. CC tipificado = 1. a) (0.5 puntos) ¿Qué herramienta de Estadística Descriptiva utilizarías para analizar la variable? b) (0.75 puntos) A partir del análisis que propones en el apartado a, ¿se puede considerar simétrica la distribución de la variable? Justifica la respuesta c) (0.75 puntos) ¿Existe algún punto aislado? Si existe, ¿se trata de un dato anómalo? Justifica la respuesta
a) Box Whisker permite ver la distribución de la variable aún en el caso de muestras relativamente pequeñas en tamaño b) Dado el coeficiente de asimetría estandarizado que es positivo y esta fuera del intervalo [-2 + 2] podemos afirmar que la variable tiene una asimetría + significativa. (si dibujásemos el gráfico Box Whisker cabe esperar que se obtenga un bigote superior mayor en longitud que el inferior y una media mayor que la mediana) c) No hay datos anómalos dado que el CC tipificado está dentro del intervalo [-2 +2] por lo que no cabe esperar datos asilados y anómalos. Se podría comprobar también obteniendo los limites de valores considerados razonables Inferior: C 1 - 1.5IIC y superior: C 3 +1.5 IIC)
4.- (1.5 puntos) La probabilidad de que una calzada se inunde como consecuencia del incremento de nivel en el cauce de un río que la cruza al menos una vez en un periodo de cinco años es del 20%. Se sabe que como máximo se produce una inundación anual. ¿En qué porcentaje de los casos el número de años para que se produzca una nueva inundación es de 23?
X: número de años de una serie de 5 en que se inunda la calzada Bi(n=5,p)
p: probabilidad de que se inunde la calzada cada año
Se sabe que P(X 1) = 0.2 P(X=0) = 0.8 (1-p)^5 =0.8 p= 0.
W: número de años hasta siguiente inundación de la calzada G(p)
P(W=23)= (1-p)^22 p = 0.01635 1.6 %
5.- En un país en el que se halla situada una falla transformante los terremotos son frecuentes El tiempo (medido en meses) que tarda en producirse un terremoto moderado (magnitud entre 4 y 6 en la escala de Richter) sigue una distribución log-normal de parámetros m=2.5 y sigma =1.1.
a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que tenga que transcurrir un periodo de tiempo comprendido entre 18 y 24 meses hasta que se produzca el siguiente terremoto de escala entre 4 y 6. b) (1 punto) ¿Cuál es tiempo medio (en meses) hasta el siguiente terremoto moderado en dicho país?
El coste monetario asociado a los daños producidos por los terremotos de escala superior a 6 en dicho país, se sabe que siguen una distribución normal de media 350 millones de u.m (unidades monetarias) y que en un 30% de los casos los costes superan los 390 millones de u.m.
c) (1 punto) Si en un año se producen dos terremotos superiores a la magnitud 6 ¿cuál será la probabilidad de que el coste anual asociado a dichos desastres sea mayor de 825 millones de u.m?
a)
X: tiempo hasta terremoto LogNormal (m=2.5 =1.1)
P(18<X<24) =P(X<24) - P(X<18) = P(Ln X < Ln24) – P(Ln X< Ln18) Tipificando P(N(0;1) < [Ln(24)-2.5]/1.1) - P(N(0;1) < [Ln(18)-2.5]/1.1) P(N(0;1)<0.62 - P(N(0;1)<0.36 = 0.732371- 0.640576 = 0.
b)
X: número de meses hasta el siguiente terremoto LogNormal (m=2.5 =1.1)
E(X) =em+sigma cuadrado/2=e3.105 = 22.
c)
Y: Coste monetario de terremotos de escala mayor que 6 Normal (m=350 ; )
P(Y>390)=0.3 P(N(0;1)>[390-350/ ])=0.3 P(N(0;1)≤[390-350/ ])=0.
Hago lectura 0.525 =390-350/ =76.
T= Y 1 +Y 2 : coste monetario de 2 terremotos de escala mayor que 6
T Normal (m=350+350 ; ^2 T = ^2 Y + ^2 Y) = Normal (m=700 ; =107.75 )
P(T>825) = 1-P(T<825)=1-P(N(0;1)<[825-700/107.75]= 1-P(N(0;1)<1.16]
