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Lección 6: Teoría de la Probabilidad, Apuntes de Estadística

Universidad Rey Juan Carlos (URJC)Estadística

En esta lección se presenta la teoría de la probabilidad, una rama de las matemáticas que estudia la incertidumbre y el riesgo asociados a los fenómenos aleatorios. Se abordan conceptos básicos como la aleatoriedad, el espacio muestral, la definición clásica y frecuentista de probabilidad, las propiedades de la probabilidad y teoremas del cálculo de probabilidades.

Tipo: Apuntes

2020/2021

Subido el 15/03/2021

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Lección 6
Teoría de la probabilidad
ÍNDICE
1. Definiciones y notación
2. Concepto de probabilidad
3. Propiedades fundamentales
4. Teoremas del cálculo de probabilidades
5. Probabilidad condicionada
6. Independencia e incompatibilidad
7. Teorema de la Probabilidad Total
8. Teorema de Bayes
1. DEFINICIONES Y NOTACIÓN
• Aleatoriedad frente a determinismo:
•Fenómeno determinista: si cuando se reproduce bajo las
mismas condiciones podemos predecir con certeza el resultado
•Fenómeno aleatorio: sólo conocemos el resultado una vez
realizado el experimento, u observado el resultado
-Cuando se reproduce bajo las mismas condiciones no
podemos predecir con certeza el resultado
-El resultado está sujeto a incertidumbre
-La estadística estudia fenómenos aleatorios
• Experimento: reproducción del
fenómeno para observar sus resultados
• Se supone que el experimento puede
repetirse en las mismas condiciones y
que todos los posibles resultados son
conocidos
• Tipos de experimentos:
•Determinista: al repetirlo bajo las mismas condiciones se
obtiene siempre el mismo resultado
•Aleatorio: al repetirlo en análogas condiciones no se
puede predecir el resultado
• ¿Cuáles de estos fenómenos pueden ser experimentos aleatorios?:
• Sacar una carta de una baraja
• Abrir las compuertas de un estanque lleno de agua
• Lanzar una moneda sobre el suelo y anotar el resultado del
número de caras que aparecen
• Arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración
Erwin
Schrödinger
(1881-1961)
Colapso de
Werner
Heisenberg
(1901-1976)
y el Principio
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¡Descarga Lección 6: Teoría de la Probabilidad y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

Lección 6

Teoría de la probabilidad

ÍNDICE

  1. Definiciones y notación
  2. Concepto de probabilidad
  3. Propiedades fundamentales
  4. Teoremas del cálculo de probabilidades
  5. Probabilidad condicionada
  6. Independencia e incompatibilidad
  7. Teorema de la Probabilidad Total
  8. Teorema de Bayes
  9. DEFINICIONES Y NOTACIÓN
  • Aleatoriedad frente a determinismo:
    • Fenómeno determinista : si cuando se reproduce bajo las mismas condiciones podemos predecir con certeza el resultado
    • Fenómeno aleatorio : sólo conocemos el resultado una vez realizado el experimento, u observado el resultado - Cuando se reproduce bajo las mismas condiciones no podemos predecir con certeza el resultado - El resultado está sujeto a incertidumbre - La estadística estudia fenómenos aleatorios
  • Experimento : reproducción del fenómeno para observar sus resultados
    • Se supone que el experimento puede repetirse en las mismas condiciones y que todos los posibles resultados son conocidos - Tipos de experimentos:
    • Determinista: al repetirlo bajo las mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado
    • Aleatorio: al repetirlo en análogas condiciones no se puede predecir el resultado
  • ¿Cuáles de estos fenómenos pueden ser experimentos aleatorios?:
    • Sacar una carta de una baraja
    • Abrir las compuertas de un estanque lleno de agua
    • Lanzar una moneda sobre el suelo y anotar el resultado del número de caras que aparecen
    • Arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración Erwin Schrödinger (1881-1961) Colapso de Werner Heisenberg (1901-1976) y el Principio
  • Medir una longitud de una circunferencia de radio 5 m
  • Quitar el freno de mano de un coche cuesta abajo
  • Lanzar un dado • Abrir un libro al azar y anotar la página situada en el margen derecho
  • El resultado de un experimento aleatorio está sujeto a incertidumbre, que se mide mediante la probabilidad - Probabilidad : medida del grado de incertidumbre asociada a un fenómeno aleatorio
  • La probabilidad nos permite medir la incertidumbre antes de realizar un experimento aleatorio
  • El conocimiento de esa medida nos permite:
  • Valorar los riesgos de nuestras decisiones
  • Comprobar la verosimilitud de nuestras hipótesis
  • Espacio muestral (E): conjunto de todos los resultados posibles conocidos del experimento aleatorio.
  • Suceso(S): cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio
  • Suceso seguro: el que siempre se observa
  • Suceso imposible (): suceso que nunca se puede observar (está fuera del espacio muestral)

Tipos de sucesos

  • Suceso unión de A y B: es el que se observa si sucede el suceso A o bien el suceso B
  • Si dos sucesos no tienen elementos comunes son mutuamente excluyentes o disjuntos
    • Ejemplos con lanzamientos de un dado
  • La unión e intersección verifican las siguientes propiedades:
    • Conmutativa
    • Asociativa
    • Distributiva
    • Idempotente
    • Elemento neutro
    • Simplificación
    • Absorción

Leyes de De Morgan

Augustus De Morgan (1806-1871) 2.1 DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Pierre Simon, marqués de Laplace (1749- 1827) si todos los casos son igualmente posibles (equiprobables) (1812)

- Probabilidad clásica: Laplace - Supuesto: equiprobabilidad

  • Propiedades:

ÁLGEBRA

DE

BOOLE

Pierre-Simon, Marqués de

Limitaciones:

  • Requiere que todos los casos sean igualmente probables
  • Requiere que el número de casos posibles sea finito 2.2. DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD Richard von Mises (1883-1953) Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de la aparición de un suceso si repetimos indefinidamente el experimento ■ Probabilidad frecuentista: R. Von Mises
  • Se basa en la experimentación
  • Repetición del experimento n veces, de forma independiente
  • La probabilidad de un suceso es el número al que tiende su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un número infinito de veces
  • Probabilidad frecuentista : R. Von Mises
  • De las propiedades de las frecuencias relativas se deduce:
    • 0 ≤ ni N

n 1 + n 2 N

→ 𝑃 (𝑆 1 , 𝑆 2 )= P (𝑆 1 )+ P (𝑆 2 )

  • Sucesión infinita aleatoria: es imposible en la práctica 2.3. DEFINICIÓN LÓGICA DE PROBABILIDAD ■ Probabilidad lógica
  • La probabilidad es parte de la Lógica (Filosofía) y existe como tal, Richard Edler von Mises (1883- Richard Edler von Mises Rudolf Carnap
  • 𝑎 á𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 + ⋃ ∞ 𝑖=1 ∞^ 𝑆𝑖 ∈^ 𝑄,^ ∩ ∞ 𝑖=1 𝑆𝑖 ∈^ 𝑄^ (numerable) **3. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
  1. TEOREMAS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Teorema I: La probabilidad del suceso imposible es 0**
  • 𝑃 (∅) = 0
  • Demostración a partir del Axioma III
  • Sean 𝑆 1 , 2 ,………𝑆 ; 𝑆𝑖 ∩ 𝑆𝑗 = ∅ ∀𝑖 ≠ 𝑗 (disjuntos dos a dos) → 𝑃 ⋃ ∞ 𝑖=1 𝑆𝑖^ =^  ∞ 𝑖=1 𝑃^ (𝑆𝑖)
  • Si 𝑆𝑖 = ∅ → 𝑃 (⋃∞𝑖=1 ∅) = ∞𝑖=1 𝑃 ∅ ↔ 𝑃 (⋃ ∞ 𝑖=1 ∅)^ =^ 𝑃^ ∅ y por tanto 𝑃 (∅) = 0  ∞ 𝑖=1 𝑃^ (∅)^ = 0 Teorema II: La probabilidad de la unión de n sucesos disjuntos es igual a la suma de sus probabilidades
  • Demostración Axioma III, considerando 𝑆𝑖>𝑛 = ∅ Teorema III: La probabilidad de la unión de n sucesos es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de sus intersecciones 𝑃 (𝑆 1 ∪ 𝑆 2 )= 𝑃 (𝑆 1 )+𝑃 (𝑆 2 )−𝑃 (𝑆 1 ∩ 𝑆 2 )
  • Demostración: 𝑆 1 ∪ 𝑆 2 = [𝑆 1 /𝑆 1 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝 (𝑆 1 ∩ 𝑆 2 )] ∪ [𝑆 2 /𝑆 2 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝 (𝑆 1 ∩ 𝑆 2 )] ∪ (𝑆 1 ∩ 𝑆 2 ) Teorema IV: La probabilidad del suceso contenedor es mayor que la probabilidad del suceso contenido 𝑆 1 ⊂ 𝑆 → 𝑃 (𝑆 1 ) < 𝑃 (𝑆)

𝑆 = [𝑆 1 /𝑆 1 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝 (𝑆)] ∪ (𝑆 ∩ 𝑆 1 ) = (𝑆 ∩ 𝑆

c 1 )^ ∪^ (𝑆^ ∩^ 𝑆 1 ) 𝑃 (𝑆)= 𝑃 (𝑆 ∩ 𝑆 c 1 )+^ 𝑃^ (𝑆^ ∩^ 𝑆 1 )^ →^ 𝑃^ (𝑆)^ ≥^ 𝑃^ (𝑆^ ∩^ 𝑆 1 ) Como 𝑆 1 ⊂ 𝑆, 𝑆 ∩ 𝑆 1 = 𝑆 1 → (𝑆) ≥ (𝑆 1 ) Teorema V: La probabilidad de un suceso 𝑺 es igual o inferior a la unidad 𝑃 (𝑆) ≤ 1

  • Demostración a partir del Teorema IV: 𝑆 ⊂ 𝐸 (^) 𝑇−𝐼𝑉 (𝐸) ≥ (𝑆) → 𝑃(𝑆) ≤ 1 5. PROBABILIDAD CONDICIONAL Es la probabilidad de un suceso sabiendo (condicionada a) la ocurrencia de otro suceso P (A/B) = P ( A ∩B ) P ( B ) La probabilidad cambia al incorporar información
  • La probabilidad condicionada debe cumplir la axiomática de Kolmogorov ■ Axioma I: 𝑃 (𝑆/𝑆 1 ) ≥ 0 ■ Axioma II: 𝑃 (𝐸/𝑆) = 1 ■ Axioma III: Sean (𝑆 1 /𝑆) , (𝑆 2 /𝑆) , … (𝑆𝑛/𝑆) ; 𝑆𝑖 ∩ 𝑆𝑗 = ∅ ∀𝑖 ≠ 𝑗 (disjuntos dos a dos) → 𝑃 (⋃ ∞ 𝑖=1 𝑆𝑖/𝑆)^ =^  ∞ 𝑖=1 𝑃^ (𝑆𝑖/𝑆) ■ (𝐸𝑠 = 𝐸 ∩ 𝑆,Ω𝑠 = Ω ∩ 𝑆,𝑃𝑠) es Espacio de Probabilidad condicionado a S Teorema de la multiplicación
  • Dados 𝑆 1 , 𝑆 2 ,…𝑆𝑛 y como consecuencia de (𝑆 1 /𝑆) = P^ ¿^ ¿ 6. INDEPENDENCIA E INCOMPATIBILIDAD Dos sucesos A y B son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B) P(A/B) = P(A) = P^ ¿^ ¿

P(X/A1)=0,

P(X/A2)=0,

P(X)=0,

Teorema de la Probabilidad Total

  • Dados 𝑆 1 , 𝑆 2 ,……… , tal que:
  • 𝑆𝑖 ∩ 𝑆𝑗 = ∅∀𝑖 ≠ 𝑗
  • 𝐴 ∩ 𝑆𝑗 ≠ ∅ ∀𝑖
  • ⋃𝑛𝑆𝑖 = 𝐸
  • Se verifica que: 𝑃 𝐴 = ෍ 𝑃 (𝑆𝑖) ∗ 𝑃 (𝐴 𝑆𝑖) 8. TEOREMA DE BAYES Se aplica para calcular la probabilidad de cada una de las posibles causas, una vez observado el efecto Ej: dados los datos de las máquinas M1 y M2, se escoge una pieza, y resulta ser defectuosa. Calcular la probabilidad de que proceda de M Teorema de Bayes
  • Dados 𝑆 1 , 2 ,……𝑆 , tal que:
    • 𝑃(𝑆𝑖) > 0 Teorema de la Probabilidad Total 𝑃 (𝐹) = 0,4 ∗ 0,2 + 0,6 ∗ 0,1 = 0, Thomas Bayes
  • Y un subconjunto de E, denominado A, tal que:
    • 𝑃 (𝐴) > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴 ∩𝑆𝑖 ≠ ∅∀𝑖
  • Interpretación:
  • 𝑃 (𝑆𝑖/𝐴): probabilidad “a posteriori”
  • 𝑃 (𝐴/𝑆𝑖): verosimilitud
  • 𝑃 (𝑆𝑖): probabilidad “a priori” En nuestro ejemplo: