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TEMA 12. ESTADÍSTICA
INTRODUCCIÓN
La correcta interpretación de los datos estadísticos que se presentan en la vida cotidiana es fundamental para comprender distintos fenómenos mundiales. Uno de los retos de la enseñanza es conectarla con la realidad para lograr la conexión tan deseada entre la escuela y la vida cotidiana, por ello la estadística es parte de la formación general de todo ciudadano. La capacidad y el conocimiento de la estadística ha llevado a la aparición de dos términos en relación con la formación necesaria: Cultura Estadística y Razonamiento Estadístico
Tener cultura estadística implica conocer y utilizar el lenguaje y las herramientas básicas de la estadística, tales como media, símbolos estadísticos, además de ser capaz de razonar y de interpretar representaciones de datos. El razonamiento estadístico se considera más relacionado con la forma en que las personas manejan las ideas estadísticas y dan sentido a la información estadística. El razonamiento supone conectar un concepto estadístico con otro, (por ejemplo, centro y dispersión) y puede combinar ideas sobre datos y azar.
Para ampliar el significado de estor términos, se puede consultar la página: http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/CULTURA.pdf Se sugiere leer el siguiente artículo como ayuda para captar diferentes términos relacionados con la didáctica de la estadística: Batanero, C. (2013). Sentido estadístico. Componentes y desarrollo: I Jornadas Virtuales de Didáctica de la Estadística, la Probabilidad y la Combinatori a: Granada. HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA El termino estadistica significa ciencia del estado. Las primeras referencias escritas de los usos de la estadistica se situan en China, año 2238 A.C., con estadísticas agrícolas y comerciales, tambien los romanos recurren a ella para una mejor organización politica y administrativa. En la pagina del INE, Instituto Nacional de Estadística, http://www.ine.es/, extensión Explica, en la pestaña: Un poco de historia, hay un recorrido por la estadística desde la edad antigua hasta la contemporánea y se ofrecen también otros conocimientos para ampliar la cultura estadística http://www.ine.es/explica/explica.htm. Otra página útil para este tema es la del ISTAC, Instituto Canario de Estadística, donde conviene consultar las secciones concurso escolar y estadística para primaria http://www2.gobiernodecanarias.org/istac/webescolar/index.php Puede ser de gran utilidad el libro sobre didáctica de la estadística y estadística por proyectos, que se encuentra disponible en, http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/libros/Libroproyectos.pdf
GRAFICOS ESTADISTICOS. COMPETENCIAS Los gráficos pueden utilizarse para comunicar información y como instrumento de análisis de datos, al mismo tiempo son una gran ayuda para retener en la
memoria gran cantidad de información. Para observar distintas clases de gráficos, consultar por ejemplo: http://html.rincondelvago.com/graficos-estadisticos.html En la sociedad tecnológica actual, los gráficos estadísticos tienen un papel esencial. Están presentes en todos los medios de comunicación e información y se encuentran en distintos ámbitos de nuestra vida: la economía, la sociedad, la política, la biología, la psicología,... Cada día, la prensa brinda una amplia variedad de gráficos estadísticos. En algunos casos los gráficos son incorrectos, ver por ejemplo, http://www.malaprensa.com/ La comprensión de los gráficos es una habilidad deseable de los lectores que permite obtener información a partir de un gráfico creado por ellos mismos o por otros. Esto involucra tres tipos de procesos: traslación , interpretación y extrapolación/interpolación. La traslación permite la traducción de una forma de representación a otra, por ejemplo de una tabla a un gráfico, de un gráfico a una descripción verbal, de un gráfico a un número o relación numérica,… La interpretación requiere establecer relaciones entre los datos representados para seleccionar aquellos que son relevantes frente a los que no lo son. Estas relaciones se pueden realizar entre los especificadores de un gráfico o entre un especificador y una etiqueta. La extrapolación y la interpolación van más allá de la interpretación y se produce al percibir las tendencias o al especificar las implicaciones a partir de los datos. Se distinguen tres niveles de comprensión gráfica, que han sido identificados por distintos investigadores, y son: Leer los datos : se refiere a observar lo que está representado en el gráfico, lo que implica localizar los datos necesarios y traducirlos a un lenguaje verbal. Leer entre los datos : implica realizar comparaciones o interpolaciones relacionando los datos representados. Leer más allá de los datos : significa extraer la estructura de los datos realizando predicciones e inferencias. Otros investigadores introducen un cuarto nivel: Lectura por detrás de los datos que incluye establecer conexiones entre el contexto y el gráfico que surge a partir de él, buscando los condicionantes de por qué en un momento determinado se producen unos datos y no otros. Por ejemplo, si los datos se refieren al número de hermanos que tienen los alumnos de una clase, se deberían relacionar los datos obtenidos con la situación económica, demográfica y social del entorno (región o país) en el momento de su nacimiento, con el objeto de dar una explicación a los datos.
Competencia gráfica Se considera que la competencia grafica engloba tres capacidades: la habilidad de extraer datos de diferentes tipos de gráficos y de interpretar su significado, la capacidad de seleccionar y crear gráficos adecuados dependiendo de la situación y la habilidad para evaluar de forma crítica los gráficos, distinguiendo sus fortalezas y limitaciones. Para completar información sobre elementos y competencia en lectura de gráficos, consultar la página
tienen un solo dígito. Los datos que muestran cantidades con dos o tres dígitos no presentan problemas de construcción, si acaso saltarse en el tallo los valores que no se presentan, por lo que se pierde la comprensión de la idea de “valor atípico”. Para manejar el gráfico tallo-hoja hay que conocer unidades, decenas, etc., y para un niño puede suponer un problema cuando algún tallo no tiene dato o aparece el cero. En la Figura 2 se muestra un tallo – hoja de diez datos que consta cada uno de ellos de dos dígitos. Pensar en cómo construir un tallo – hoja con la cifra de las unidades de los mismos diez datos.
Figura 2. Tallo - Hoja Las barras es el gráfico más utilizado para representar datos numéricos y categóricos. La confusión entre barras e histogramas, es de las más frecuentes, y se ha constatado por distintos investigadores. El histograma es la principal herramienta gráfica para mostrar la forma de la distribución de los datos, pero necesita de muchos conocimientos previos y además presenta una gran dificultad conceptual. Es preciso tener habilidad para agrupar números y conocer el orden en los números decimales. Se sabe que los estudiantes tienen dificultades en la construcción, interpretación y en las aplicaciones de los histogramas. El polígono de frecuencia es fundamental para el tránsito a la curva de densidad y para observar la forma de las distribuciones de distintas variables.
Se sugiere visitar la siguiente página y responder a las seis preguntas que aparecen en ella. http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/ estadistica_y_probabilidad/medidas/histograma/actividad.html
Los errores de carácter técnico que aparecen de forma persistente en la construcción de los histogramas son: a. Colocar etiquetas en las barras del histograma, b. Representar histogramas con barras separadas, c. Tazo del polígono de frecuencia incompleto, y d. Falta de atención a los datos atípicos.
El histograma se confunde con el diagrama de barras por varias razones. Los diagramas de barras se vienen trabajando en la escuela desde los primeros
cursos y se convierten en un gráfico familiar. El histograma se presenta, con frecuencia, como “un caso particular” de diagrama de barras o rectángulos. El histograma es un gráfico difícil, por varias razones. La primera razón porque oculta los datos, y la segunda, porque la forma de un histograma puede ser muy distinta para los mismos datos, simplemente variando el número de clases, por lo que la elección del número de clases debe hacerse con cuidado. Es preciso tener habilidades para agrupar números, e implica dominar el orden en los números decimales. Aparte de la dificultad de representar áreas, está el efecto de la variación del tamaño de las clases. Los diagramas lineales se utilizan principalmente para mostrar cambios en el tiempo, así que facilitan la idea de aumento o disminución experimentada en el tiempo de una determinada variable. El gráfico de sectores supone transformar datos en proporciones y estos en ángulos. Los conceptos de razón, proporción y la comprensión de porcentajes son fundamentales, para poder trabajar con estos gráficos. A continuación se señalan otros gráficos, poco usados en primaria y, frecuentes en secundaria. La idea de asociación entre variables lleva a la nube de puntos, fundamental para visualizar posibles relaciones. El profesor puede conectar con el modelo funcional propio de las matemáticas, permitir el ajuste visual o utilizar la tecnología. Además, sería deseable poner de manifiesto lo sensible que es la recta de regresión a los valores extremos y conociendo, la dificultad de justificar este ajuste a determinados niveles, optar por la línea mediana-mediana o recta resistente propia del Análisis Exploratorio de Datos. Cuando ya el alumno maneja el sistema cartesiano puede ser el momento para comenzar a trabajar la idea de asociación, ver por ejemplo la página: http:// recursostic.educacion.es/eda/web/eda2007/practicas_profesores/P3/ laureano_p3/estadistica_bidimensional/tema2_2.htm
El gráfico de caja vincula los conceptos de mediana, cuartiles, valor mínimo y máximo que los alumnos manejan individualmente, pero no en forma global. Permite fraccionar los datos, y se ve la mediana y los cuartiles, lo cual es una ayuda para evitar que se confunda, el valor de la mediana (Me) con la posición de la mitad de los datos (N/2). El principal problema en este gráfico está en elegir la escala apropiada. Las cajas son muy útiles para hacer comparaciones por grupos, mostrando cajas paralelas. Pero tiene como desventaja que oculta la forma de la distribución. Distribuciones bimodales pueden mostrar el mismo gráfico de caja que una distribución de una sola moda. Por otro lado el gráfico de caja es una representación muy diferente a otras, algunos estudiantes interpretan erróneamente que cuanto mayor es la caja, mayor es el porcentaje de datos que hay en ella. La complejidad que presenta este gráfico, incluso para estudiantes de secundaria, ver Figura 3, ha llevado a sugerir que su inclusión en el currículo se retrase más allá de la enseñanza obligatoria, y que se utilice para un inicio a la inferencia estadística.
Conclusión Hoy las representaciones gráficas son una de las herramientas matemáticas más valoradas para utilizar por científicos, economistas, gobierno, industria y comercio... Por ello, todos los alumnos deberían recibir alguna preparación para trabajar con gráficos. El ciudadano que no es capaz de leer un grafico es un miembro de la sociedad que vive en desventaja. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Y DISPERSIÓN Las medidas de centralización o promedios que aparecen explícitamente en primaria son media aritmética, moda. Otros promedios como la mediana y otras medidas de orden como los cuartiles se consideran en la secundaria obligatoria, así como las medidas de dispersión varianza y desviación típica. Se apunta algunas recomendaciones a tener en cuenta en la enseñanza aprendizaje de las mediadas de centralización y que corresponden a conclusiones obtenidas desde distintas investigaciones.
A] La media aritmética , además de ser uno de los principales conceptos estadísticos, tiene muchas aplicaciones en cuestiones prácticas de la vida diaria. La media es un valor representativo de los datos con las siguientes propiedades: a) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución. b) La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es cero. c) El valor medio está influenciado por los valores de cada uno de los datos. d) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. e) El valor obtenido de la media puede ser una fracción (ello puede no tener sentido para la variable considerada). f) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media. g) La media es un representante de los datos a partir de los que ha sido calculada.
B] La comprensión de la idea de “valor típico” o representativo de un conjunto de datos implica, tres tipos diferentes de capacidades:
- Dado un conjunto de datos, comprender la necesidad de emplear un valor central, y elegir el más adecuado.
- Construir un conjunto de datos que tenga un promedio dado.
- Comprender el efecto que, sobre los promedios (media, mediana o moda), tiene un cambio en todos los datos o parte de ellos.
C] Se han propuesto cuatro categorías generales en las que clasificaron las concepciones de los estudiantes sobre los promedios: a) el “valor más frecuente” o moda; b) el “valor razonable”; c) el “punto medio”; d) una “relación algorítmica”, es decir, una fórmula de cálculo.
Los resultados de las investigaciones sobre la media muestran también que el conocimiento de las reglas de cálculo por parte de los estudiantes no implica necesariamente una comprensión real de los conceptos subyacentes.
D] La información sobre un conjunto de datos no debería reducirse a un promedio, en primaria como no se considera la desviación típica, seria al menos oportuno considerar el recorrido como medida de variabilidad.
A modo de resumen, las dificultades que presentan los estudiantes y que han sido detectadas en distintos estudios, son:
. El cálculo de promedios y medidas de dispersión es bastante complicado a partir de datos agrupados. . Los alumnos no ponderan adecuadamente los valores cuando se les plantea un problema de media ponderada, utilizando en su lugar el cálculo de la media simple. . Dadas las medias de dos conjuntos diferentes de datos, los estudiantes simplemente las suman y dividen por dos para calcular la media total, incluso si los conjuntos de datos tienen tamaños muy diferentes. Esto lleva a una pobre estimación de la solución, y además, se observan que los estudiantes no son conscientes del error cometido. . Los alumnos también tienen dificultad en el cálculo de medidas de tendencia central a partir de tablas de frecuencia cuando los datos se presentan agrupados en intervalos de clase. . La mayoría de alumnos de 12-13años son capaces de calcular correctamente la media, sólo algunos saben invertir el procedimiento, esto es, determinar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos para obtener un valor medio
Tablas de doble entrada El análisis de una tabla de contingencia o de doble entrada es un punto difícil porque de una sola frecuencia absoluta se pueden deducir diferentes frecuencias relativas. La interpretación de las tablas de contingencia 2x2 no es intuitiva y algunos alumnos tienden a usar frecuencias absolutas o usar sólo una parte de la información en la tabla para resolver este tipo de problemas. Los sujetos al alcanzar la adolescencia comienzan usando sólo una celda (presente-presente) a para juzgar la asociación; entre los 12-15 años, solamente comparan celdas dos a dos (por ejemplo comparan los casos donde se presenta y no se presenta A cuando se presenta B). Otro nivel posterior sería comprender cuales son los casos favorables (presencia-presencia y ausencia-ausencia) y desfavorables (resto) de la asociación, sin compararlos. Se sugiere leer el siguiente artículo para completar la información sobre los conocimientos en dificultades y errores en estadística: Batanero, C., Godino, J. D. Green, D. R., Holmes, P. y Vallecillos, A. (1994 ). Errores y dificultades en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology , 25(4), 527-547.
