Análisis Estadístico de Distribuciones Bidimensionales: Tablas de Contingencia y Regresión, Apuntes de Estadística

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TEMA 2: Distribuciones bidimensionales.

Tablas de contingencia. Regresión lineal

2.1 Distribución de frecuencias bidimensional

2.2 Distribuciones marginales y

condicionadas

2.3 Dependencia e independencia

estadística. Indicadores de asociación

estadística. Indicadores de asociación

2.4 Regresión y correlación lineal

X\Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X 40-60 1010 66 22 00 18 60-80 88 1212 66 22 28 80 - 100 11 88 1010 66 25

2.1 Distribución de frecuencias

bidimensional

♦ Ejemplo. X: “Peso”, Y: “Estatura”

Marginal Y

 Frecuencias Marginales Frecuencias Marginales de X Frecuencias Marginales de Y

 Frecuencias Condicionadas Frecuencias Condicionadas de X Frecuencias Condicionadas de Y

X Frecuencias Marginales 40-60 18 60-80 28 80-100 25 71

 Distribución marginal de X

♦ Distribución de la variable X: “Peso”

 Varianza Marginal de X

 Media Marginal de X

 Mediana Marginal de X

X \ Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X 40-60 1010 66 22 00 18

 Distribución marginal de Y

♦ Distribución de la variable Y: “Estatura”

Marginal Y

X\Y

Marginal X 18

 Distribuciones de X

Condicionadas a valores de Y

♦ Ejemplo. Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180

Marginal Y

X Frecuencias condicionadas 40-60 66 60-80 1212 80-100 88 26

♦ Ejemplo. Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180

 Varianzas Condicionadas de X

 Medias Condicionadas de X

Y Frecuencias condicionadas 140-160 8 160-180 12 180-200 6

200 2

♦ Ejemplo. Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80

total 28

 Varianzas Condicionadas de Y

 Medias Condicionadas de Y

 Independencia estadística  No hay relación entre las variables

sii n (^) ij =^ n ni^..^ n j ∀ i j ,

2.4 Dependencia e independencia

estadística. Indicadores de asociación

 Dependencia estadística  Hay relación entre las variables

El grado de asociación se mide mediante los coeficientes de asociación

X\Y (^) Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ni ● X 1 n 11

n 12

n 13

n 14

n 1 ●

X 2 n 21

n 22

n 23

n 24

n 2 ●

X 3 n 31

n 32

n 33

n 34

n 3 ●

n n n n n n

♦ Ejemplo. Variables X e Y No Independientes

Independencia estadística

23 2 3 31 12^6

n n^^.. n

n

= = × =

Si (^) ij i^..^ j ,

n n n i j n

= ∀

n ●j n ● 1

n ● 2

n ● 3

n ● 4

n

31 3 1 10 7 1.129^1

n n^^.. n

n

≠ = × = ≠

Indicadores de asociación

2 (^ ij^ ij )^2 ij (^) ij

t n

χ t

∑

Coeficiente χ^2

0 ≤ χ^2 ≤ N min (^) { p − 1, q − (^1) }

Coeficiente de contingencia de Pearson

Coeficiente T de Tschuprow

2 C = (^) n +^ χχ 2 , 0 ≤ C ≤ kk^ −^1

k =min { p q , }

2 T (^) n ( p 1)( q 1) = χ − − 0 ≤^ T ≤^1

 Nube de puntos (diagrama de dispersión): gráfico de las observaciones (datos bidimensionales)

 Elección de la función de regresión : tipo de función que mejor se ajuste a la nube de puntos: Lineal , polinómica, exponencial……

Especificación de función de regresión

Correlación

Estudio del grado de asociación entre las variables

yj (xi, yj )

(xi, yj*^ )

*^ *

• (^) *

eij

X

Y

yj*

y = a + bx

Rectas de regresión

Recta de mínimos cuadrados de Y / X

xi^ X

min = min *^2 ij j j i j i j

∑∑^ e^ ∑∑ y^ −^ y =

Ecuaciones normales

( j^ (^ i ))^2

i j

= min ∑∑ y − a + bx

Residuos = eij = y j − ( a + bxi )

Recta de mínimos cuadrados de X / Y

x = f ( y )= c + d y

[ ] [ ] (^2 )

i i i xy y i^ i

n x y x y

d Cov X Y^ n

Var Y n y

n y

σ σ

∑

∑

c = x − d y

c = x − d y

x − x = d (^) ( y − y )

d = coeficiente de regresión de X / Y “Variación de X si Y aumenta en una unidad”

Propiedad: “Las dos rectas de regresión se

cortan en el el punto ( x y , ) “

Coeficiente de determinación y

coeficiente de correlación lineal

Coeficiente de determinación

 “Proporción de la varianza explicada por la regresión”

2 2 2 2 2 ;^0

xy x y

r^ σ r

Propiedad: r^2 = bd , donde b y d son las pendientes de las

r r r r

No hay asociacion lineal entre las variables Independencia Asociacion lineal positiva perfecta Asociacion lineal negativa perfecta

xy ; 1 1 x y

r = σ σ^ σ − ≤ r ≤

Coeficiente de correlación lineal de Pearson

Propiedad: , donde b y d son las pendientes de las rectas de regresión.

r^2 = bd