estadistica, Apuntes de Estadística

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Cuadernillo de

Ejercicios de

Estadística Descriptiva

Curso 201 5 /1 6

Departamento de Economía Aplicada

U.D.I. de Estadística

Curso 2015-

Tema 2

Estadística Descriptiva

Distribuciones de frecuencia y representaciones gráficas

2.1 Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la que se les pregunta el nº de individuos que conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes:

4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3.

a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativas y sus correspondientes acumuladas. b) ¿Qué proporción de hogares está compuesto por tres o menos personas? ¿Qué proporción de individuos vive en hogares de tres o menos miembros? c) Dibuje el diagrama de frecuencias absolutas y el diagrama de frecuencias acumuladas. d) Agrupe por intervalos de amplitud 2 los valores de la variable, calcule su distribución de frecuencias y represente con los correspondientes gráficos las frecuencias absolutas y acumuladas.

2.2 El 1/9/2013 el diario El País publicaba el siguiente gráfico sobre la situación del turismo a nivel mundial.

a) ¿Qué variable es la que se está presentando en el gráfico? b) ¿Qué tipo de variable es? c) Construya la tabla de distribución de frecuencias d) Represente la información del gráfico en un diagrama de barras.

2.3 Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los siguientes resultados:

a) Represente gráficamente esta distribución de frecuencias mediante un histograma. b) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas? c) ¿Cuántos hoteles tienen treinta o menos plazas? d) Calcule las marcas de clase de cada intervalo. e) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 15 y 50 plazas? ¿Qué hipótesis hace para este último cálculo?

Plazas Nº de hoteles 0- 10- 30- 60-

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2.6 A continuación se presenta la tabla de clasificación de la liga española 13/14 tras la jornada 3ª, publicada en el diario El Mundo el 1/9/2013, donde figura los partidos jugados (J), los ganados (G), los empatados (E), los perdidos (P), los goles a favor (F), los goles en contra (C) y los puntos (Pt)

Nos centraremos en la variable Goles a Favor (F).

a) ¿Qué tipo de variable es? b) Construya la tabla de frecuencias completa c) Represente gráficamente la variable con los gráficos adecuados a los datos disponibles d) ¿Qué porcentaje de equipos ha marcado 6 goles o más en las tres primeras jornadas?

2.7 Complete la siguiente distribución de frecuencias:

xi ni fi Ni Fi

Total

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Tema 3

Estadística Descriptiva

Medidas de posición, dispersión, forma y concentración

3.1 Cierta cartera de valores ha pasado en 16 años de tener un valor de 1.000 € a valer 4.728 €. Halle el tipo de interés medio anual, o tasa media anual acumulativa, al que ha crecido esta inversión.

3.2 La rentabilidad media anual de un capital de 3.000 euros invertido a un plazo de 10 años ha sido del 5,9%. En el transcurso de ese plazo el tipo de interés anual ha ido cambiando: los tres primeros años obtuvo un interés del 5,2% y los tres siguientes del 6,4%. Suponiendo que en los cuatro últimos años el tipo de interés anual no cambió, ¿cuál fue la rentabilidad anual en esos últimos cuatro años?

3.3 Ya conoce la tabla de clasificación de la liga española 13/14 tras la 3ª jornada, publicada en el diario El Mundo el 1/9/2013, donde figura los partidos jugados (J), los ganados (G), los empatados (E), los perdidos (P), los goles a favor (F), los goles en contra (C) y los puntos (Pt).

Comparemos la variable goles a favor (F, tabla de distribución construida en el problema 2.6) y la variable puntos conseguidos (Pt).

a) Construya la tabla de distribución de frecuencias de la variable Puntos conseguidos (Pt) b) Calcule y compare el número medio de goles a favor y el número medio de puntos conseguidos c) ¿En cuál de las dos distribuciones existe mayor dispersión? Compruébelo por varios métodos d) ¿Cuál de las dos distribuciones tiene una mayor asimetría? Compruébelo por varios métodos e) ¿Dónde hay una distribución más homogénea de equipos, en los goles a favor o en los puntos conseguidos? f) ¿Qué preferiría un equipo, tener 6 goles a favor o tener 6 Ptos.?

3.4 Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 15 años, observándose el número de hijos de las mismas. El resultado ha sido:

xi: nº hijos ni: nº mujeres 0 13 1 20 2 25 3 20 4 11 5 7 6 4 Se pide: a) Calcular el número medio de hijos, la mediana y la moda. b) Calcular los cuartiles. Explique su significado en el ejercicio propuesto c) ¿Cuál es el número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen?

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3.7 La distribución del importe de las facturas por reparación de carrocería de una muestra de 80 vehículos en un taller, viene dada por la tabla siguiente:

Importe (€) Nº facturas 0-60 10 60-80 20 80-120 40 120-240 10

Se pide: a) Calcular el importe medio. ¿El valor hallado es representativo de la distribución de facturas? b) Calcular el importe mediano y el importe más frecuente. c) Calcular el importe mínimo pagado por el tercio de vehículos con facturas de mayor importe. d) ¿Cuál es el importe máximo pagado por las 60 reparaciones más baratas? e) Calcular el grado de asimetría que presenta la distribución con la mayor precisión posible, e interprete el resultado.

3.8 El diario El País publicaba el 1/9/2013 los siguientes gráficos de barras con los países “top ten” en turismo por volumen de viajeros y de ingresos.

Suponiendo despreciable el volumen de viajeros e ingresos fuera de estas 10 primeras posiciones, a) Determine con base estadística si en el sector hay una mayor concentración en términos de volumen de viajeros o en términos de ingresos por turismo. b) Dibuje las curvas de Lorenz de volumen de viajeros y de ingresos en un mismo gráfico c) España ocupa los primeros puestos en ambos rankings, pero ¿en cuál de las dos variables tiene una mejor posición relativa?

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3.9 Establezca, con base estadística, en cuál de las siguientes empresas el salario está repartido de forma más equitativa.

Empresa A Empresa B nº personas salario percibido (€) nº personas salario percibido (€) 15 20 30 20 15

¿Qué conclusiones puede obtener del análisis de las correspondientes curvas de Lorenz?

3.10 Una empresa tenía a finales del pasado año mil seiscientos cincuenta accionistas distribuidos de la siguiente forma:

Nº de acciones Nº de accionistas 0-20 1030 20-60 380 60-100 180 100-500 50 500-1000 10

Se pide: a) Hallar el número medio de acciones por accionista y su desviación típica. b) ¿Cuál es el número de acciones que como máximo posee la mitad del accionariado? c) Comente, con base estadística, el grado de concentración de las acciones. d) ¿Qué porcentaje del total de acciones poseen los accionistas mayoritarios? (accionistas mayoritarios son aquellos que poseen mas de 500 acciones) e) ¿Qué porcentaje de los accionistas minoritarios posee el 20% del total de acciones?

3.11 En un aparcamiento cobran por cada minuto que está estacionado el vehículo 1,5 céntimos de €. La ocupación del aparcamiento durante la semana pasada fue la siguiente:

Tiempo de estacionamiento (min.) Nº de vehículos 0-60 1. 60-120 3. 120-180 746 180-240 327 240-360 218 360-1440 44

Se pide: a) Obtener el tiempo medio de estacionamiento, el más frecuente y el mediano. b) ¿A partir de qué cantidad de tiempo un vehículo está estacionado más que el 85% de los vehículos? c) Calcular los ingresos totales, el ingreso medio y el más frecuente. d) La empresa arrendataria del servicio está estudiando modificar la tarifa existente de la siguiente manera: a todos los vehículos se les cobrará 50 céntimos de € por entrar y 1,1 céntimos de € por cada minuto que tengan su coche dentro del aparcamiento. Bajo esta suposición, y con los datos de que dispone, ¿qué alternativa resultaría más ventajosa para la empresa? Razonar la respuesta.

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3.15 El INE publicó el 27/08/2013 la actualización de los datos de Contabilidad Nacional de España. Según esta publicación, el crecimiento del PIB (tasa de variación anual) cayó un 1,6% en 2012. La evolución desde el año 2000 al 2012 se recoge en el siguiente gráfico. Calcule la tasa de variación media anual.

Fuente:INE

3.16 En un club de fútbol hay equipos que juegan en 3 categorías. Hay un 10% de jugadores que juegan en primera división, un 30% en segunda y un 60% en tercera división. Se sabe que en la temporada 2012- 13 el sueldo medio para los jugadores de primera división fue de 500.000 euros al año, el de segunda división 300.000 € al año y para los de tercera 175.000 € al año.

a) ¿Cuál fue el sueldo medio de los jugadores de todo el club? b) Para la temporada 2013-14 se ha mantenido la plantilla de los trabajadores, pero se han negociado incrementos salariales distintos para cada categoría. Se conocen sólo algunos aspectos de dicha negociación. El salario medio para el conjunto de la empresa será exactamente de 250.000 € anuales. El incremento previsto para los de primera división será del 10%, y para los de segunda un 8%. Tras conocer esta información los jugadores de tercera división deciden convocar una huelga indefinida en tanto en cuanto no se revisen los incrementos salariales pactados ya que se consideran claramente desfavorecidos. Según la información de que dispone ¿estaría de acuerdo con la actitud de dichos jugadores? Justifique su respuesta.

3.17 Una alumna de primer curso de ADE, tras los exámenes de Enero, quiere saber en qué asignatura de las cursadas en el primer cuatrimestre ocupa una mejor posición relativa según la nota obtenida. Para satisfacer su curiosidad dispone de la siguiente información:

Asignaturas Nota obtenida por la alumna

Nota media de la asignatura

Desviación típica de las notas de la asignatura Estadística Descriptiva Sociología de la Empresa Introducción al Derecho … Instrumentos matemáticos … Fundamentos de ADE

Determine en qué asignatura está situada en una mejor posición relativa.

5,0%

3,7%

2,7%

3,1%

3,3%3,6%

4,1% 3,5%

0,9%

- 3,8% - 0,2%

0,1%

- 1,6%

2000200120022003200420052006200720082009201020112012

Crecimiento del PIB en España

(tasa variación anual, %)

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3.18 Un barrio de la periferia de Madrid tiene la siguiente distribución de rentas (en miles de euros):

Renta (miles €) Nº de Familias 3-15 70 15-35 28 35-65 2

a) Obtenga la renta media, modal y mediana de dicho barrio e interprete los resultados. ¿Qué conclusiones puede obtener de la comparación de ambos valores? b) En otro barrio, la renta media por familia es de 12.000€ y la desviación típica de 2.400€ ¿Cuál de los dos barrios puede considerarse más homogéneo en rentas familiares? c) Se decide intervenir con alguna política de subvenciones sobre las rentas de las familias del barrio periférico. Si por ello aumentasen en 4.000 € la renta de cada familia ¿cuál sería la renta media, la modal, la renta mediana y la varianza? ¿Cambiaría la conclusión obtenida en el apartado b)? d) Si debido a la política de subvenciones aumentasen las rentas de las familias en un 10%, ¿cuál sería la renta media, la modal, la renta mediana y la varianza? ¿Cambiaría la conclusión obtenida en el apartado b)?

3.19 El servicio de estudios de una importante entidad bancaria está llevando a cabo un análisis de las exportaciones realizadas por las empresas del sector industrial en España. Concretamente los datos recabados han sido los siguientes:

Exportaciones (miles €)

Número de empresas (cientos) 0 – 10 4 10 – 20 20 20 – 40 10 40 – 50 10

A partir de dicha información: a) Calcule la media y la mediana de las exportaciones realizadas. ¿Qué conclusiones obtiene de la comparación de ambos indicadores? b) En Francia se ha realizado un estudio similar obteniéndose un coeficiente de variación de Pearson de 0,64. Compare este valor con el que se obtendría a partir de los datos suministrados en el ejercicio, ¿qué puede decir sobre ambas distribuciones de frecuencias a raíz de la comparación? c) En ambos países se han aprobado políticas públicas destinadas a incrementar el dinamismo del sector exportador. Como consecuencia, en España cada una de las empresas ha aumentado sus exportaciones un 1%, mientras que en Francia se ha producido un aumento lineal de las exportaciones de 1.000 euros por empresa. A tenor de esta información, ¿cree que cambiarán las conclusiones obtenidas en el apartado anterior? Justifique su respuesta. d) ¿Qué porcentaje de las exportaciones totales realizan el 40% de las empresas que menos exportan? e) Dibuje el histograma de la variable exportaciones

3.20 Las facturaciones sin IVA (en decenas de mil) obtenidas en el último trimestre en 300 restaurantes de una localidad española han sido:

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Tema 4

Estadística Descriptiva

Distribución de frecuencias bidimensional

4.1 A partir de la siguiente distribución bidimensional (Xi, Yj;nij), calcule las X , Y , Sx^2 , Sy^2 y Sxy ¿Son

independientes las variables X e Y?.

X\Y 1 2 3

4.2 A partir de la siguiente distribución bidimensional (Xi, Yj;nij), calcule la X , Y , Sx^2 , Sy^2 y Sxy. Calcule

la distribución de X condicionada a que Y=4. ¿Son independientes las variables X e Y?

X\Y 1 2 3 4 5

- 1 0 1 2

4.3 Dada la siguiente distribución bidimensional, donde X es el nº de miembros del hogar e Y es el nº de coches del hogar, calcule la media y varianza de la distribución del nº de coches condicionada a que el hogar esté formado por 5 miembros.

X\Y 1 2 3 4 1 7 2^10 3 11 5 1 4 16 6 6 5^8 6 4 6 1 2 3 1 7 1 1 1 8^1

4.4 Tenemos la siguiente tabla de correlaciones. Halle n 21 para que las dos variables sean estadísticamente independientes y calcule su covarianza en este caso.

X\Y 5 7 100 8 4 250 n 21 6

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4.5 Vea la situación de la liga Española tras la tercera jornada, según la publicaba El Mundo el día 1/09/2013.

Tomando las variables Goles a Favor (F) y Goles en Contra (C):

a) Construya la tabla de correlaciones b) ¿Son variables independientes? c) Calcule las distribuciones marginales. d) Calcule la distribución de los Goles a Favor, condicionada a tener 3 o menos Goles en Contra e) Calcule la covarianza de ambas distribuciones

4.6 Tenemos una distribución bidimensional expresada en la siguiente tabla de correlaciones. La variable X representa los ingresos familiares mensuales en unidades de 10 €. La variable Y representa, a su vez, los metros cuadrados de la vivienda familiar.

X\Y < 60 60 - 80 80 - 100 100 - 150 > 150 50 - 100^20 18 2 1 100 - 200 25 40 30 2 1 200 - 350 5 10 15 25 3 350 - 500 0 5 15 20 8 > 500 0 1 2 7 10

a) Calcule la distribución marginal de las dos variables. b) Obtenga la distribución de la superficie de la vivienda condicionada al intervalo modal de los ingresos familiares. c) Calcule la distribución de los ingresos condicionada al intervalo mediano de vivienda familiar. d) ¿Son independientes los ingresos familiares y el tamaño de la vivienda donde habitan?

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Tema 5

Estadística Descriptiva

Regresión y correlación

5.1 Justifique las razones por las cuales debe aceptarse o rechazarse que las dos rectas siguientes sean, respectivamente, las líneas de regresión mínimo-cuadráticas de Y sobre X y de X sobre Y de una serie de observaciones.

Y/X: Y = 2X + 1 X/Y: X = - 5Y + 10

5.2 Justifique las razones por las cuales debe aceptarse o rechazarse que las dos rectas siguientes sean, respectivamente, las líneas de regresión mínimo-cuadráticas de Y sobre X y de X sobre Y de una misma serie de observaciones.

Y/X: Y = 2X + 1 X/Y: X = 5Y + 10

Si se acepta como válida la recta Y/X, ¿entre qué valores puede variar el parámetro b’, de la recta X/Y?

5.3 Las notas en Estadística (X) y en Matemáticas (Y) obtenidas por 10 alumnos elegidos al azar en un grupo de primer curso de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales han sido las siguientes, según el orden de selección de la muestra:

Nº orden 1 º 2 º 3 º 4 º 5 º 6 º 7 º 8 º 9 º 10 º Xi (est)^9 7 3 6 7 5 10 8 2 Yi (mat) 8 5 4 2 9 6 10 9 1 5

a) Represente la nube de puntos correspondiente a esta distribución. ¿Qué hipótesis puede hacerse a la vista de esta representación? b) Estime los parámetros de la recta de regresión de Y/X. Interprete los coeficientes calculados. c) Estime los parámetros de la recta de regresión de X/Y. Interprete los coeficientes calculados, y compare ambas rectas. d) Represente las dos rectas de regresión junto a la nube de puntos. e) ¿Es bueno el ajuste de la recta de Y/X a la nube de puntos? ¿Y el de la recta de X/Y? f) Calcule la varianza residual en la regresión Y/X. ¿Coincidirá con la varianza residual en la regresión X/Y?. Compruébelo. g) Para un alumno que haya obtenido un 7 en Matemáticas ¿qué nota le pronosticaría en Estadística? h) Para un alumno que haya obtenido un 4 en Estadística ¿qué nota le pronosticaría en Matemáticas?

5.4 El coeficiente de correlación entre dos variables X e Y es 0,6. Sabiendo además

VARIABLE MEDIA DESV. TIPICA

X 10 1,

Y 20 2

a) Halle las rectas de regresión Y/X y de X/Y.

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b) Calcule la varianza residual para las dos regresiones anteriores.

5.5 En el último año se ha registrado en un hipermercado las cantidades vendidas de un artículo y el precio del mismo, en euros. Aleatoriamente se seleccionan los datos de 10 días, mostrados en la siguiente tabla.

X (precio) (^) 10 , 7 10 , 55 10 , 5 10 , 44 10 , 43 10 , 4 10 , 37 10 , 34 10 , 31 10 , 3 Y (ventas) (^) 18 26 30 33 38 39 42 44 46 49

a) Calcule el coeficiente de correlación lineal entre precios y cantidades, e interprete el valor hallado. b) Obtenga la recta de regresión que explique la cantidad vendida en función del precio del artículo. c) ¿Qué previsión de ventas habrá para un precio de 10,6 €? ¿Qué grado de fiabilidad tendrá esta predicción? d) Dada la bondad del ajuste realizado, ¿puede graficar esquemáticamente las rectas Y/X y X/Y? e) Obtenga la recta de regresión X/Y y represéntela junto a la recta de regresión Y/X y la nube de puntos.

5.6 La clasificación final de la liga ACB en la temporada 2012-2013, donde viene los partidos jugados (J), los ganados (G), los perdidos (P), los puntos a favor (PF) y los puntos en contra (PC).

Fuente: www.altaspulsaciones.com

a) ¿En qué grado marcar más puntos, implica ganar más partidos? b) ¿Existe una correlación entre los partidos ganados y perdidos? ¿Cuál es la varianza residual? c) ¿Qué es más determinante para ganar partidos, tener más puntos a favor, o menos en contra?

5.7 En una distribución bidimensional (X,Y) se ha ajustado una regresión lineal entre las dos variables. Se

sabe que r = 0,8, Sx = 4, Y  2 y que la recta de regresión de X sobre Y ajustada es Y = 4X. Se pide:

Curso 2015-

X-4y = 2 a) ¿Cuál de estas rectas corresponde a la regresión de Y/X y cuál a la regresión de X/Y? b) Calcule las medias aritméticas de Y y de X. c) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal?

5.13 De una distribución bidimensional (Xi, Yj, nij) sabemos que x = 10 y Sxy = 10. Ambas rectas de

regresión pasan por el punto (0,0). ¿Cuál es el grado de bondad del ajuste?

5.14 A partir de un conjunto de datos sobre las variables X e Y se ha calculado la regresión de Y sobre X, obteniéndose los siguientes resultados:

Y = 10 + 0,45 X r^2 = 0,9 X  20

Calcule los parámetros de la regresión de X sobre Y.

5.15 Compruebe si son coherentes los resultados obtenidos al ajustar la recta de regresión:

a) Y = a + b X,  S (^) xy  20 Sx^2  10 Y  8 X  4 a  3

b) Y = a + b X,  S^2 y^  4 Sxy  4 Sry^2  0 , 4 Sx^2  5

5.16 Una de las medidas barajadas ante la situación de crisis actual consiste en rebajar el tipo impositivo del IRPF (impuesto sobre la renta de las personas físicas) con el propósito de conseguir un aumento del consumo y, por ende, una reactivación de la economía. Para probar la eficacia de la medida ésta se aplica de forma experimental a un grupo de ciudadanos, recogiéndose información sobre la variación experimentada en su consumo a raíz de variar el tipo impositivo del IRPF. La variación en el consumo (Y) se ha expresado en cientos de euros, mientras que la variación en el tipo impositivo (X) se ha expresado en porcentaje. A partir de los datos se han obtenido los siguientes momentos respecto al origen: X Y

a 1 = N

 x

a 2 = N

^ x^2 1,343 219,

a 11 = N

 xy

a) Con la información suministrada, ¿cree que la medida va a tener los efectos deseados? Justifique su respuesta. b) ¿Cuál sería la bondad del ajuste de la regresión lineal de Y sobre X? Interprete el resultado obtenido. c) Obtenga el coeficiente de correlación lineal e interprételo. d) Suponga que otro economista ha realizado una regresión lineal de Y sobre X en la que la variable Y se ha expresado en euros mientras que la variable X se ha expresado en tanto por uno. ¿Cómo variarían los valores de los coeficientes de la recta obtenida con estas nuevas unidades de medida?

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5.17 Demuestre que la suma de los errores resultantes de un modelo de regresión lineal simple, ajustado por mínimos cuadrados es igual a cero.

5.18 Si usted prestara dinero, ¿que considera que tiene más riesgo? ¿prestarlo a 1 semana o a 12 meses? En los préstamos, el riesgo se repercute a través del tipo de interés que hay que pagar. La web www.bsmarket.com publica el tipo de interés que se pagan los bancos unos a otros cuando se prestan dinero (en euros) a través del mercado interbancario.

a) Observando los tipos del Euribor y el plazo, ¿qué parte del riesgo no es debido al plazo al que se presta? b) ¿Qué tipo de interés debería tener un préstamo en euros a 24 meses? c) Si un banco paga un 0,30% de interés, ¿a qué plazo lo ha pedido?