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2. TEMA
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
2.0. Introducción: Variable Aleatoria Discreta.
-Variable Aleatoria Discreta.
- Función de Probabilidad y Función de Distribución.
-Media de la Variable Aleatoria Discreta (Esperanza matemática).
-Varianza y Desviación Típica de la Variabla aleatoria discreta.
Unas de las distribuciones discretas más importantes
2.1. Distribución de Bitar o de Bernoulli
2.2. Distribución Binomial
2.3. Distribución de Poisson
2.4. Convergencia de la distribución binomial a la de
Poisson
2.0. Introducción:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
.-Un experimento→Resultados→Cada resultado UNA
PROBABILIDAD
.-En general, una variable aleatoria es una función real que define el
conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
.-¿Qué valores coge la variable?:
-DISCRETOS: Variable Aleatoria Discreta. -CONTINUOS: Variable Aleatoria Continua (puede coger cualquier valor de un intérvalo).
.-Variable Aleatoria Discreta:
Función de Probabilidad y Función de Distribución.
-Media de la Variable Aleatoria Discreta (esperanza matemática).
-Varianza y Desviación Típica de la Variable Aleatoria Discreta.
2.0. Introducción:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
.-Variable Aleatoria Discreta:
Función de Distribución.
-Sean x 1 , x 2 , …, xn los valores de la Variable Aleatoria discreta X.
-Sea f(x) la función de Probabilidad.
La Función de Distribución F(x) de la Variable Aleatoria Discreta se
define de la siguiente manera:
F(x) = P(X≤x) = Sumatorio de f(xi), donde xi≤x
(La probabilidad de que la V. A. coja valores menores o iguales a x)
CONSECUENTEMENTE:
1.-Conociendo la Función de Probabilidad podemos concretar la
Función de Distribución.
2.-Conociendo la Función de Distribución si queremos conocer la
Función de Probabilidad podemos aplicar las siguientes propiedades:
f(xi) = F(xi ) –F(xi-1 ), i=1,2,…,n
2.0. Introducción:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
.-Variable Aleatoria Discreta:
Media o Esperanza Matemática
-Sea X una Variable Aleatoria Discreta
- x 1 , x 2 , …, xn son los valores que coge esa Variable
-las probabilidades de cada valor son p 1 , p 2 ,…, p (^) n
Entonces, la media o la esperanza matemática de la Variable
aleatoria Discreta X se define de la siguiente manera:
μ = E(x) = ∑xi p (^) i (i=desde1 hasta n) = ∑xi f(xi ) (i=1hasta n)
LAS PROPIEDADES MAS IMPORTANTES de la esperanza
matemática de la Variable Aleatoria Discreta son las siguientes:
1.-E(k)= k, siendo k una constante.
2.-Siendo X 1 , X 2 , …,X (^) n Variables Aleatorias Discretas,
E(X 1 +X 2 +…+Xn ) = E(X 1 )+E(X 2 )+…+E(Xn )
2.0. Introducción:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Desviación Típica
-A la Raiz cuadrada de la Varianza se le denomina DESVIACION
TIPICA: σx= √ Var(x)
Entre las PROPIEDADES de la Varianza de la v.a. discreta X se
pueden destacar las siguientes:
1.-Var(X) ≥0, para toda v.a. discreta X.
2.-Var(k) = 0, siendo k una constante.
3.-Var (X) = E{ (X-μ)²} = E(X²) - μ²
4.-Siendo X 1 , X 2 ,…,X (^) n v.a. discretas e independientes, entonces
Var ( X 1 +X 2 +…+X (^) n) = Var(X 1 ) + Var(X 2 )+…+ Var(X (^) n)
5.-Var(kX) = K ² Var(X), k siendo una constante
6.-Var (X+k) = Var (X), siendo k una constante.
TEMA 2
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
2.1. Binaria
2.2. Binomial
2.3. Poisson
2.4. Convergencia de la distribución binomial en
la distribución de Poisson
2.1. DISTRIBUCION BINARIA o de Bernoulli (x ∼ B(1,p))
Distribución binomial cuando n=1 [x~B(1,p)]
Ejemplos:
.-En una urna hay bolas negras en una proporción p y de otros colores. Sacamos una bola. La v.a. nº de bolas negras es binaria (p)
Lanzo una moneda. La v.a. nº de caras es binaria (p=0,5)
Tengo almacenadas piezas (el 10% defectuosas. Saco una. La v.a. nº de piezas defectuosas es binaria (p=0,1)
Propiedades más importantes: 1.- p,q> 0 2.-p+q = 1 3.-μ=Ex=p 4.-Var(x)=E(x-m)²= pq
2.1. DISTRIBUCION BINARIA
o de Bernoulli (x ∼ B(1,p))
La distribución binaria se corresponde con todo proceso de carácter dicotómico, donde sólo existen dos procesos posibles y, por tanto, complementarios. Sirve para toda situación donde se dé éxito o fracaso.
En el mundo real hay muchas ocasiones relacionados con fenómenos dicotómicos que se pueden modelizar a través de la distribución binomial B(0;1) o B(1;p)
como por ejemplo tirar una moneda y sacar cara/cruz; obtener un as en un dado; que una pieza fabricada sea defectuosa, etc.
EXPLICACION BINOMIAL
Nos encontramos con un modelo derivado de un proceso experimental puro, en el que se plantean las siguientes circunstancias:
1.-Se realiza un número n de pruebas y cada prueba puede dar dos únicos resultados A y à ·
2.-La probabilidad de obtener un resultado A es p y la de obtener un resultado à es q, con q= 1-p, en todas las pruebas. (ya que p+q=1)
3.-Esto implica que las pruebas se realizan exactamente en las mismas condiciones y son , por tanto ,independientes en sus resultados.
4.-Si se trata de extracciones, (muestreo), las extracciones deberán ser con devolución (reemplazamiento) , o bien población grande (la extracción no varía las condiciones de la prueba).
“P(z) es la probabilidad de que repitiendo el experimento n veces, el suceso de probabilidad p ocurra z veces”
1.-¿Cómo utilizar la tabla de la distribución Binomial? (en nuestro caso, dicha tabla está construida con la probabilidad en cada punto) Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la probabilidad de obtener cara es del 30%. La probabilidad que salga cruz será, pues, del 70%. Lanzamos la moneda 10 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la probabilidad de que observemos 6 caras o menos nos fijamos en la tabla: localizamos n=10, x=6, p=0.3 y sumamos las probabilidades individuales desde x=0 hasta x=6 inclusive. Es decir: P(x≤6)= P(0) +P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)= 0.0282+0.1211+0.2335+0.2668+0.2001+0.1029+0.0368= 0.
Entonces utilizaríamos el hecho de que el suceso descrito es el complementario del anterior [P(x≥7) = 1-P(x≤6)] para afirmar que la probabilidad buscada es 1-0.9894= 0.
Tendríamos que mirar sólo el punto P(x=6) = 0.
2.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que salieran 7 caras o más?
3.-¿Y si nos pidieran la probabilidad de que salieran exactamente 6 caras?
Ejemplos
En una urna hay bolas negras en una proporción p, y de otros colores. Suponemos que el nº de bolas en la urna es muy grande.
Sacamos n bolas. La v.a. z, nº de bolas negras es binomial (n,p)
Lanzo 10 monedas, la v.a. z “nº de caras” es binomial (10, 0´5)
z∈b(10, 0´5)
P(3)=0.
P(3<z≤6)=0.2051+0.2461+0.2051=0.
P(z < 3) = 0.
Tengo almacenadas piezas defectuosas (10%). Saco 25. La v.a. piezas defectuosas es binomial (25, 0´1) z ∈b(25, 0´1)
P(2)= 0,
P(z < 2)= 0.
P(z >2)= 0.
2.3. DISTRIBUCION POISSON
la distribución de Poisson es una distribución
de probabilidad discreta que expresa, a partir
de:
- media de la cantidad de eventos en un
intervalo (λ),
-la probabilidad de que ocurra un determinado
número de eventos (k) durante cierto periodo de tiempo.
k!
e
P(k)
λ
λ> 0 x∈P(λ)
Explicación de Poisson
Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta.
Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio.
Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos con dos posibilidades reiterados un gran número de veces, si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña .
2.4. Condiciones para que la d.
binomial converja en la d. de
Poisson
La distribución binomial tiende a converger a la distribución de Poisson cuando el parámetro n tiende a infinito y el parámetro p tiende a ser cero, de manera que el producto de n por p sea una cantidad constante.
De ocurrir esto la distribución binomial tiende a un modelo de Poisson de parámetro λ igual a n por p
Este resultado es importante a la hora del cálculo de probabilidades , o incluso a la hora de inferir características de la distribución binomial cuando el número de pruebas sea muy grande y la probabilidad de éxito sea muy pequeña.
Aproximación para P(z) : Poisson (λ=np)
