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El modelo de probabilidad poisson, que se utiliza para describir experimentos que dan como resultado valores numéricos de una variable aleatoria x desarrollados en intervalos fijos de tiempo o espacios. Se explica que los experimentos que siguen este modelo se denominan procesos de poisson y tienen ciertas propiedades, como que la probabilidad de ocurrencia del evento discreto es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio. Se muestra la fórmula de la función de probabilidad poisson y se proporcionan varios ejemplos de aplicación, como el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de accidentes en una carretera, de cheques sin fondos en un banco y de imperfecciones en un proceso de producción. Además, se introduce brevemente el modelo de distribución exponencial, que se utiliza de forma inversa al modelo de poisson para calcular la probabilidad de que pase una determinada cantidad de tiempo antes de que ocurra un evento.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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Universidad de El Salvador Facultad de Ciencias Económicas
2. Modelo de probabilidad Poisson Los experimentos que dan como resultado valores numéricos de una variable aleatoria X desarrollados en intervalos fijos de tiempo o espacios se denominan procesos de Poisson. De aquí que un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el número de ocurrencias de algún evento en un lapso de tiempo dado. Por ejemplo: Llamadas telefónicas que se reciben un conmutador, durante un día, semana, mes, etc. Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro, durante un día, semana, mes, etc. El número de accidentes en un cruce, durante un día, semana, mes, etc. El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo, durante un día, semana, mes, etc. El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico, durante un día, semana, mes, etc. Número de estudiantes que llegan a efectuar algún trámite a la oficina del administrador académico, durante un día, semana, mes, etc. Número de sismos en una región durante un año.
La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia de otro intervalo cualquiera. En la medida en que los valores de x, se distancian del valor del promedio , λ, la probabilidad de esos valores de “x” tiende a cero.
𝒇(𝒙, 𝝀) = 𝒆
𝝀
𝒙!
¿suma 1? VAX: # de accidentes (^) 𝒇(𝒙, 𝝀) = 𝒆−𝝀^ 𝝀𝒙 𝒙! Probabilidad x = 0 𝒇(𝟎,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟎 𝟎!
x = 1 𝒇(𝟏,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏 𝟏! 0.0^337 x = 2 𝒇(𝟐,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟐 𝟐! 0.0^842 x = 3 𝒇(𝟑,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟑 𝟑! 0.^1404 x = 4 𝒇(𝟒,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟒 𝟒! 0.^1755 x = 5 𝒇(𝟓,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟓 𝟓! 0.^1755 x = 6 𝒇(𝟔,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟔 𝟔! 0.^1462 x = 7 𝒇(𝟕,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟕 𝟕! 0.^1044 x = 8 𝒇(𝟖,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟖 𝟖! 0.^0653 x = 9 𝒇(𝟗,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟗 𝟗! 0.0^362 x = 10 𝒇(𝟏𝟎,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟎 𝟏𝟎! 0.0^181 x = 11 𝒇(𝟏𝟏,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟏 𝟏𝟏! 0.0^082 x = 12 𝒇(𝟏𝟐,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟐! 0.^0034 x = 13 𝒇(𝟏𝟑,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟑 𝟏𝟑! 0.0^013 x = 14 𝒇(𝟏𝟒,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟒 𝟏𝟒! 0.00^05 x = 15 𝒇(𝟏𝟓,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟓 𝟏𝟓! 0.00^02 x = 16 𝒇(𝟏𝟔,^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟓^ 𝟓𝟏𝟔 𝟏𝟔! 0.00^00
b) Elabore la respectiva distribución de probabilidad para la VAX: # de accidentes por quince días 𝝀 = 5 accidentes por mes Esto conlleva a deducir que en quince días: 𝝀 = 2.5 accidentes por quince días VAX: # de accidentes 𝒇(𝒙, 𝝀) = 𝒆−𝝀^ 𝝀𝒙 𝒙! Probabilidad x = 0 𝒇(𝟎,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟎 𝟎! 0.0 821 x = 1 𝒇(𝟏,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟏 𝟏! 0.^2052 x = 2 𝒇(𝟐,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟐 𝟐! 0.^2565 x = 3 𝒇(𝟑,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟑 𝟑! 0.^2138 x = 4 𝒇(𝟒,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟒 𝟒! 0.^1336 x = 5 𝒇(𝟓,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟓 𝟓! 0.^0668 x = 6 𝒇(𝟔,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟔 𝟔! 0.^0278 x = 7 𝒇(𝟕,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟕 𝟕! 0.^0099 x = 8 𝒇(𝟖,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟖 𝟖! 0.^0031 x = 9 𝒇(𝟗,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟗 𝟗! 0.0^009 x = 10 𝒇(𝟏𝟎,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟏𝟎 𝟏𝟎! 0.0^002 x = 11 𝒇(𝟏𝟏,^ 𝟐.^ 𝟓)^ =^ 𝒆−𝟐.𝟓^ 𝟐. 𝟓𝟏𝟏 𝟏𝟏! 0.0^000
en promedio por minuto. a) ¿Cuánto es la probabilidad de identificar una imperfección en tres minutos? VAX: # de imperfecciones por 3 minuto 𝒇(𝒙, 𝝀) =
−𝝀 𝝀 𝒙 𝒙! Fórmula: Sustituyendo: 𝒇(𝟏, 𝟎. 𝟔) = 𝒆−𝟎.𝟔^ 𝟎.𝟔𝟏 𝟏! = 0.2 imperfecciones por minuto = 0. b) ¿Cuánto es la probabilidad de identificar al menos dos imperfecciones en 5 minutos? VAX: # de imperfecciones por 5 minutos = 0.2 imperfecciones por minuto Interpretación: Es decir que 0.3293, es la probabilidad de que aparezca Una imperfección en tres minutos Por regla de tres: = 0.6 imperfecciones por 3 minutos Por regla de tres: = 1.0 imperfecciones por 5 minutos 𝑃 𝑥 ≥ 2 = 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3 +𝑃 𝑥 = 4 + … … 𝑃 𝑥 = ∞
𝑷𝒐𝒅𝒓í𝒂 𝒉𝒂𝒃𝒆𝒓 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒊𝒂, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒎𝒖𝒚 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒏𝒔𝒊𝒗𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝑃 𝑥 ≥ 2 = 1 − 𝑃(𝑥 < 2 ) 𝑃 𝑥 ≥ 2 = 1 − ⦋𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 ⦌ 𝑃 𝑥 ≥ 2 = 1 − ⦋ 0. 3679 + 0. 3679 ⦌ 𝑃 𝑥 ≥ 2 = 1 − 0. 7358 = 0. 2642
3. Modelo de probabilidad Exponencial El modelo de distribución de Poisson calcula probabilidades acerca de la cantidad de eventos discretos en el tiempo, tal como: el número de llamadas en un lapso de tiempo, el número de llegadas a atención de clientes por lapso de tiempo, el número de imperfecciones por yarda o metro, etc.. Pues bien, ahora se considera en una forma inversa, la distribución exponencial donde interesa determinar la probabilidad de que pase una determinada cantidad de segundos, minutos, horas, días, meses, años, antes de que aparezca una llamada, o llegada de clientes, o la primera imperfección etc Con lo anterior, debemos de tener una conclusión preliminar: En la distribución Poisson , la variable de interés es el “# de eventos discretos” que ocurren en lapso de tiempo o espacio físico. Variable Aleatoria Discreta
