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Estadistica II angles, Apuntes de Estadística

Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)Estadística

Asignatura: Estadística II, Profesor: , Carrera: Comptabilitat i Finances, Universidad: UAB

Tipo: Apuntes

2016/2017

Subido el 25/09/2017

esee-6 🇪🇸

3.9

(18)

24 documentos

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Descubre Apuntes de Estadística Universitat Autònoma de Barcelona (UAB)

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� �� X¯ = (^) n^1

� (^) n i=1 x^ i � �� S 2 = (^) n−^11

� (^) n i=1 (x^ i^ −^

X¯) 2

� �� ˆπ = (^) n^1

� (^) n i=1 x^ i

��

�� θˆ �� θ� �� θˆ ��

B(ˆθ) = E(ˆθ) − θ

�� θˆ �� θ ��

B(θˆ) = 0 (�� E(θˆ) = θ)

�� θˆ 1 �� θˆ 2 �� θ� ��

�� ˆθ 1 �� θˆ 2 �� θ� �� (M QE) ��

M QE(θˆ) = E(θˆ − θ) 2 = V (θˆ) + B(θˆ) 2

�� M QE ��

�� μ �� n �� μ �� σ 2

μ ˆ 1 =

x 1 + x 2 + x (^3) 3

μˆ 2 =

x 1 + x (^2) 2

��

B(ˆμ 1 ) = E(ˆμ 1 ) − μ = E( x 1 + x 2 + x (^3) 3

) − μ =

(E(x 1 ) + E(x 2 ) + E(x 3 )) − μ =

3 μ − μ = μ − μ = 0

B(ˆμ 2 ) = E(ˆμ 2 ) − μ = E(

x 1 + x (^2) 2

) − μ =

(E(x 1 ) + E(x 2 )) − μ =

2 μ − μ = μ − μ = 0

V (ˆμ 1 ) = V ( x 1 + x 2 + x (^3) 3

(V (x 1 ) + V (x 2 ) + V (x 3 )) =

3 σ 2 =

σ 2 3

V (ˆμ 2 ) = V (

x 1 + x (^2) 2

(V (x 1 ) + V (x 2 )) =

2 σ 2 = σ 2 2

�� μˆ 1 �� σ^

2 3 <^

σ 2 2 �

�� θˆ �� θ �� θˆ �� θ ��

lim n→∞ B(θˆ) = 0

�� (σ 2 )

S˜ 2 =

� (^) n i=1 (x^ i^ −^

X¯) 2

�� μ �� X¯ �� μ �� ^ � �� = { 1 , 2 , 3 , 4 }

X^ ¯ = 1 + 2 + 3 + 4

�� μ ��

�� μ σ 2 , π�� X, S¯ 2 , ˆπ��

�� {x 1 , x 2 , · · · x (^) n } �� (θ) �� f (x; θ)� ��

�� θ �� f (x; θ) �� {x 1 , x 2 , · · · x (^) n }� ��

� (^) ��

�� L� ��

L(x 1 , x 2 , · · · x (^) n ; θ) = P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · Xn = x (^) n ; θ)

�� f (x; θ) �� P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · Xn = x (^) n ; θ) ��

P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · Xn = x (^) n ; θ) = f (x 1 ; θ) · f (x 2 ; θ) ·... · f (x (^) n ; θ)

L(x 1 , x 2 , · · · x (^) n ; θ) = f (x 1 ; θ) · f (x 2 ; θ) ·... · f (x (^) n ; θ) =

�^ n

f (x (^) i ; θ)

�� ln� ��

ln L(x 1 , x 2 , · · · x (^) n ) = ln

�^ n

f (x (^) i ; θ) =

�^ n

ln f (x (^) i ; θ)

θ �� L �� L �� θ �� θ �� θ �� ln L �� L �� ∂ ln L(x 1 , · · · x (^) n ; θ) ∂θ

�� θ �� θ� �� θˆ (^) M L

�^ n

∂μ

x (^) i − μ σ

�^ n

x (^) i − μ σ

�^ n

x (^) i − μ σ 2

∂L(x 1 , · · · x (^) n ) ∂μ

�^ n

x (^) i − μ σ 2

σ 2

�^ n

x (^) i −

�^ n

μ) = 0

�n

x (^) i =

�^ n

μ ⇒

�^ n

x (^) i = nμ ⇒ μ =

� (^) n i=1 x^ i n

�� μ �� X¯

μ ˆ (^) M L =

� (^) n i=1 x^ i n

= X¯

�� f (x, θ)� �� θ ��

��

�� X �� μ ��

μ = E(X) =

xf (x, θ)dx

�� θ� �� μ = g(θ)

�� X¯ �� μ, �� μ = X¯ � �� X¯ = g(θ)

�� g �� θ �� X¯ �� θ �� θˆ (^) M M

θ^ ˆ (^) M M = g −^1 ( X¯)

��

f (x, θ) =

(θ + 1)x θ^0 ≤ x ≤ 1 0 ��

�� θ

��

μ = E(x) =

x(θ + 1)x θ^ dx = (θ + 1)

x (θ+1)^ dx =

= (θ + 1)

x (θ+2) θ + 2

(θ + 1) (θ + 2) �� μ =

θ + 1 θ + 2

�� μ

X^ ¯ = θ^ + 1 θ + 2

�� θ

θ^ ˆ (^) M M =^1 −^2

X¯

X^ ¯ − 1

�� μ ��

μ ∈ [2. 25 , 2 .75] �� 95%

�� 1 − α�

�� μ

�� N (0, 1) �� 0. 975. ��

Z 0. 975 = 1. 96

[ X¯ − z (^1) − α 2

σ 2 n

, X¯ + z (^1) − α 2

σ 2 n

] =

= [26. 000 − 1. 96

]

μ ∈ [25. 804 , 26 .196] ��

�� σ 2 ��

�� σ 2 �� σ 2 �� S 2 � �� N (0, 1)� �� t − student �� n − 1 ��

μ ∈ [ X¯ − t (^1) − α 2

S 2

, X¯ + t (^1) − α 2

S 2

] �� 1 − α

�� t (^1) − α 2 �� t−student �� 1 − α 2 ��

�� n �� t (^1) − α 2 �� z (^1) − α 2 �

�� {x 1 , x 2 , · · · , x 100 } �� μ �� X¯ = 26. 000 �� S 2 = 980. 000

�� 1 − α = 0. 95 � �� α = 0. 05 �� α 2 = 0.^025 � �� 1 −

α 2

[ X¯ − t (^1) − α 2

S 2

, X¯ + t (^1) − α 2

S 2

]

�� t �� t − student �� n − 1 = 99 �� t (^1) − α 2 = t 0. 975

�� t − student �� 0. 975. ��

t (^0). 975 (99) = 1. 984

[ X¯ − t (^1) − α 2

S 2

, X¯ + t (^1) − α 2

S 2

] =

= [26. 000 − 1. 984

]

μ ∈ [25. 803 , 56 , 26. 196 , 42] ��

�� S 2 ��

(n − 1)S 2 σ 2 ∼ χ (^2) n− 1

p(χ α 2 ≤

(n − 1)S 2 σ 2 ≤ χ (^1) − α 2 ) = 1 − α

�� χ α 2 �� χ (^2) n− 1 �� α 2 �� χ (^1) − α 2 �� χ (^2) n− 1 �� 1 − α 2 �

��

χ α 2

σ 2 (n − 1)S 2

χ (^1) − α 2 ) = 1 − α

(n − 1)S 2 χ α 2

≥ σ 2 ≥

(n − 1)S 2 χ (^1) − α 2

) = 1 − α

σ 2 ∈ [

(n − 1)S 2 χ (^1) − α 2

(n − 1)S 2 χ α 2

] �� 1 − α

�� ˆπ �= (^12)

π ∈ [ˆπ − z (^1) − α 2

, ˆπ + z 1 − α 2

]

�� ˆπ�� 0. 5 �� πˆ ∈ [0. 35 , 0 .65]

�� π� ��

�� 1 − α = 0. 95 � �� α = 0. 05 �� α 2 = 0.^025 � �� 1 −

α 2

π ˆ =

�� πˆ � 0. 5 � ��

[ˆπ − z (^1) − α 2

πˆ(1 − πˆ) n

, ˆπ + z 1 − α 2

πˆ(1 − πˆ) n

]

�� Z ��

Z (^1) − α 2 = Z (^0). 975

�� N (0, 1) �� 0. 975. ��

Z 0. 975 = 1. 96

[ˆπ − z (^1) − α 2

ˆπ(1 − πˆ) n

, ˆπ + z 1 − α 2

πˆ(1 − πˆ) n

] =

= [0. 45 − 1. 96

]

π ∈ [0. 4342 , 0 .4657] ��

Estadistica II angles, Apuntes de Estadística

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X¯) 2

������� ����� ������� �� �� ��������� ��� ���� ������ ���� ��� M QE ��� ��������

X¯) 2

X^ ¯ = 1 + 2 + 3 + 4

���� �� ��������� �� ����� ������ �� � �������� �������� �� L� ���� ������� ��

= X¯

X¯

X^ ¯ − 1

���� ��� ��� ����� �� � N (0, 1) ���� ��� �� ��� ���� � ����������� �� 0. 975. �� ���

Z 0. 975 = 1. 96

] =

= [26. 000 − 1. 96

]

S 2

S 2

S 2

S 2

]

S 2

S 2

] =

= [26. 000 − 1. 984

]

��� ������ �������� S 2 ����� �� �������� �� ���� ��� ����

]

]

����� ��� ��� ������ ��� ����� ������ ��� ��� ������ Z ���� ���������� �� �

���� ��� ��� ����� �� � N (0, 1) ���� ��� �� ��� ���� � ����������� �� 0. 975. �� ���

Z 0. 975 = 1. 96

] =

= [0. 45 − 1. 96

]

�� M QE ��

�� L� ��

�� N (0, 1) �� 0. 975. ��

�� S 2 ��

�� Z ��

�� N (0, 1) �� 0. 975. ��