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Aproximación Poisson a la distribución binomial
Si n es “grande” y p es “pequeño” tenemos la siguiente aproximación:
Teorema Si n F 0 A EF 0 A 5y p F 0 A E0 en forma tal que np F 0 A Ea entonces C(n,k) pk^ qn^ F 0 2 Dk^ F 0 A Ee F 0 2 Da^ a k^ / k!
Demostración Definimos an = np así que an F 0 A Ea. Tenemos que:
Ejemplo Se distribuyen al azar n bolillas entre n cajas. ¿ Cual es la probabilidad de encontrar k bolillas en una dada caja? C(n,k) (1/n) k^ (1 F 0 2 D1/n) n^ F 0 2 Dk^ F 0 B Be F 0 2 D^1 / k!
Ejemplo Durante la segunda guerra mundial cayeron sobre Londres 537 bombas voladoras. El área afectada fué dividida en 576 sectores iguales. Sea N (^) k el número real de sectores en los cuales cayeron k bombas. Suponiendo que las bombas cayeron al azar, el número esperado de bombas por sector es 537/576= 0.932. La probabilidad que caigan k bombas en un sector, según la aproximación Poisson , es Pk = e F 0 2 D0.932^ (0.932)k^ / k! La tabla adjunta muestra la comparación entre real y teórico:
k (^0 1 2 3 4) F 0 B 3 5
Nk 229 211 93 35 7 1
576 Pk 226 211 99 31 7 2
Proceso Poisson A lo largo del eje positivo del tiempo (t>0) se presentan aleatoriamente eventos. Por ejemplo, una sustancia radioactiva emite partículas o llegan llamadas a una central telefónica. El modelo más simple para describir este tipo de proceso es el que se describe a continuación.
Para 0 F 0 A 3u<t llamemos Ak(u,t] = {en el intervalo (u,t] se emiten k partículas}.
Haremos las siguientes hipótesis.
I) El proceso es homogéneo con respecto al tiempo: P{A(u,t]} = P (^) k(t F 0 2 Du)
II) Lo que ocurre en intervalos disjuntos es independiente: Ak (u,t] y Ak (t,v] son independientes.
III) La probabilidad que se presenten simultáneamente 2 o más eventos es imposible. Esto se puede expresar imponiendo la condición de que la probabilidad que se presenten 2 o mas eventos en el intervalo (0,t] ,dado que se presentó un evento en dicho intervalo, tiende a 0 con t. Esto es equivalente a la condición:
Demostraremos que I), II) y III) implican que
P (^) k(t)= e F 0 2 DF 0 6 Ct^ ( F 0 6 Ct)k^ / k! (A)
Proceso de Poisson
Demostración Realizaremos la demostración en 4 pasos.
- De la definición de A (^) k(u,t] resulta:
Ak (0,t+s] = A (^) k(0,t] F 0 C 7A 0 (t,t+s] + A (^) k (^) F 0 2 D 1 (0,t] F 0 C 7A 1 (t,t+s] + ... + A 0 (0,t] F 0 C 7Ak (t,t+s]
De los axiomas I) y II) resulta :
P (^) k(t+s) = P (^) k(t) P 0 (s) + P (^) k F 0 2 D 1 (t) P 1 (s) + ... + P 0 (t) Pk (s) (B)
- Demostraremos que
P 0 (t)= e F 0 2 DF 0 6 Ct^ donde F 0 6 C>0. (C)
De (B) resulta para k=0 que P 0 (t+s) = P 0 (t) P(s). Esto muestra que P 0 (t) es no creciente. Además, si r y s son enteros positivos deducimos que: P 0 (r/s) = [P 0 (1/s)]r Para el caso particular r=s se deduce P 0 (1/s) = [P 0 (1)]1/s^. Reemplazando: P 0 (r/s) = [P 0 (1)]r/s Como P 0 (t) es no creciente debemos tener 0 F 0 A 3P 0 (1) F 0 A 31. P 0 (1)= 1 implica P 0 (t) = 1 para t racional lo que contradice III) P 0 (1)= 0 implica por (B) P 1 (t+s)=0 lo que tambien contradice III)
Por lo tanto, existe F 0 6 C>0 tal que P 0 (1) = e F 0 2 DF 0 6 C. Esto demuestra (C) para t racional.
Sea t>0 un número real y dos sucesiones de numeros racionales tales que r (^) n F 0 A Dt y s (^) n F 0 A Ft entonces:
exp( F 0 2 DF 0 6 Crn) F 0 B 3P 0 (t) F 0 B 3exp( F 0 2 DF 0 6 Cs (^) n) Tomando el límite queda demostrado (C).
- De (C) resulta:
[1 F 0 2 DP 0 (t)] / t F 0 A EF 0 6 Ccuando t F 0 A E 0 (D1)
Aplicando este resultado en III) resulta: P 1 (t) / t F 0 A EF 0 6 Ccuando t F 0 A E 0 (D2)
Finalmente observamos que 0 F 0 A 3P 0 (t) + P 1 (t) + P (^) k(t) F 0 A 31. De donde:
0 F 0 A 3P (^) k(t) / t F 0 A 3P 1 (t) / t + [1 F 0 2 DP 0 (t)] / t. De donde:
Pk (t)/ t F 0 A E0 cuando t F 0 A E0 (k F 0 B 32) (D3)
- A partir de (B) obtenemos:
Haciendo s F 0 A E0 y teniendo en cuenta (D1), (D2) y (D3) resulta:
P’ (^) k (t) = F 0 2 DF 0 6 CPk (t) + F 0 6 CPk F 0 2 D 1 (t) F 0 D Ee F 0 6 Ct^ [P’k(t) + F 0 6 CPk(t)] = F 0 6 Ce F 0 6 Ct^ Pk F 0 2 D 1 (t)
El primer miembro es la derivada de e F 0 6 Ct^ Pk (t). Integrando resulta:
Para k=1 se obtiene P 1 (t) = F 0 6 Ct e F 0 2 DF 0 6 Ct^. Por inducción resulta (A) ▼
Proceso de Poisson
(1/ F 0 4 7(a)) F 0 F 2x k^ e F 0 2 Dx^ x a^ F 0 2 D^1 dx = F 0 4 7(a+k) / F 0 4 7(a) = a (a+1) ... (a+k F 0 2 D1)
La función G (^) a( F 0 6 Cx) para x F 0 B 30, donde F 0 6 Ces un parámetro positivo, se la denomina función distribución gamma. Su correspondiente función densidad F 0 6 Cga( F 0 6 Cx) está dada por:
(a>0, F 0 6 C>0) El caso a=1 es de particular importancia y se llama distribucion exponencial. Advirtamos que si la variable aleatoria F 0 7 8tiene una distribución gamma, es decir , P{ F 0 7 8F 0 A 3x}= Ga ( F 0 6 Cx) entonces F 0 6 CF 0 7 8tiene la distribución G (^) a(x). De esto se deduce que: E{ F 0 6 CF 0 7 8}= a y E{ F 0 6 C^2 F 0 7 8^2 }= a(a+1) F 0 D EE{ F 0 7 8}= a/ F 0 6 Cy Var{ F 0 7 8}= a/ F 0 6 C^2.
Ejercicio 1 Consideremos una sucesión de ensayos de Bernoulli y sea F 0 6 En = número de exitos en n ensayos. Hallar el coeficiente de correlación F 0 7 2( F 0 6 En , F 0 6 Em ) (n,m= 1,2,...) definido por:
Ejercicio 2 Sea F 0 7 8una variable aleatoria con distribución Poisson, es decir, P{ F 0 7 8=k} = e F 0 2 Da^ a k^ / k! Hallar E{ F 0 7 8},
Var { F 0 7 8} y E{ C( F 0 7 8,r) } para r = 0,1,2,...
Ejercicio 3 Consideremos las variables aleatorias F 0 7 8 1 , F 0 7 8 2 , F 0 7 8 3 con la distribución común P{ F 0 7 8i =n} = pqn^ F 0 2 D^1.
Hallar P{ F 0 7 8 1 + F 0 7 8 2 = n} y P{ F 0 7 8 1 + F 0 7 8 2 + F 0 7 8 3 = n}.
Ejercicio 4 Sean F 0 7 8y F 0 6 8dos variables independientes con la dist. común normal F 0 4 6(x). Hallar P{ F 0 7 8F 0 2 DF 0 6 8F 0 A 3x}
Proceso de Poisson
