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EJERCICIOS TEMA 1
1.1. Sea una población N (μ, σ²). Calcular el error máximo que se ha cometido al estimar μ, con un nivel de confianza de 0.95, en los casos siguientes:
a) Cuando el tamaño de la muestra fue 25 y la desviación típica insesgada obtenida en la misma fue de 5.
Datos: N = 25 Sn-1 = 5 E.máx =¿?
E.T = Sn-1 / √n = 5 / 5 = 1 E.T = 1
Se distribuye T de Student, con n-1 g.l , luego se distribuye t24.
Emáx. = | valor α / 2 x 0 1A 0| = | 0.025 t24 x 1 | = | 2.064 x 1 | = 2.064 Emáx = 2.
b) Cuando el tamaño de la muestra fue 100 y la desviación típica insesgada fue 5.
Datos: N= 25 Sn-1 = 5 Emáx = ¿?
E.T = Sn-1 / √n = 5/ 10 = 0.5 E.T = 0.
E.máx = | 0.025 t99 x 0.5 | = | 1.984 x 0.5 | = 0.992 E.máx = 0.
1.2. Una casa editora de pruebas psicológicas acaba de sacar el mercado un test de Inteligencia Verbal, con una media igual a 100 para la población en la que se ha baremado el test. Un psicólogo de un barrio residencial sospecha que la media del test en ‘’ su población’’ está algunos puntos por encima. Para ello, elige una muestra de 80 niños del instituto del barrio y encuentra que la media es 105 y la varianza 20. A partir de estos datos, ¿Se podría decir que la media de la población es mayor que 100?
Datos: N= μ = 100 X(media)= 105 σ ² = 20
Puesto que no tenemos fijado el nivel de significación, α, determinamos que este valor es 0.05, que es uno de los valores más usuales junto con el valor 0.01.
Puesto que α es 0.05, 1 – α es igual a 0.995, ya que es un contraste unilateral derecho.
1-α= 0. ——————|——— 0.095 T 79 = 2, α = 0.
Como 9,94 > 2.639, rechazamos Ho, por lo que SÍ se podría decir que la media de la población es mayor.
1.3 Extraemos una muestra aleatoria simple de una población N (μ, σ²).
A) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra si sabemos que P (| Xmedia - μ|) > 3. = 0.05 y la desviación típica de la media ha sido 1.8228?.
Datos: P (| Xmedia - μ|) > 3.684 = 0. σx (media) = 1.
Deducimos, por tanto, que 0.05 es α, por lo que α/2 será 0.025.
E.máx = | α/2 tn-1 x σx(media) |
3.684 = | 0.025 tn-1 x 1.8228 |
| 0.025 tn-1 | = 2. Buscamos en la tabla, y encontramos que n = 40, pero como esta distribución se distribuye con Tn-1 g.l, el resultado final es 41.
Resultado : N = 41
b) ¿Cuál fue la desviación típica insesgada de la muestra?
0 1 A 0x(media) = Sn-1 /^ √n 3.684 = Sn-1 / √ 41 >>>>>> Sn-1 = 11.
-μ + 23. ———— = Sn-1/ √ 9 -1.
Despejamos las incógnitas:
1.86 μ - 48.918 = -1.86 μ + 44.082 ; 3.72 μ = 44.082 + 48.918 = 93
93 μ = ———— = 25 μ = 25
Sustituimos μ y hallamos Sn-1:
-25 + 23.7 Sn- ———— = ———— S²n-1 = 4.4 >>>> Sn-1 = 2. -1.86 3
1.5. ¿Cuál es el error máximo que cometeremos al estimar μ con una probabilidad igual a 0.95 mediante la media de una muestra aleatoria simple, n = 64, extraída de una población normal, N (μ , σ²) , cuya varianza insesgada fue 64?
Datos: N = 64 1- α = 0.95 à α = 0.05 à α /2 = 0. S²n-1 = 64 à Sn-1 = 8
E.máx = |0.025 t63 x σ | E.máx = | -2 x 1 | = 2 >>>>>>> E.máx = 2
1.6. En un contraste bilateral, con α = 0.01, ¿Para qué valores de X(media) rechazaríamos la hipótesis nula Ho : μ = 20, a partir de una m.a.s de tamaño 36, extraída de una población normal, N (μ, σ ), cuya varianza insesgada fue 36?
Datos: μ=20 1- α n= 36 α /2 0.99 α / Sn-1 = 36 _____|_________|_____ α = 0.01 0.005 X μ X 0.
Como la varianza es desconocida, se distribuye T.Student con n-1 g.l, es decir 35 g.l. Tenemos, por tanto, que buscar en la tabla de T.student, en la columna de 35 g.l. la probabilidad de 0.995 ya que es el límite para aceptar la hipótesis nula (Ho), y así calcularemos las dos medias, sumando y restando el valor que encontremos en las tablas al valor de μ = 20.
Como en la tabla no aparece el valor exacto de 35 g.l. en la probabilidad 0.995, aproximamos al de 30 y encontramos que es 2.75.
Por tanto, los dos puntos que buscamos serán : à μ + 2.75 = 20 + 2.75 = 22. à μ - 2.75 = 20 – 2.75 = 17. 1.7. Dos investigadoras, Mar y Carolina, desean estimar el valor de la media, μ, de una misma población e imponiendo el mismo nivel de confianza. Con este fin, Mar extrae una m.a.s de tamaño 100 y carolina la extrae de tamaño 64. En ambos casos, la desviación típica insesgada de la muestra fue de 20. Compruebe:
a) ¿Cuál de las dos investigadoras cometerá menos error al estimar μ?
Sin necesidad de hacer ninguna operación, podemos saber que cometerá más error Mar porque tiene un N mayor que Carolina.
Comprobación:
0 1 A 0m = Sn-1 /^ √n = 20 /^ √100 = 2^ >>>>>>^
0 1 A 0.mar = 2
0 1 A 0c = Sn-1 /^ √^ n = 20 /^ √^ 64 = 2.5^ >>>>>>^
0 1 A 0.carolina = 2.
b) ¿Cuánto vale el error en ambos casos?
0 1 E.máx = | 0.025 t63 x (^) A 0| E.máx = |-1.984 x 2 | = 3.968 >>>>>> E.máx. Carolina = 3.
0 1 E.máx = | 0.025 t99 x (^) A 0| E.máx = | -2 x 2.5 | = 5 >>>>>> E.máx.Mar = 5
1.8. ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error superior a |8.391| al estimar la media, μ, de una población normal, N (μ, σ), mediante la media de un m.a.s de tamaño 25 y cuya desviación típica insesgada fue 15?
Datos: N= Sn-1= 15 E.máx = 8.
E.T.= Sn-1 / √ n = 15 / 5 = 3 >>>>>> E.T = 3
E.máx= | valor α/2 x 0 1A 0| 8.391 = | valor α/2 x 3 | >>>>>>> α/2 = 2.
Miramos en la tabla de T.Student y encontramos que el valor 2.797 se corresponde con una probabilidad de 0.995 que sería 1-α. Por tanto, α/2 sería 0.005 y α 0.01.
Solución: α = 0.
