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Estadística no paramétrica, Apuntes de Estadística

Universidad de Costa RicaEstadística

Material de apoyo para el aprendizaje que incluye las distribuciones y estadísticos usados para cuatro pruebas no paramétricas (Ji cuadrado, r Spearman, U Mann Whitney y Krusbal Wallis)

Tipo: Apuntes

2016/2017

Subido el 08/11/2017

patricia-delvo
patricia-delvo 🇨🇷

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1
ESTADISTICA NO PARAMÉTRICA
INTRODUCCION
Las pruebas no paramétricas son procedimientos estadísticos que pueden utilizarse
cuando no es posible verificar el cumplimiento de los supuestos con respecto a los
parámetros o distribuciones poblacionales. Estas pruebas son libres de una distribución.
Se contraponen a las pruebas paramétricas, las cuales dependen de postulados sobre la
población y sus parámetros.
Según el programa del curso durante el desarrollo de este tema se deben aprender las
siguientes pruebas:
1. De independencia de Chi cuadrado
2. U Mann-Whitney
3. Kruskal Wallis
4. Correlación de rangos de Spearman (coeficiente y prueba de hipótesis para
muestras pequeñas y grandes)
Sin embargo, para introducir el tema se hace la presentación de la distribución de 2 (ji
cuadrado) pues la misma no se ha aprendido.
DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO 2
La distribución ji-cuadrado, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una
distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de
libertad de la variable aleatoria:
donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno.
Esta distribución se expresa habitualmente cX ~ c χk2
Donde el subíndice k de χk2, es el número de sumandos y se denomina “grados de
libertad de la distribución”.
Por tanto se puede afirmar que la ji cuadrado, es una familia de distribuciones
dependiente de los grados de libertad. Conforme estos aumentan la distribución es menos
sesgada, tal como se muestra en las figuras que se incluyen en la página siguiente.
Generalmente se utiliza para analizar la hacer pruebas de independencia y de bondad de
ajuste.
La prueba de ji-cuadrado (comunmente y erróneamente pronunciado como "chi-
cuadrado") permite probar la independencia de dos variables entre sí, mediante la
presentación de los datos en tablas de contingencia.
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¡Descarga Estadística no paramétrica y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

ESTADISTICA NO PARAMÉTRICA

INTRODUCCION

Las pruebas no paramétricas son procedimientos estadísticos que pueden utilizarse

cuando no es posible verificar el cumplimiento de los supuestos con respecto a los

parámetros o distribuciones poblacionales. Estas pruebas son libres de una distribución.

Se contraponen a las pruebas paramétricas, las cuales dependen de postulados sobre la

población y sus parámetros.

Según el programa del curso durante el desarrollo de este tema se deben aprender las

siguientes pruebas:

1. De independencia de Chi cuadrado

2. U Mann-Whitney

3. Kruskal Wallis

4. Correlación de rangos de Spearman (coeficiente y prueba de hipótesis para

muestras pequeñas y grandes)

Sin embargo, para introducir el tema se hace la presentación de la distribución de 

(ji

cuadrado) pues la misma no se ha aprendido.

DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO 

La distribución ji-cuadrado , también denominada ji-cuadrado de Pearson , es una

distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de

libertad de la variable aleatoria:

donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno.

Esta distribución se expresa habitualmente cX ~ c χk

2

Donde el subíndice k de χk

2

, es el número de sumandos y se denomina “grados de

libertad de la distribución”.

Por tanto se puede afirmar que la ji cuadrado, es una familia de distribuciones

dependiente de los grados de libertad. Conforme estos aumentan la distribución es menos

sesgada, tal como se muestra en las figuras que se incluyen en la página siguiente.

Generalmente se utiliza para analizar la hacer pruebas de independencia y de bondad de

ajuste.

La prueba de ji-cuadrado (comunmente y erróneamente pronunciado como "chi-

cuadrado") permite probar la independencia de dos variables entre sí, mediante la

presentación de los datos en tablas de contingencia.

Función de densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Resumen de las característica de una distribución Ji-Cuadrado Parámetros k > 0, grados de libertad Dominio Función de densidad Distribución de probabilidad Media k Mediana aproximadamente k-2/ Moda k- 2 si k≥ Varianza 2k Coeficiente de simetría Curtosis También se utiliza para medir la discrepancia entre una distribución observada (basada en datos muestrales) y otra distribución teórica que se plantea como hipótesis. Este uso de la distribución se conoce como “pruebas de homogeneidad o bondad de ajuste” pues indica la medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar al contrastarla con la distribución planteada en la hipótesis. Estas últimas aplicaciones de la prueba no se aprenden durante el curso de Estadística General 2. Para el uso del estadístico χ

debe considerarse que cuanto mayor sea su valor es menos creíble que la hipótesis nula sea correcta, dicho en otras palabras “si la diferencia es grande es menos probable que H 0 sea verdadera”. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de ji-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones (observada y teórica), por tanto “si la diferencia entre lo que se observa en la muestra y lo que se espera observar es pequeña, concluiríamos que la hipótesis nula es cierta”.

En este caso, para obtenerlos los valores observados se requieren los marginales de filas y columnas, tal como se muestran en la tabla siguiente: Tabla 3A. Uso de celular y ocurrencia o no de un accidente de tránsito durante el último año (incluye totales de filas y columnas) Usa celular Tuvo un accidente de tránsito No tuvo accidente de tránsito Totales columnas Si 25 300 325 No 50 400 450 Total filas 75 700 775 Entonces los valores observados serían; Tabla 3B. Uso de celular y ocurrencia o no de un accidente de tránsito durante el último año (valores observados) Usa celular Tuvo un accidente de tránsito No tuvo accidente de tránsito Si (75325)/775 = 31.4516129 (700325)/775 = 2 93. No (75450)/775 = 43.5483871 (700450)/775 = 406. Aplicando la fórmula ya aprendida para el ji-cuadrado el valor calculado sería igual a 2.523403, el cual se compara con el valor tabular ji-cuadrado con (c-1)(f-1) = 1 grados de libertad, el cual es igual a 3.841. Por tanto se concluye que ambas variables son independientes y no se puede afirmar que el aumento en los accidentes se deba al uso del celular. PRUEBA DE U DE MANN WHITNEY Conocida como prueba “U”, contrasta la igualdad de dos distribuciones poblacionales. Supone que se sacan dos muestras aleatorias independientes de variables continuas. Para hacer el contraste de igualdad se asume que las poblaciones son simétricas y tienen igual varianza. La hipótesis nula establece que las distribuciones de las dos poblaciones son idénticas. Puede usarse para analizar la igualdad de medias o medianas poblacionales. Esta es una prueba alternativa a la prueba paramétrica t de dos muestras independientes (se considera su contraparte no paramétrica), salvo que no requiere requiere el supuesto de que las diferencias entre las dos muestras estén distribuídas. Eliminando el supuesto de simetría, permite reemplazar la mediana como estadístico de prueba. El único requisito que tiene esta prueba es que el nivel de medición sea como mínimo de una escala ordinal. Si bien se recomienda usar una tabla especial cuando ambos tamaños de muestra son menores que diez, el procedimiento para aplicar este estadístico se concentra solo en los casos que ambos tamaños son mayores debido a que las tablas que se utilizan en el curso no la incluye.

¿Cómo se calcula? PASOS:

1º. Requiere ordenar los datos de las muestras del más bajo al más alto, numerando de manera

separada cada muestra.

2º. Combinar el orden de las muestras.

3º. Cuando exista coincidencia en los valores de la muestra 1 y la muestra 2, promediar las

posiciones y asignar ese valor a ambos valores.

4º. Calcular la sumatoria de rangos de cada muestra.

5º. Calcular Ui, i= 1,2, con las fórmulas siguientes:

1 ^12 ^111

* R

n n

 n n y 

2 ^12 ^222

* R

n n

 n n

6º. Calcular μu y σu con las fórmulas siguientes:

n 1 * n 2

 u  y

2 1 *^2 *( 1  2 ^1 )

n n n n

 u

7º. Determinar el valor de Z para normalizar la prueba de U de Mann Whitney:

u

i u

Zi

El uso de U 1 o U 2 depende de la naturaleza de la prueba. En la prueba de dos colas es indiferente.

Si la prueba es de cola derecha se usa el mayor de los dos valores. Si la prueba es de cola

izquierda se usa el menor de los dos valores.

Ejemplo de aplicación de la prueba U

Un banco tiene dos sucursales y al encargado de cuentas corrientes le interesa saber si los saldos

de esas cuentas de las mismas son iguales. Para ello decide tomar dos muestras aleatorias simples

e independientes de cada sucursal y establece como criterio de decisión una significancia del 5%.

Los datos obtenidos se muestran en la tabla siguiente y están en miles de colones:

Tabla 4. Saldos de las cuentas corrientes en dos muestras de las Sucursales del Banco

(cifras en miles de colones)

Sucursal 1 Sucursal 2

Cuenta Saldo Cuenta Saldo

5º. Calcular Ui, i= 1,2, con las fórmulas siguientes:

1 ^12 ^111

* R

n n

 n n y 

2 ^12 ^222

* R

n n

 n n

 1  12 * 10   ^ y 83. 5 91. 5

6º. Calcular μu y σu con las fórmulas siguientes:

n 1 * n 2

 u  y

2 1 *^2 *( 1  2 ^1 )

n n n n

 u

 u   y 230

2 12 *^10 *(^12101 )

 u  ,  u  230  15. 17

7º. Determinar el valor de Z para normalizar la prueba de U de Mann Whitney:

u

i u

Zi

Como es una prueba de dos colas se indica que es indiferente el Ui que se use. Para evidenciar

esto se van a calcular los dos valores estandarizados, con el fin de mostrar que tal afirmación es

cierta.

u

Z u

1 ^1

Z  y

u

Z u

2 ^2

Z 

Dado que el nivel de significancia es de 5%, eso equivale a un valor tabular de ±1.96, razón por

la que se rechaza la hipótesis, pues tanto Z 1 como Z 2 , son valores superiores al valor tabular, y

caen en la zona de rechazo de la hipótesis nula. En términos del problema entonces se concluye

que las dos poblaciones NO son idénticas en cuanto a los saldos de las cuentas corrientes.

PRUEBA DE KRUSBAL -WALLIS

Contraparte no paramétrica del diseño completamente aleatorizado utilizado en las pruebas de

ANOVA. El ANOVA depende del supuesto de que todas las poblaciones que se comparan están

distribuidas normalmente. La prueba de Krusbal – Wallis no coloca está restricción.

Prueba que compara 3 o más poblaciones, para determinar si existe una diferencia en su

distribución. Es análoga a la prueba F en el ANOVA.

La prueba requiere ordenar las muestras, no necesita que el número de observaciones en todas las

muestras sea igual.

La forma de calcular es similar a la prueba U.

n

n

R

n n

K

i

i

n: número total de observaciones de todas las muestras.

ni: número total de observaciones de la muestra i-ésima.

Ri: suma de los rangos de la i-ésima muestra.

La distribución de K es aproximadamente una 

con c-1 g.l. Si K excede el valor de  tabular^2 se

rechaza H 0.

En caso de rechazar H0, el paso siguiente lógico siguiente es determinar cuáles diferencias cons

estadísticamente significativas y cuáles se deben a un error de muestreo.

¿Cómo hacemos esto? PASOS

1º. Calcular Ri (rango promedio de las muestra i), con base en los datos ordenados.

2º. Calcular K

3º. Comparar K con 

, si la hipótesis nula se mantiene termina el procedimiento. Si la hipótesis

nula se rechaza se debe determinar cual problación es diferente y para ello deben realizarse

los dos pasos siguientes.

4º. Calcular las diferencias absolutas entre los puntajes promedio de las muestras, para ello se

calcula la calificación promedio de cada muestra.

5º. Calcular el valor crítico de la prueba de Krusbal – Wallis con la fórmula siguiente, para

determinar cuales muestras provienen de poblaciones diferentes:

i j

k k

n n

n n

C

2 *(^1 )

Si la diferencia real entre los rangos promedios de dos muestras es mayor a la diferencia crítica,

se considera significativa y se concluye que las dos poblaciones son diferentes.

Cuando las ni son iguales basta con calcular un Ck, pero si son diferentes debe calcularse uno por

comparación.

Ejemplo de aplicación de la prueba K

Tres productos recibieron las siguientes calificaciones por parte de un jurado de 15

consumidores. Si se utiliza un nivel de significancia del 5%, determine si hay una diferencia

apreciable en las calificaciones de de evaluación de los productos.

Ck  

Entonces las diferencias las distribuciones de los productos A y C son las mismas, pero la del

producto B es diferente. Esto lo representaríamos simbólicamente ordenando los puntajes medios

de menor a mayor y uniendo con una línea los que tienen la misma distribución.

A C B

CORRELACIÓN DE RANGOS DE SPEARMAN (coeficiente y prueba de hipótesis)

Se usa cuando solo es posible clasificar sistemáticamente u ordenar las observaciones.

Es una medida de la relación entre dos variables que han sido clasificadas originalmente de la

más baja a la más alta (o viceversa).

¿Cómo se calcula? PASOS

1º. Asignar las posiciones ordenadas de menor o mayor (o viceversa) a las variables

identificadas como “X” e “Y”.

2º. Calcular di que es la diferencia entre la posición ordenada de la observación “i” de “Xi” e

“Yi”.

3º. Calcular di^2 con base en di.

4º. Calcular rs (coeficiente de correlación de Spearman)

n n

d

r

i

s

Si n<30, rs no es normal, y t no es la prueba apropiada de usar. En este caso se usa tabla de

correlación de rangos de Spearman.

Si n>30, rs se aproxima a la distribución normal con media cero y desviación estándar

n 

Z  rs * n  1

Ejemplo de aplicación de la prueba rs

Una organización estudiantil aplicó una encuestas a los recién graduados y a los estudiantes

actuales, para tratar de obtener información acerca de la calidad de la enseñanza en determinada

universidad. Las respuestas obtenidas sobre la calidad de los profesores se presentan a continuación. Tabla 5. Calificaciones de profesores según alumnos actuales y recién graduados Profesor Calificado por Alumnos actuales Recién graduados 1 4 6 2 6 8 3 8 5 4 3 1 5 1 2 6 2 3 7 5 7 8 10 9 9 7 4 10 9 10 Con base en una prueba de correlación de rango significativa, indique si las calificaciones asignadas por los alumnos actuales concuerdan con las de los recién graduados, usando un α=5%. Para este caso las hipótesis nula y alternativa tienen la forma siguiente, ρs es el coeficiente de correlación de rango: Ho: ρs = 0 H 1 : ρs ≠ 0 PASOS: 1º. Asignar las posiciones ordenadas de menor o mayor (o viceversa) a las variables identificadas como “X” e “Y”. En este caso los valores de la tabla 5 son valores ordenados. 2º. Calcular di que es la diferencia entre la posición ordenada de la observación “i” de “Xi” e “Yi”. 3º. Calcular di^2 con base di. En la tabla 5A se encuentran los pasos 2 y 3. 4º. Calcular rs (coeficiente de correlación de Spearman) con base en los datos obtenidos en la tabla 5A. Tabla 5A. Calificaciones de profesores según alumnos actuales y recién graduados y sus diferencias Profesor Calificado por^ di di^2 Alumnos actuales Recién graduados

Tabla distribución ji-cuadrado inversa

Obtenido de

 - Anexo
  • k \ P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 0.95 0. - 1 0.000 0.004 0.016 0.064 0.102 0.148 0.275 0.455 0.708 1.074 1.323 1.642 2.706 3.841 6. - 2 0.020 0.103 0.211 0.446 0.575 0.713 1.022 1.386 1.833 2.408 2.773 3.219 4.605 5.991 9. - 3 0.115 0.352 0.584 1.005 1.213 1.424 1.869 2.366 2.946 3.665 4.108 4.642 6.251 7.815 11. - 4 0.297 0.711 1.064 1.649 1.923 2.195 2.753 3.357 4.045 4.878 5.385 5.989 7.779 9.488 13. - 5 0.554 1.145 1.610 2.343 2.675 3.000 3.656 4.351 5.132 6.064 6.626 7.289 9.236 11.070 15. - 6 0.872 1.635 2.204 3.070 3.455 3.828 4.570 5.348 6.211 7.231 7.841 8.558 10.640 12.590 16. - 7 1.239 2.167 2.833 3.822 4.255 4.671 5.493 6.346 7.283 8.383 9.037 9.803 12.020 14.070 18. - 8 1.647 2.733 3.490 4.594 5.071 5.527 6.423 7.344 8.351 9.524 10.220 11.030 13.360 15.510 20. - 9 2.088 3.325 4.168 5.380 5.899 6.393 7.357 8.343 9.414 10.660 11.390 12.240 14.680 16.920 21. - 10 2.558 3.940 4.865 6.179 6.737 7.267 8.295 9.342 10.470 11.780 12.550 13.440 15.990 18.310 23. - 11 3.053 4.575 5.578 6.989 7.584 8.148 9.237 10.340 11.530 12.900 13.700 14.630 17.280 19.680 24. - 12 3.571 5.226 6.304 7.807 8.438 9.034 10.180 11.340 1 2.580 14.010 14.850 15.810 18.550 21.030 26. - 13 4.107 5.892 7.041 8.634 9.299 9.926 11.130 12.340 13.640 15.120 15.980 16.980 19.810 22.360 27. - 14 4.660 6.571 7.790 9.467 10.170 10.820 12.080 13.340 14.690 16.220 17.120 18.150 21.060 23.680 29. - 15 5.229 7.261 8.547 10.310 11.040 11.720 13.030 14.340 15.730 17.320 18.250 19.310 22.310 25.000 30. - 16 5.812 7.962 9.312 11.150 11.910 12.620 13.980 15.340 16.780 18.420 19.370 20.470 23.540 26.300 32. - 17 6.408 8.672 10.090 12.000 12.790 13.530 14.940 16.340 17.820 19.510 20.490 21.610 24.770 27.590 33. - 18 7.015 9.390 10.860 12.860 13.680 14.440 15.890 17.340 18.870 20.600 21.600 22.760 25.990 28.870 34. - 19 7.633 10.120 11.650 13.720 14.560 15.350 16.850 18.340 19.910 21.690 22.720 23.900 27.200 30.140 36. - 20 8.260 10.850 12.440 14.580 15.450 16.270 17.810 19.340 20.950 22.770 23.830 25.040 28.410 31.410 37. - 21 8.897 11.590 13.240 15.440 16.340 17.180 18.770 20.340 21.990 23.860 24.930 26.170 29.620 32.670 38. - 22 9.542 12.340 1 4.040 16.310 17.240 18.100 19.730 21.340 23.030 24.940 26.040 27.300 30.810 33.920 40. - 23 10.200 13.090 14.850 17.190 18.140 19.020 20.690 22.340 24.070 26.020 27.140 28.430 32.010 35.170 41. - 24 10.860 13.850 15.660 18.060 19.040 19.940 21.650 23.3 40 25.110 27.100 28.240 29.550 33.200 36.420 42. - 25 11.520 14.610 16.470 18.940 19.940 20.870 22.620 24.340 26.140 28.170 29.340 30.680 34.380 37.650 44. - 26 12.200 15.380 17.290 19.820 20.840 21.790 23.580 25.340 27.180 29.250 30.430 31.790 35.560 38.890 45. - 27 12.880 16.150 18.110 20.700 21.750 22.720 24.540 26.340 28.210 30.320 31.530 32.910 36.740 40.110 46. - 28 13.560 16.930 18.940 21.590 22.660 23.650 25.510 27.340 29.250 31.390 32.620 34.030 37.920 41.340 48. - 29 14.260 17.710 19.770 22.480 23.570 24.580 26.480 28.340 30.280 32.460 33.710 35.140 39.090 42.560 49. - 30 14.950 18.490 20.600 23.360 24.480 25.510 27.440 29.340 31.320 33.530 34.800 36.250 40.260 43.770 50. - 31 15.660 19.280 21.430 24.260 25.390 26.440 28.410 30.340 32 .350 34.600 35.890 37.360 41.420 44.990 52. - 32 16.360 20.070 22.270 25.150 26.300 27.370 29.380 31.340 33.380 35.660 36.970 38.470 42.580 46.190 53. - 33 17.070 20.870 23.110 26.040 27.220 28.310 30.340 32.340 34.410 36.730 38.060 39.570 43.750 47.40 0 54. - 34 17.790 21.660 23.950 26.940 28.140 29.240 31.310 33.340 35.440 37.800 39.140 40.680 44.900 48.600 56. - 35 18.510 22.470 24.800 27.840 29.050 30.180 32.280 34.340 36.470 38.860 40.220 41.780 46.060 49.800 57. - 36 19.230 23.270 25.640 28.7 30 29.970 31.120 33.250 35.340 37.500 39.920 41.300 42.880 47.210 51.000 58. - 37 19.960 24.070 26.490 29.640 30.890 32.050 34.220 36.340 38.530 40.980 42.380 43.980 48.360 52.190 59. - 38 20.690 24.880 27.340 30.540 31.810 32.990 35.190 37.340 39.560 42.050 43.460 45.080 49.510 53.380 61. - 39 21.430 25.700 28.200 31.440 32.740 33.930 36.160 38.340 40.590 43.110 44.540 46.170 50.660 54.570 62. - 40 22.160 26.510 29.050 32.340 33.660 34.870 37.130 39.340 41.620 44.160 45.620 47.270 51.810 55.760 63. - 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51 30.480 35.600 38.560 42.360 43.870 45.260 47.840 50.330 52.920 55.780 57.400 59.250 64.300 68.670 77. - 52 31.250 36.440 39.430 43.280 44.810 46.210 48.810 51.330 53.940 56.830 58. 470 60.330 65.420 69.830 78. - 53 32.020 37.280 40.310 44.200 45.740 47.160 49.790 52.330 54.970 57.880 59.530 61.410 66.550 70.990 79. - 54 32.790 38.120 41.180 45.120 46.680 48.110 50.760 53.330 55.990 58.930 60.600 62.500 67.670 72.150 81. - 55 33 .570 38.960 42.060 46.040 47.610 49.060 51.740 54.330 57.020 59.980 61.670 63.580 68.800 73.310 82. - 56 34.350 39.800 42.940 46.960 48.550 50.010 52.710 55.330 58.040 61.030 62.730 64.660 69.920 74.470 83. - 57 35.130 40.650 43.820 47.880 49.480 50.96 0 53.690 56.330 59.060 62.080 63.790 65.740 71.040 75.620 84. - 58 35.910 41.490 44.700 48.800 50.420 51.910 54.670 57.330 60.090 63.130 64.860 66.820 72.160 76.780 85. - 59 36.700 42.340 45.580 49.720 51.360 52.860 55.640 58.330 61.110 64.180 65.920 6 7.890 73.280 77.930 87. - 60 37.480 43.190 46.460 50.640 52.290 53.810 56.620 59.330 62.130 65.230 66.980 68.970 74.400 79.080 88. - 70 45.440 51.740 55.330 59.900 61.700 63.350 66.400 69.330 72.360 75.690 77.580 79.710 85.530 90.530 100. - 80 53.540 60.390 64.280 69.210 71.140 72.920 76.190 79.330 82.570 86.120 88.130 90.410 96.580 101.900 112. - 90 61.750 69.130 73.290 78.560 80.620 82.510 85.990 89.330 92.760 96.520 98.650 101.100 107.600 113.100 124.
    • 100 70.060 77.930 82.360 87.950 90.130 92.130 95.810 99.330 102.900 106.900 109.100 111.700 118.500 124.300 135.
    • 110 78.460 86.790 91.470 97.360 99.670 101.800 105.600 109.300 113.100 117.300 119.600 122.200 129.400 135.500 147.
    • 120 86.920 95.700 100.600 106.800 109.200 111.400 115.500 119.300 123.300 127.600 130.100 132.800 140.200 146.600 159.
    • 130 95.450 104.700 109.800 116.300 118.800 121.100 125.300 129.300 133.400 137.900 140.500 143.300 151.000 157.600 170.
    • 140 104.000 113.700 119.000 125.800 128.400 130.800 135.100 139.300 143.600 148.300 150.900 153.900 161.800 168.600 181.
    • 150 112.700 122.700 128.300 135.300 138.000 140.500 145.000 149.300 153.800 158.600 161.300 164.300 172.600 179.600 193.
    • 160 121.300 131.800 137.500 144.800 147.600 150.200 154.900 159.300 163.9 00 168.900 171.700 174.800 183.300 190.500 204.
    • 170 130.100 140.800 146.800 154.300 157.200 159.900 164.700 169.300 174.000 179.200 182.000 185.300 194.000 201.400 215.
    • 180 138.800 150.000 156.200 163.900 166.900 169.600 174.600 179.300 184.200 189 .400 192.400 195.700 204.700 212.300 227.
    • 190 147.600 159.100 165.500 173.400 176.500 179.300 184.400 189.300 194.300 199.700 202.800 206.200 215.400 223.200 238.
    • 200 156.400 168.300 174.800 183.000 186.200 189.000 194.300 199.300 204.400 210.000 2 13.100 216.600 226.000 234.000 249.