estadistica uam, Apuntes de Estadística

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Modelos de

probabilidad

Ejercicios propuestos

Tema 3

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

1.- Un vendedor (A) de enciclopedias sabe, por su experiencia, que la probabilidad de que le compre un

cliente al que visita es de un 15%. Otro vendedor (B), consigue que le compren uno de cada diez

clientes que visita (se supone que las ventas son independientes).

a) Si un día cualquiera, el vendedor A visita a 5 clientes, y el vendedor B visita a 7. ¿Cuál es la

probabilidad de que el vendedor A venda, al menos, una enciclopedia?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

0 , 10 10

1 VendedorB ( )

VendedorA ( ) 0 , 15

  

 

B

A

P V

PV

n nºdevisitasyp probabilidaddeéxito (venta)

( ) ( ) · 1 ,x 0,1,...,n

nypsisufuncióndeprobabilidades

LavariableXsigueunadistribuciónbinomialdeparámetros

x n  x p p x

n P x P X x

VentasdelvendedorA B(5;0,15)

0 5 5

0 5

P X P X

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

2.- El porcentaje de pastillas defectuosas de cierto medicamento detectado por una máquina de control

de calidad es del 1%. Se pide:

a) Si las pastillas se colocan en tubos de 20 ¿cuál es la probabilidad de que un tubo contenga al menos

dos pastillas defectuosas?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

1 2 20

0 20

0,

X: V.A. medicamento defectuoso B(1;0,01)

P prob. defectuoso (éxito) 0,

Tubos: Y X X X (variables independientes) (20;0, 001)

2 1 [ 0] [ 1]) 1 ·0, 01 ·0,

B

P(Y ) - (P Y P Y

1 19

0,

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

b) Si los tubos son empaquetados en cajas de 25 unidades ¿Cuál es la probabilidad de que una caja

contenga 20 tubos sin pastillas defectuosas?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

Cajasde 25 tubossinpastillasdefectuosas B(25;0,8179)

dequeun tubonotenganinguna defectuosa.

· 0 , 01 · 0 , 99 0 , 8179 Probabilidad

Tubosindefectuosas: [ 0 ]

Cajasde 25 tubos:Z Y Y Y

20 5

0 20

1 2 25

P Z

PY

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

b) De que se reciban exactamente dos llamadas.

c) De que durante una semana de 5 días haya exactamente dos días en que no se reciban llamadas

durante ese tiempo.

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

P(X 2) ·

2 5



e

P(norecibirllamadas 9 - 10h) P(X 0) ·

Y:nºdíasenlosquenoserecibanllamadasde 9 - 10h.

2 3 2 3

0 5





y n y

P P

y

n

PY

Y B

e

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

6.- Si Z se distribuye como una N(0,1), obtenga el valor de “a”, a partir de la probabilidad dada:

a) P(Z < a) = 0,

P(Z < a) = 1 – P(Z > a) = 0,1515; P(Z > a) = 1 – 0,1515 = 0,8485 → a = - 1,

b) P(Z > a) = 0,

a = 0,

c) P(Z < a) = 0,

P(Z < a) = 1 – P(Z > a) = 0,9; P(Z > a) = 0,1 → a = 1,

d) P(Z < a) = 0,

P(Z < a) = 1 – P(Z > a) = 0,78; P(Z > a) = 0,22 → a = 0,

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

8.- Las calificaciones de la asignatura Estadística Teórica (entre 0 y 10) se distribuyen para un grupo

como una normal de media 5,5 y desviación típica 3. Si el/la profesor/a decidiese aprobar un 50% de

personas,

a) ¿A partir de qué nota debería considerar como aprobado?

Las calificaciones X Є N( 5 , 5 ; 3 )

P(X > a) = 0,5 → P(3 Z + 5,5 > a) = P(Z > (a – 5,5) / 3) = 0,

(a – 5,5) / 3 = 0 → a = 5,

b) ¿Y si sólo decidiese aprobar un 20%?

P(X > a) = 0,2; P(Z > (a – 5,5) / 3) = 0,2 → (a – 5,5) / 3 = 0,84 → a = 8,

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

X

N N Z X Z

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

9.- Para seleccionar entre 2000 aspirantes que solicitan una determinada beca de estudio en la

Universidad se sugieren los siguientes criterios alternativos:

a) Que su calificación en la prueba de lengua sea al menos 7

b) Que en las dos asignaturas de lengua e inglés sea al menos 7

c) Que por lo menos en una de esas dos asignaturas sea un 7 o más

d) Que la media de las calificaciones de lengua, matemáticas e inglés sea al menos un siete

Sabiendo que la calificación de los alumnos en lengua se distribuyen N(5,5; 2), las de inglés N(6; 1) y

las de matemáticas N(3,5; 2,5) y suponiendo que sean independientes se pide:

1. Ordenar los criterios de más a menos restrictivos, de acuerdo con las probabilidades

2. Si como máximo solo pueden concederse 500 becas ¿cuáles de estos criterios pueden tenerse en

cuenta?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

1

2

3

Lengua: 5,5; 2

Inglés: 6;

Matemáticas: 3,5; 2,

X N

X N

X N







Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

d) Que la media de las calificaciones de lengua, matemáticas e inglés sea al menos un siete

1. Ordenar los criterios de más a menos restrictivos, de acuerdo con las probabilidades

2. Si como máximo solo pueden concederse 500 becas ¿cuáles de estos criterios pueden tenerse en

cuenta?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

   

1 2 3

1 2 3

1 2 3

i

i

X

E X E X E X E X E X

V X V X V X V X V X

X X X X N

P X P Z P Z





Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

10.- En una facultad, durante el curso 2009 – 2010 hay matriculados 3.208 alumnos. Según la

información que dispone Secretaría se sabe:

• El número de alumnos nuevos que se matricula cada año es una variable aleatoria que se

distribuye según una normal con esperanza 600 y desviación típica 30.

• El número de alumnos que abandonan la facultad sin graduarse cada año es una variable

aleatoria, independiente de la anterior, que se distribuye según una normal con esperanza 150

y desviación típica 30.

• El número de alumnos que se gradúa cada año es una variable aleatoria independiente a las

anteriores que se distribuye como una normal con esperanza 450 y desviación típica 50.

Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el curso 2010 – 2011 el número de alumnos sea superior a 3.000?

b) ¿Qué número de alumnos, en el curso 2010 – 2011, no se superará con una probabilidad del 99%?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

b) ¿Qué número de alumnos, en el curso 2010 – 2011, no se superará con una probabilidad del 99%?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

P X a P X a P X a

a P X a P Z

a a

a

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

11.- Sea X una variable aleatoria distribuida como una χ^2 con 18 grados de libertad. Calcular:

a) P(X > 7,015)

b) P(X < 13,67)

c) P(9,39 < X < 28,86)

d) P(X > a) = 0,

e) P(X < a) = 0,

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

2 P X ( (^) 18  7, 015) 0,

2 2 P X ( (^) 18  13, 67)  1  P X ( 18  13, 67)  1  0, 75 0, 25

2 2 2 P (9,39  X (^) 18  28,86)  P X ( (^) 18  9,39)  P X ( 18  28,86)  0,95  0, 05 0,

2 P X ( (^) 18  a )  0,5  a 17,

2 2 2 P X ( (^) 18  a )  1  P X ( 18 (^)  a )  0, 05  P X ( (^) 18  a )  0,95  a 9,

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

13.- La probabilidad de que un tipo de vacuna produzca reacciones alérgicas es 0,001. Se elaboran 400

variantes distintas de la misma, y se considera una variable aceptable para su uso cuando

experimentada en una muestra de 3.000 ratones, no produce reacción alérgica en ninguno de ellos.

Calcular:

a) Probabilidad de que una variante sea aceptable.

b) Probabilidad de que de las 400 variantes elaboradas, por lo menos 25 sean aceptables.

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

0 3.

X V.A. nº de reacciones en una muestra de 3.

P reacción X B

P X

  (^)  

  (^)    

1 2 400 400;0, 049^ 400·0, 049;^ 400·0, 049·(1^ 0, 049)

Teorema Moivre

Teorema Moivre

Y X X X B N

B N n p n p q N

P Y P Z P Z

Teorema central del límite

Variables discretas

Variables continuas

Introducción

14.- Una empresa dedicada a la fabricación de vestidos de señora los fabrica con longitudes

comprendidas entre 120 y 170 cm y con tallas que se diferencian entre sí en 10 cm y una talla extra de

200 cm. La empresa sabe que las alturas de las mujeres potenciales clientes medidas desde el hombro

hasta los pies se distribuyen normalmente con media 135 y con desviación típica 15 y que la clienta

cuya altura no coincide exactamente con una de las tallas se comprará la inmediatamente mayor. Si la

empresa proyecta fabricar para la próxima temporada 50.000 vestidos ¿cuántas debería

razonablemente hacer de cada una de las siete tallas previstas?

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios propuestos

0 ^ 

135,15. Tallas previstas: 120 130, , 160 170, , 170 200

Hay que calcular la probabilidad de cada talla según su modelo de distribución normal.

Número de vestidos que harán falta :

: 120 0

Y N Y Y Y

T P Y

     

 

1

2

3

4

5

,1556 50.000 0,1586 7,

: 120 130 0, 21204 50.000 0, 21204 10.

: 130 140 0, 2586 50.000 0, 2586 12.

: 140 150 0, 21204 50.000 0, 21204 10.

: 150 160 0,1102 50.000 0,1102 5.

: 160

T P Y

T P Y

T P Y

T P Y

T P

  

     

     

     

     

6 ^ 

170 0, 03856 50.000 0, 03856 1.

: 170 200 0, 0099 50.000 0, 0099 495

Y

T P Y

    

     