estructuras trianguladas, Apuntes de Arquitectura

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Estructuras I

Estructuras trianguladas:

Resistencia

Mariano Vázquez Espí

Villamanta/Ondara/Madrid, 14 de abril de 2012.

funiculares

funiculares versus cerchas

f

f2 f3 f

f

α

β

Los parámetros que definen una forma concreta pueden elegirse: en la figura, por ejemplo, podrían ser los ángulos α y β. Estos dos ángulos, junto con las cuatro longitudes fijas, determinan completamente todas las coordenadas desconocidas de los puntos 2, 3 y 4.

funiculares versus cerchas

Incógnitas: 7 puntos × 2 = 14.

Ecuaciones: 15:

Sustentación: 4 Longitudes: 11

Hay una ecuación más (15) que coordenadas (14): la forma está sobredeterminada: una de las longitudes está determinada al fijar valores para el resto.

funiculares versus cerchas

O podemos dejar todas las barras, y suprimir un vínculo cambiando una articulación por un apoyo, por ejemplo la de la izquierda.

condición necesaria

En general, en una triangulación de N puntos, E distancias conocidas y V coordenadas conocidas de antemano, se tendrá lo siquiente:

V ≥ 3 : al menos tres coordenadas son conocidas, o pueden fijarse arbitrariamente (al decidir la posición del dibujo sobre el papel). Al comparar 2 N con V + E:

• 2 N > V + E: forma indeterminada: en general habrá infinitas formas que cumplan con las V + E ecuaciones
• 2 N = V + E: forma determinada
• 2 N < V + E: forma sobredeterminada: para que una forma cumpla con las V + E ecuaciones, habrá que elegir V + E − 2 N longitudes en función del resto

condición necesaria

En resumen,

2 N ≤ V + E

con

V ≥ 3

es la condición necesaria (pero no suficiente)

para que una estructura triangulada esté en

equilibrio con un conjunto arbitrario de

acciones sin sufrir grandes deformaciones

durante la carga.

equilibrio

nudo i

y

x (^) V i

Hi Se αe

Rv

βv

Hi +

∑ e

Se cos( αe ) +

∑ v

Rv cos( βv ) ≈ 0

Vi +

∑ e

Se sin( αe ) +

∑ v

Rv sin( βv ) ≈ 0

Usando la hipótesis de pequeña deformación, establecemos las ecuaciones de equilibrio en la geometría de proyecto de la cercha (sin deformación alguna). Si finalmente la cercha cumple con el requisito habitual de rigidez, tales ecuaciones resultarán ser suficientemente aproximadas.

equilibrio

nudo i

y

x (^) V i

Hi Se αe

Rv

βv

Ax =

 

A 1 , 1 · · · AE + V, 1 .. .

... .. . A 2 N, 1 · · · A 2 N,E + V

 

        

N 1 .. . NE R 1 .. . RV

        

=

      

H 1 V 1 .. . HN VN

      

= b

barra e

nudo i

nudo j

N^ ~e = − S~e

equilibrio

nudo i

y

x (^) V i

Hi Se αe

Rv

βv

2 N ×( E + V ) [ A ] ·

( E + V )× 1 [ x ] =

2 N × 1 [ b ]

cerchas isostáticas , 2 N = E + V , y la condición suficiente se reduce a que det A 6 = 0

barra e

nudo i

nudo j

N^ ~e = − S~e

Resistencia

Barras traccionadas Ne > 0 : Si N = Ne, Comprobación: N ≤ Af = RT Dimensionado: A ≥ A min = N/f

Barras sin tensión Ne = 0 : Si la cercha es isostática son necesarias y no pueden suprimirse , pues de hacerlo E + V < 2 N y la estructura sería funicular. Se dimensionan con el menor perfil disponible. Si la cercha es hiperestática podrían suprimirse... Aunque son frecuentes en una hipótesis de carga particular, son raras cuando se consideran varias. Son inexistentes en cuanto se considera el peso propio de la estructura.

Resistencia

Barras comprimidas Ne < 0 :

Barras muy esbeltas Rotura por flexión o pandeo RC ≪ Af

Barras poco esbeltas Rotura por aplastamiento RC ≃ Af

Resistencia

Barras comprimidas Ne < 0 : Por ejemplo, para una sección cuadrada de lado a:

• Área: A = a^2
• Inercia: I = a^4 ÷ 12
• Radio de giro: i = a ÷

12 ≃ 0,29a

• Esbeltez mecánica λm =

i

• Coeficiente de pandeo ω: se encuentra en la tabla correspondiente al tipo de perfil y material empleado entrando con λm
• Resistencia con seguridad a compresión RC = Af ÷ ω

Resistencia

Barras comprimidas Ne < 0 :

Radio de giro de secciones axisimétricas Sección Radio de giro cuadrada maciza 0 , 29 × lado cuadrada hueca ≈ 0 , 40 × lado circular 0 , 25 × diámetro circular hueca ≈ 0 , 35 × diámetro