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Este Módulo I reproduce los contenidos del Módulo I de la publicación ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA - Primer Nivel cuyo autor es el Ingeniero José Luis Gómez
MÓDULO I
INTRODUCCIÓN – Análisis estructural
El Análisis Estructural es la parte de la Mecánica que estudia las ESTRUCTURAS , consistiendo este estudio en la determinación de los esfuerzos y deformaciones a que quedan sometidas, por la acción de agentes externos (cargas gravitatorias, fuerzas sísmicas, de vientos, variaciones térmicas, etc.)
Las estructuras se componen de una o más piezas ligadas entre sí y al medio exterior, de modo de formar un conjunto estable. Esto es, un conjunto capaz de recibir cargas externas, resistirlas internamente y transmitirlas a sus apoyos, donde esas fuerzas externas encontrarán su sistema estático equilibrante.
Las piezas que componen una estructura poseen evidentemente tres dimensiones. En general pueden ocurrir dos casos:
Dos dimensiones son pequeñas con relación a la tercera: le llamaremos barra y estará representada por su eje (lugar geométrico del centro de gravedad de su sección transversal), por ejemplo: vigas, columnas (figura MI-1a).
Una dimensión es pequeña con relación a las otras dos. Es el caso de las losas o placas, cuyo espesor es pequeño respecto a su superficie (figura MI-1b).
En nuestro curso, en su primera parte, realizaremos el estudio de estructuras diseñadas con material homogéneo (madera, hierro) y en la segunda parte, estructuras en hormigón armado como material heterogéneo.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES - Fuerza
El concepto de fuerza es un concepto primario, su definición no es sencilla. La noción de fuerza es fundamentalmente intuitiva: podemos ejercer una fuerza sobre un cuerpo por medio de un esfuerzo muscular; una locomotora ejerce fuerza sobre los vagones que arrastra; un resorte estirado ejerce fuerza sobre las piezas que fijan sus extremos etc. En todos los casos son fuerzas por contacto.
Hay también fuerzas de acción a distancia, es decir, sin contacto, debidas a la existencia de campos gravitatorios, eléctricos, magnéticos, etc.
De todas maneras la noción intuitiva sugiere que la fuerza es una cantidad VECTORIAL , es decir, con dirección , magnitud o intensidad y sentido (figura MI-2).
Momento de una fuerza
En general, una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una traslación, si está en reposo y no impedido su movimiento.
En el caso de la figura MI-3, hay un punto O impedido de trasladarse, entonces el cuerpo girará alrededor del punto O por acción de la fuerza P.
La rotación se mide por el MOMENTO que es el producto de la intensidad de la fuerza P por la mínima distancia que va desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza: M = P x d (la mínima distancia desde un punto hasta una recta se mide sobre la perpendicular a dicha recta)
Fuerzas concurrentes coplanares: Resultante
Supongamos un muro de mampostería el cual está solicitado por las fuerzas P1, P2, P3, y P4, las que están contenidas en su plano (figura MI-4).
Sea S el punto de concurrencia de sus rectas de acción. El efecto de estas fuerzas es equivalente al de una fuerza resultante única R , cuya recta de acción debe pasar, naturalmente, por S.
Para encontrar la magnitud, dirección y sentido de la resultante se procede de la siguiente manera:
Partir de un polo M (figura 5), se lleva a escala de fuerzas, una a continuación de la otra, las fuerzas P1, P2, P3, P4. La recta que une el origen de la primera con el extremo de la última define la resultante del sistema (suma de vectores gráficamente).
Se comprende que el muro, con las fuerzas actuantes, no está en equilibrio, sino que tiende a desplazarse en la dirección de la resultante, y podemos establecer que:
“Para que un sistema de fuerzas concurrentes esté en equilibrio, es decir, para que su resultante sea nula, es necesario que el polígono de fuerzas construido a partir de un origen M cualquiera, sea cerrado.”
En el ejemplo planteado, para lograr el equilibrio, el terreno deberá reaccionar con una fuerza igual y de sentido contrario a R, y aplicada en su misma recta de acción.
Equilibrio de fuerzas: solución gráfica
Equilibrio de fuerzas: solución analítica
Veamos cómo se determinarían analíticamente las incógnitas RA y RB en el caso del problema que ilustró la figura MI-6 y que se repite en la figura MI-10, anotando los ángulos que forman las fuerzas concurrentes (RA, RB y P). Las ecuaciones que posibilitan la solución analítica del problema surgen de la misma exigencia de polígono cerrado. Si el polígono formado por cargas y reacciones (fuerzas concurrentes) está cerrado, la suma de las proyecciones de estas fuerzas sobre cualquier sistema de ejes ortogonales x e y , contenidas en su plano de acción, vale cero.
0 0 Así se llega a las conoci (^) 1 Fdas ecuaciones de equilibrio:
Fxi = 0 Fyi = 0
Donde F (^) xi y Fyi designan, las proyecciones de una cualquiera de las fuerzas exteriores sobre los ejes x e y, respectivamente, y la sumatoria se debe extender a todas las fuerzas del sistema.
Proyectando las fuerzas de la figura 10 sobre un par de ejes ortogonales x e y, y fijando a priori el sentido de las reacciones, resultan las siguientes ecuaciones de proyección, que hacemos igual a cero por tratarse de un sistema de fuerzas en equilibrio:
Fx = 0 -RA + (RB x cos 45 ° ) = 0
Fy = 0 - P + (RB x sen 45 ° ) = 0
ver ejercicio 1
Desplazamiento de una fuerza a una dirección paralela a sí
misma
En el gráfico central de la figura MI-11 podemos observar que si mantenemos la fuerza P en su ubicación original y agregamos en otro punto cualquiera dos fuerzas P opuestas entre sí (en este ejemplo ubicadas en el centro del plano), el sistema resultante es equivalente al primero.
El nuevo sistema está constituido por la fuerza P dirigida hacia abajo en el punto central, y por una cupla o par de fuerzas (formada por las otras dos), de Momento igual a M = P x a y este nuevo sistema es equivalente al original.
No se altera el efecto cinemático de una fuerza P desplazándola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a , siempre que se agregue una cupla de momento P x a.
Fuerzas coplanares no concurrentes
Para determinar la intensidad, dirección y sentido de la resultante aplicamos el método gráfico o analítico visto anteriormente.
En cuanto a la posición de la línea de acción de la resultante, se determina calculando su brazo de palanca r desde un punto cualquiera del plano, considerado centro de momento, mediante el Teorema de Momentos de Varignon: “El momento de la resultante de cualquier sistema de fuerzas respecto a un punto es igual a la suma algebraica de los momentos de las componentes”.
Como ya conocemos el valor de la resultante, será suficiente despejar de la ecuación anterior el valor del brazo de palanca r desde el punto T elegido como centro de momentos, y por donde pasará la resultante:
Condiciones de equilibrio
Para un cuerpo, sometido a la acción de fuerzas exteriores, estar en equilibrio significa que dichas fuerzas no provocan traslación alguna ni rotación del cuerpo. Consideremos nuevamente la figura MI-12 (a) y agreguemos una sexta fuerza P6 de valor igual y de sentido contrario a la resultante, pero que no coincida con la posición de la misma, tal como indica la figura MI-13.
Es evidente que si se construyera un polígono con las fuerzas dadas, éste resultaría cerrado, es decir, resultante nula. Sin embargo, el cuerpo no está en equilibrio.
El cuerpo está sometido a una cupla resultante que tiende a hacerlo girar en sentido horario.
Vamos a establecer qué condición analítica debe cumplirse para asegurar que no rote, es decir, que no exista cupla resultante.
Si en la figura MI-13 tomamos momentos de todas las fuerzas respecto al punto T , llegaríamos a la conclusión que:
M (^) T = R x r
Es decir, con el agregado de la fuerza P6 = 9,1t hemos logrado resultante nula (no-traslación), pero no el equilibrio a la rotación.
Evidentemente el equilibrio, es decir, la inexistencia de una cupla resultante, exige que R x r = 0, es decir , M = 0, cosa que se lograría si P tuviera la misma recta de acción que R.
Para aprender cómo se realiza el Cálculo de Reacciones de Apoyo vea los ejercicios 2/3/4/
Estaticidad, equilibrio y estabilidad
Hemos visto que la función de los apoyos es limitar los grados de libertad de una estructura. Pueden ocurrir tres casos:
- Los apoyos son los estrictamente necesarios para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En éste caso el número de reacciones de apoyo es igual al número de ecuaciones de equilibrio disponibles (número de incógnitas = número de ecuaciones). Diremos así que se trata de una estructura ISOSTÁTICA , ocurriendo una situación de equilibrio estable ; ante cualquier deformación impuesta a la estructura, ésta tiende a volver a su situación inicial (figura MI-17).
- Los apoyos son en número inferior a lo necesario para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En este caso tenemos más ecuaciones que incógnitas. Se trata de una 0 0 es (^) 1 Ftructura HIPOSTÁTICA. Puede ocurrir una situación de carga para la cual se consigue equilibrio, pero se trataría de equilibrio inestable , pues cualquier deformación impuesta a la estructura tenderá a seguir hasta su ruina (figura MI-18). Las estructuras hipostáticas son inadmisibles para las construcciones.
- En el tercer caso los apoyos son en número superior a lo necesario para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En este caso el número de ecuaciones es inferior al número de incógnitas, produciendo un sistema indeterminado. Las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar las reacciones de apoyo, siendo necesarias ecuaciones adicionales de compatibilidad de las deformaciones, que se verán en otros cursos.
Estas estructuras son HIPERESTÁTICAS , siendo el equilibrio estable. Podríamos decir un poco impropiamente, que el equilibrio es más que estable.
Observación
Existe también otro tipo de equilibrio inadmisible para las construcciones y es el equilibrio indiferente. Es cuando, al actuar una pequeña fuerza, la estructura se traslada, y si deja de actuar la fuerza, se restablece el equilibrio, pero en otro lugar (figura MI-19).
EJERCICIO 1
Equilibrio en el plano – Solución analítica
Se busca determinar el valor de las fuerzas RA y RB que son las reacciones de apoyo. Todas las fuerzas están en un plano, por lo que se denominan coplanares.
Las ecuaciones de la estática que permiten verificar el equilibrio de fuerzas en un plano son tres: F (^) x = 0 F (^) y = 0 M = 0
En este caso en particular, las fuerzas desconocidas son concurrentes y por ello no es necesario verificar el giro nulo.
Los datos del ejercicio son: cos 45 ° = 0,71 sen 45 ° = 0,71 P = 1000 kg
Primero utilizamos la ecuación de proyecciones sobre un eje paralelo a las y , porque la otra ecuación presentaría dos incógnitas y ningún valor real sobre el cual operar.
F (^) y = 0 = P + RB x sen 45° = 0 no hemos tenido en cuenta los sentidos de las fuerzas; reemplazamos, ahora sí dándole a cada fuerza un sentido. La elección en este caso ha sido darle signo negativo a lo que baja y positivo a lo que sube:
F (^) y = 0 = -1000t + RB x sen45º = 0 despejamos la incógnita:
Conociendo ahora el valor de RB podemos utilizar la otra ecuación.
Si queremos verificar la exactitud de los resultados podemos aplicar la ecuación de momento en cualquier punto del plano. En este caso elegimos el punto C. MC = 0 = (+8t x 4m) + (+4t x 3m) + (-7t x 8m) + (+1t x 0m) + (+4t x 3m) = 0 MC = 0 = +32tm +12tm – 56tm + 12tm = 0
EJERCICIO 3
Equilibrio en el plano - Cálculo de reacciones Una viga simplemente apoyada está cargada como indica la figura. Se busca determinar las reacciones de apoyo.
Las ecuaciones de la estática son tres y permiten resolver el equilibrio en el plano F (^) x = 0 F (^) y = 0 M = 0 El primer paso es simple: resolver el valor de HA. Para ello utilizamos la ecuación de proyecciones de fuerzas sobre un eje paralelo a las x F (^) x = 0 = HA por lo tanto HA vale 0 Para resolver las otras dos incógnitas conviene usar la ecuación de momentos, porque la ecuación Fy = 0 no se puede aplicar, ya que al hacerlo aparecerían dos valores indeterminados en ella. Para ello se debe elegir el punto respecto del cual se calculará el momento. La elección dependerá de la posición de las incógnitas; o sea que se debe elegir un punto que pertenezca a todas las incógnitas excepto una, y que es la que resultará valorada. Se elige entonces el punto A. MA = 0 = P1 x d1A + P2 x d2A + RB x l = 0 el subíndice A indica que es la distancia entre la fuerza considerada y el punto A. Se hace notar que no se distinguen las rotaciones en este planteo. Ahora se reemplazan por los valores conocidos, en cuyo caso sí se tendrán en cuenta los giros de cada momento parcial. MA = 0 = (+3t x 2m) + (+5t x 4m) + (-VB x 8m) = 0 pasamos el término que contiene la incógnita -(-VB x 8m) = 6 tm + 20 tm despejamos VB
Para conocer el valor de VA se puede recurrir a la ecuación F (^) y = 0, o a una ecuación de momento aplicada en otro punto. Veremos que es necesario hacer ambas cosas, para estar seguros de los resultados.
MB = 0 = P1 x d1B + P2 x d2B + VA x l = 0 al reemplazar por los valores haremos indicación del giro MB = 0 = (-3t x 6m) + (-5t x 4m) + (+VA x 8m) = 0 pasamos el término que contiene la incógnita -(+VA x 8m) = -18tm – 20tm = -38tm despejamos VA
Mencionamos que se debía verificar. Para ello utilizamos la tercera de las ecuaciones
F (^) y = 0 = P1 + P2 + VA +VB = 0 se enuncia sin tener en cuenta el sentido de las fuerzas; reemplazamos
F (^) y = 0 = (-3t) + (-5t) + (+4.75t) + (+3.25t) = 0 y que verdaderamente es 0, con lo que queda terminado el ejercicio.
EJERCICIO 4
Equilibrio en el plano - Cálculo de reacciones
Una escalera apoyada en A y en B está cargada con el peso de una persona aplicado en el punto C (se prescinde del peso propio de la escalera y del rozamiento en B). Se busca determinar el valor de las reacciones.
El esquema de la derecha indica cuál es el tipo de vínculo que se debe materializar en los apoyos de la escalera para que las reacciones sean tal cual están indicadas en el gráfico de la izquierda. Para determinar el valor de las reacciones podemos recurrir en primer lugar a una acuación de proyecciones sobre un eje paralelo a las y. Fy = 0 = -90 kg + VA = 0 despejando la incógnita VA = 90 kg Para resolver las otras deberemos recurrir a una ecuación de momento, y se elige el punto A como centro de giro. MA = 0 = HA x 0 + VA x 0 + 90 kg x 1m – HB x 3.6m = 0 despejando el término que contiene la incógnita HB x 3.6m = 90 kgm de donde se despeja HB
Queda por conocer el valor de la fuerza (reacción) HA. Se plantea una ecuación de proyecciones sobre un eje paralelo a las x , Fx = 0 = -25 kg + HA = 0 de donde se despeja HA = 25 kg Si queremos estar seguros de los resultados, se puede plantear una ecuación de momento en cualquier otro punto del plano; por ejemplo el punto C MC = 0 = -25 kg x 1.8m – 25 kg x 1.8m + 90 kg x 1m = 0 Y que es realmente así
EJERCICIO 5
Equilibrio en el plano - Cálculo de reacciones
La estructura que ilustra la figura está cargada con las fuerzas P1 y P2, aplicadas en su extremo superior. Se desea calcular gráfica y analíticamente las reacciones de apoyo. Para calcular el valor de las reacciones en forma gráfica, el primer paso es determinar la dirección y el sentido de la resultante de las cargas. Con una construcción simple se lo logra: dibujamos a escala de fuerzas P1, a continuación dibujamos (en la misma escala) P2; al unir el comienzo de P1 con el final de P2 se obtiene la resultante R1 de ambas.
a las x
Fx = 0 = +P2 + HA = 0 reemplazando
Fx = 0 = 8t –HA = 0 de donde HA = 8t
