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p INGENIERÍA INFORMÁTICA EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE ÁLGEBRA 9 de septiembre de 2003 Duración 3 h. 30 min. PROBLEMA 1. (2 puntos) Se consideran las siguiente aplicaciones lineales: TR | E ly” > fr) = ly + y? g:R3 — R? ya > gl 2)=f+92 yl" Se pide: 1. Describir el conjunto de vectores de R3 cuya imagen mediante g esté en el subespacio de R? definido por la ecuación 11 — 29 = 0. 2. Calcular bases del núcleo y de la imagen de f o g, y proporcionar sus dimensiones. PROBLEMA 2. (2 puntos) 010 el producto (1 — ANI +A+A?). (b) Demostrar en general que, si A € R”*” es una matriz no nula tal que 4? = 0, se verifica que 0.0 L. (a) Seala matriz A = | 0.0 - Demostrar que A3 = 0, Utilizar álgebra de matrices para calcular U-A)SI4 ARA o AP 1-3 3 8 1 2. Sean las matrices A= | 0 4 6 |yB= 2 -2 |. Utilizando que A7?B es solución de la 0.0 3 303 ecuación AX = B (¿por qué?), calcular A71B_ SIN CALCULAR 477. PROBLEMA 3. (2 puntos) En P»(R) se considera la aplicación T : P2(R) x Pa(R) — R definida por T b0= $ ploJalajaz. 1. Probar que T define un producto escalar. 2. Decidir si el conjunto de polinomios (1,1 + z,1 + x +2?) es una base ortogonal del espacio vectorial. 3. Hallar una base ortonormal del subespacio ortogonal al polinomio r. PROBLEMA 4. (2 puntos) Sea F el subespacio de IR? definido por la ecuación 2x2 — y — 4 = 0. Sea y un vector de R3 tal que, usando el producto escalar usual, [y — proypo|| = 2, y tal que ú = proypv = [1,1,1]7. Sea el vector 4 =[1,2,07 € F. 1. Encontrar vz de forma que (v1, vz) sea base ortogonal de PF, 2. Calcular las coordenadas del vector proyección % en la base calculada en el apartado anterior. 3. Utilizando el resultado del apartado 2, resolver el problema de mínimos cuadrados dado por Ax = v, donde A tiene por columnas 1 y vz. Calcular la mínima distancia de v al subespacio F, : PROBLEMA 5. (2 puntos) Sea T : €” -+ C* una aplicación lineal cuya matriz asociada U € C”%” en una cierta base es una matriz unitaria. Se pide: 1. Demostrar que, si A € C es un autovalor de U, se verifica que |AJ = 1. 2. ¿Cúal es la dimensión del núcleo de T? 3. ¿Es posible construir una base de C” a partir de vectores de Im(T)? ¿Es posible construir una base ortonormal? Discutir la sobreyectividad y la inyectividad de la aplicación T. [AYUDA: Es posible utilizar el apartado 1 (aún sin responder) para contestar el resto.) ¡