`
Algebra Lineal
Gener 2000
RESOLEU CADA PROBLEMA EN UN FULL SEPARAT I POSEU EL NOM EN TOTS
ELS FULLS
1. (20 punts) Donades les seg¨uents aplicacions f, g :R2→R3, determineu si s´on lineals o no.
En cas afirmatiu, trobeu-ne el nucli i la imatge, i les seves dimensions.
f(x, y) = (x3+ cos y, xy, 1),
g(x, y) = (x, x +y , x −y).
2. a) (10 punts) Calculeu el valor del seg¨uent determinant:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a+ 1 b b + 1 a
1b+ 1 b+ 1 1
a+ 1 1 1 a+ 1
1 2 1 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b) (20 punts) Discutiu el seg¨uent sistema d’equacions segons el valor dels parmetres ai
b, i resoleu-lo quan sigui possible.
(a+ 1)x+by + (b+ 1)z=a
x(b+ 1)y+ (b+ 1)z= 1
(a+ 1)x+y+z=a+ 1
x+ 2y+z= 2
3. (30 punts) Sigui E un R-espai vectorial de dimensi´o 3 i sigui {e1, e2, e3}una base de E.
Considerem l’aplicaci´o lineal fdefinida en aquesta base per la matriu
2 1 −5
4−1−5
4 1 −7
.
Trobeu una forma de Jordan i una base de Jordan per f.
4. Donada la forma bilineal de R3
φ((x, y, z),(x0, y 0, z0)) = (x−2y)(x0−2y0) + yy0+ (y+z)(y0+z0).
a) (4 punts) Trobeu la matriu de φen la base can`onica.
b) (4 punts) Calculeu el rang i la signatura de φ.
c) Responeu les segents preguntes, raonant les respostes:
1) (2 punts) ´
Es φsim`etrica?
2) (2 punts) ´
Es definida positiva?
3) (2 punts) ´
Es un producte escalar?
4) (2 punts) Existeix una base ortogonal per φ? I una base ortonormal?
5) (2 punts) Existeix una forma quadr`atica associada a φ?
d) (2 punts) Calculeu el cosinus de l’angle entre u= (2,1,0) i v= (1,1,−1).
