examen gener 2016 algebra, Exámenes de Álgebra

¡Descarga examen gener 2016 algebra y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Algebra Grau en Enginyeria Informática 14 de gener de 2016 a Teoria (0,540,5+0,5+0,5 punts) Heu de respondre cadascuna de les preguntes segiients. Justifiquen les vostres respostes. Com més completes i correctes siguin les respostes més puntuació lindran. 1. Sigui S CR el subespai general per u,u, és a dir S = (u, v) i suposem que u, v són linealment independents, Sigui F = (—u, —v, u+2v, u-v). Raoneu si S =F. 2. Sigui u,, uo, ug una base de V'espai vectorial R3, Raoneu que u1, 2u9, 343 també és una base de KR, 3. Sigui E un espai vectorial i f : E + E una aplicació lineal iv un vector WE que no és mul i tal que f(u) = —3v. Calculeu (f o /)(v) + 3.£(v). Es —3 un valor propi de f? 4. Considerem Vespai vectorial M¿(RR) de les matrius de dues filos i dues columnes i el subespai vectorial w=((2 o) Mela+a=0). Trobeu una base de W. Suposem que A1, 42, A3 són tres matrius linealment independents de W. Raoneu si 41, 42, 43 formen una base de W. Exercici 1. (1+-1+1+1 punts) Considereu V'aplicació R-lincal f : Ri R“ donada per Hoy at) :=(12+3y+22+L,0—y+22+ 2,33 + y +4 624 5t,4y -t) (a) Trobeu bases dels subespais vectorials Im(/) i Ker(f). Calculen les seves dimensions. (b) És f exhaustiva? És f bijectiva? Per que? (c) Raoneu si el vector (2, —1,0, 3) pertany al subespai Im(f). (d) Sigui S= ((-8,2, 3,0), (0,0, 1, 1)). És cert que SMIm(f) = ((0,0, 0,0)? Exercici 2. (2,541,5 punts) Considereu la matriu de Ma(C) : N 2.0 A=|-3 4 3.0 na (a) Trobeu tots els valors propis de la matriu A i per a cada valor propi A obtingut determineu el subespai de vectors propis de valor propi A. (b) Raoneu que A és diagonalitzable. Trobeu una matriu diagonal D i una matriu invertible P tals que PULAP = D. Justifiqueu que P és invertible. Totes les respostes han d'estar degudament justificades.