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FÍSICA II 19 DE GENER DE 2016
2ª Part Inici: 11:20 h Final: 13:00 h
Nom i cognoms: Signatura:
Problemes
P1. Una esfera conductora de radi 𝑹 té una càrrega −𝑸 i està centrada en l’origen de coordenades. L’esfera està envoltada per una escorça també conductora de radis 𝟐𝑹 i 𝟑𝑹 cm que té una càrrega neta + 𝟐𝑸. a) Feu una representació de línies de camp elèctric corresponent a la distribució de càrregues de l’esfera i l’escorça. b) Calculeu el camp elèctric en els punts situats a 𝑹 , 𝟐𝑹 i 𝟑𝑹 de l’origen de coordenades. c) Calculeu el potencial dels punts situats a 𝑹 , 𝟐𝑹 i 3R de l’origen de coordenades quan considerem que el potencial a l’infinit val zero. d) Calculeu el potencial en els punts situats a 𝟏. 𝟓𝑹 de l’origen de coordenades si ara l’esfera i l’escorça estan connectades amb un fil conductor.
a) La distribución de las cargas será tal como se indica en la figura. Se indican también la forma de las líneas de campo.
b) Para determinar el campo eléctrico en las distintas zonas del espacio aplicaremos el Teorema de Gauss
0
i S
E dS^ Q
r < R. Tomamos como superficie cerrada una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas y de radio r < R. Se tendrá para el flujo 2 S S
E^ ^ dSEdSE^4 ^ r
La carga interior será nula puesto que estamos en el interior del conductor de radio a. Por lo tanto E 4 r^2 0 E 0 E 0
R < r < 2R. Tomamos como superficie cerrada una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas y de radio R < r < 2R. Se tendrá para el flujo 2 S S
E^ ^ dSEdSE^4 ^ r
La carga interior será la de la esfera conductora de radio a , es decir - Q. Por lo tanto
2 r 0
2 0 0
(^2) a 4 r
E - Q
4 r
E 4 r Q E -Q
En r = R el campo será:
2 r 0
a 4 R
E Q
En r = 2R el campo será:
0 ^ ^2 r^02 r
a 16 R
a Q 4 2R
E Q
M. Varela. Departament Física Aplicada i Òptica. Universitat de Barcelona
2R < r <3R c. Tomamos como superficie cerrada una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas y de radio 2R < r <3Rc. Se tendrá para el flujo 2 S S
E^ ^ dSEdSE^4 ^ r
La carga interior será la de la esfera conductora de radio R ( -Q ) más la de la superficie interior de la cáscara ( +Q ), es decir será nula. Esta es la condición para que el campo en la cáscara conductora sea nulo. Tendremos E 4 r Q Q 0 E 0 E 0 0
3R < r. Tomamos como superficie cerrada una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas y de radio 2R < r. Se tendrá para el flujo 2 S S
E^ ^ dSEdSE^4 ^ r
Ahora la carga interior será la de la esfera conductora de radio R , ( -Q ) más la de la cáscara (+2 Q ). Por lo tanto
2 r 0
2 (^00)
(^2) a 4 r
E Q
4 r
E 4 r Q 2Q E Q
En r = 3R el campo será:
0 ^ ^2 r 0 2 r
a 36 R
a Q 4 3R
E Q
c) El potencial de la cáscara será:
12 π ε R
Q
r
dr 4 π ε
a dl Q 4 π ε r
V V -V E dl Q 3 R^0 c^20
2 r 3 R 0
3 R ^3 R
Dado que la cáscara es conductora, y por lo tanto el potencial es constante, este potencial será el correspondiente a los puntos r = 3R y r = 2 R. Para la esfera de radio R se tendrá:
4 π ε 3R
Q
2 R
R
4 π ε
Q
r
dr 4 π ε
Q
r
dr 4 π ε
a dl Q 4 π ε r
a dl Q 4 π ε r
Q
V V-V V-V V -V V -V E dl E dl E dl E dl
(^03) R^200
2 R
R 0 2 3 R
2 r 0
2 R
R
2 r 0
3 R
3 R
2 R
2 R
R R
R R R 2 R 2 R 3 R 3 R
^
^
^
Es decir:
24 π ε R
V^5 Q
0
R
d) Si se conecta la esfera con un hilo conductor a la cáscara toda la carga se mueve hasta la superficie exterior de ésta. Se tendrá una carga +Q = - Q+3Q en el exterior y ninguna en el interior. El campo será nulo para todos los puntos r<3R y para r>3R el mismo que en el apartado b). El potencial en 1.5 R será:
4 π ε 3R
a dl Q 4 π εr
Q
V V -V E dl E dl E dl E dl
3 R^0
2 r 0
3 R
3 R
2 R
2 R
5 R 1. 5 R
5 R 1. 5 R
^
Es decir el mismo que en el apartado b)
12 π ε R
V Q
0
1. 5 R
M. Varela. Departament Física Aplicada i Òptica. Universitat de Barcelona
b) El flujo del campo magnético será:
S
B d S
donde
a 2 r
B 0 I
En las condiciones que nos dan, el campo magnético se puede considerar uniforme en toda la superficie de la espira y de valor
a 2 d
B 0 I
El flujo será simplemente el producto del campo por la superficie de la espira 𝑆 = 𝑐^2. Se tendrá:
(^0) c 2 2 d
I
El coeficiente de inducción mutua será:
2 d
c I
M
2 0
c) En este caso, dado que el campo en el exterior del cable coaxial es nulo, el flujo será nulo y el coeficiente de inducción mutua también. 0 I
M
d) La fuerza electromotriz inducida en la espira será:
sen t 2 d
(cos t) c I dt
I d 2 d
c dt
MdI dt
e d^020 0 0 2
Si la resistencia de la espira es R, aplicando la ley de Ohm: sen t 2 dR
c I R
i e^0 20
P3. Un sistema òptic està constituït per un mirall còncau de radi 𝟒𝟎 𝒄𝒎 i una lent convergent de focal 𝟐𝟎 𝒄𝒎 separats una distància de 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎. El sistema forma dues imatges finals d'un objecte situat entre tots dos, la primera directa a través de la lent i la segona a través de la lent després de la reflexió en el mirall. a) Si l'objecte està situat a 𝟔𝟎 𝒄𝒎 del mirall quina és la separació de les dues imatges finals? b) Com són les imatges i quina és la relació entre els seus mides? c) Quina ha de ser la posició de l'objecte perquè les dues imatges coincideixin en el mateix punt? Com són aquestes imatges? d) Dibuixeu a escala el diagrama de raigs corresponent als apartats a) i b)
a) 1ª imagen (directa a través de la lente)
s' 40 cm 40
s
f
s'
f
s'
s
L L
2ª imagen (espejo-lente)
s' 30 cm 60
s
f
s'
f
s'
s
1 1 1 E 1 E 1
M. Varela. Departament Física Aplicada i Òptica. Universitat de Barcelona
-Lente
s' 28 cm 140
s
f
s'
f
s '
s
2 2 2 L 2 L 2
La distancia entre las dos imágenes será d s's 2 ' 12 cm b) Las dos imágenes reales. El aumento lateral de la primera imagen es
1 40
s
s' y
m y' . Imagen invertida.
Para la segunda imagen. Espejo:
- 5 60
s
s' y
m y' 1
1 ^1
Lente:
- 4 70
s
s' y
m y' 2
2 ^2
Aumento total para la segunda imagen (^) m (^2) T m 1 m 2 0. 2. Imagen derecha.
Relación de tamaños 5 m
m 2
c) Para que las dos imágenes finales estén en el mismo punto, la imagen mediante el espejo de coincidir con el objeto, es decir s 1 =s 1 ’, de donde s 40 cm 20
f
s
f
s
s
1 1 1 E 1 E
La primera invertida y la segunda derecha y ambas reales.
d) Diagrama de rayos.
M. Varela. Departament Física Aplicada i Òptica. Universitat de Barcelona
