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Facultad de Ingeniería Ambiental
Departamento Académico de Ciencias y Estudios Específicos Básicos
SOLUCIONARIO EXAMEN PARCIAL DE FÍSICA 2
Pregunta 1: (5 puntos)
El poste de concreto de longitud 1.5 m y está reforzado con seis barras de acero
cada una con diámetro de 28.0 mm (figura 1). Sobre el poste actúa una fuerza
axial 𝑃
, de módulo 1 550 kN, produciendo una deformación unitaria igual en el
concreto y en el acero. Todo el sistema se encuentra en equilibrio.
(a) Imagine que el poste ha sido cortado por la mitad de forma transversal. En
una de las partes analice como se distribuye la fuerza interna a lo largo de toda
el área transversal. Realice un dibujo y explique en él su análisis.
(b) Calcule la fuerza neta sobre las barras de acero, exprese su respuesta en función de la
deformación unitaria
(c) Calcule la fuerza neta sobre la parte de concreto, exprese su respuesta en función de la
deformación unitaria
(d) Calcule el esfuerzo sobre una barra de acero
(e) Calcule el esfuerzo sobre el concreto
Dato: módulo de elasticidad de acero: 20 x 10
10
N/m
2
, módulo de elasticidad de concreto: 25 x 10
9
N/m
2
.
Solución
(a) Imagine que el poste ha sido cortado por la mitad de forma transversal. En
una de las partes analice como se distribuye la fuerza interna a lo largo de toda
el área transversal. Realice un dibujo y explique en él su análisis.
En la figura 1.1, se observa el corte transversal. En la mitad inferior observamos la
distribución de cargas en todo el área transversal que se origina debido a la fuerza externa
de módulo P. Como hay dos materiales que componen el poste, también se generan
fuerzas internas sobre cada una de ellas, Fc que representa la fuerza sobre la parte de
concreto y Fa que representa la fuerza sobre cada barra de acero.
(b) Calcule la fuerza neta sobre las barras de acero, exprese su respuesta en función de la
deformación unitaria .
Como el sistema está en equilibrio, se establece la siguiente ecuación:
𝑐
𝑎
= 𝑃 (ec. 1)
A partir de la ley de Hooke:
𝑆
𝜀
𝐹
𝐴𝜀
(ec. 2)
Figura 1
Figura 1.
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Aplicando la ecuación 2 para el acero, se tiene:
𝑎
𝐹 𝑎
𝐴
𝑎
𝜀
(ec. 3)
Por lo tanto,a partir de la ecuación 3, la fuerza neta sobre las seis barras de acero será:
𝑎
𝑎
𝑎
Reemplazando los valores
𝐹
𝑎
= 6 ∗ 20 𝑥 10
10
∗
𝜋
4
∗ ( 28 𝑥 10
− 3
)
2
∗ 𝜀 = ( 7. 4 𝑥 10
8
𝜀)𝑁 (ec. 4)
(c) Calcule la fuerza neta sobre la parte de concreto, exprese su respuesta en función de la
deformación unitaria
Aplicando la ecuación 2 para el concreto, se tiene:
𝑐
𝐹
𝑐
𝐴
𝑐
𝜀
(ec. 5 )
Por lo tanto,a partir de la ecuación 5, la fuerza neta sobre el concreto será:
𝑐
𝑐
𝑐
Reemplazando los valores
𝐹
𝑐
= 25 𝑥 10
9
∗ [
𝜋
4
∗
( 450 𝑥 10
− 3
)
2
− 6 ∗
𝜋
4
∗
( 28 𝑥 10
− 3
)
2
] ∗ 𝜀 = ( 3. 9 𝑥 10
9
𝜀)𝑁 (ec. 6)
(d) Calcule el esfuerzo sobre una barra de acero
Reemplazando las ecuaciones 4 y 6 en la ecuación 1, se tiene:
𝑐
𝑎
( 3. 9 𝑥 10
9
𝜀) + ( 7. 4 𝑥 10
8
𝜀) = 1550 𝑥 10
3
𝜀 = 3. 4 𝑥 10
− 4
La ecuación 2 aplicado al acero:
𝑎
𝑎
10
− 4
6 𝑁
2
(e) Calcule el esfuerzo sobre el concreto
La ecuación 2 aplicado al concreto:
𝑐
𝑐
9
− 4
2
Pregunta 2: ( 5 puntos)
Una muestra de dimensiones 10 cm x 10 cm x 10 cm presenta un comportamiento elástico durante
todo el ensayo de compresión que se realiza sobre ella. Se observa que se rompe cuando la carga
alcanzó un valor de 15 000 kg registrándose en ese momento una compresión de 0.3 mm. Considere
que cuando no actúa ninguna carga, no se produce deformación alguna. Determine:
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Por lo tanto, la deformación lateral será:
(∆𝐿)
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
= 𝜎 (
∆𝐿
𝐿
) ∗ 𝐿 = 𝜎∆𝐿
Reemplazando los valores:
(∆𝐿)
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
= 0. 3 𝑥 0. 3 𝑚𝑚 = 0. 09 𝑚𝑚
Pregunta 3: ( 5 puntos)
La velocidad de salida de un rifle se mide con un
dispositivo como el que se muestra en la figura 2, para
ellos se dispara una bala (velocidad v) hacia un bloque
de madera de masa M que descansa sobre una
superficie lisa. El bloque está unido a un resorte de
constante elástica k. La bala de masa m permanece
incrustada en el bloque de madera, produciendo una compresión máxima A. Determine:
(a) La expresión que mide la velocidad máxima del sistema oscilante en función de la velocidad de la
bala (v)
(b) La energía mecánica del sistema oscilante.
(c) La ecuación diferencial del sistema oscilante y la frecuencia angular de oscilación
(d) La velocidad de la bala, si la masa de esta es 7,9 g, la masa del bloque es 4,7 kg, la constante de
rigidez del resorte es 143 N/m y el máximo desplazamiento al momento del impacto fue 9,5 cm.
Solución
(a) La expresión que mide la velocidad máxima del sistema oscilante en función de la velocidad de la
bala (v)
Durante el tiempo de interacción entre la bala y el bloque, la cantidad de movimiento se conserva:
0
𝑓
La cantidad de movimiento inicial y final:
0
y 𝑝
𝑓
′ ⃗⃗⃗⃗
(ec. 1)
Donde 𝑉
⃗
es la velocidad de la bala y 𝑉
′ ⃗⃗⃗⃗
la velocidad del sistema bloque-bala
La velocidad del sistema bloque-bala es máximo en el instante en el que comienza a moverse, así de la
ecuación 1, el vector velocidad 𝑉
′ ⃗⃗⃗⃗
representa la velocidad máxima, entonces:
′
𝑚
(𝑚+𝑀)
(ec. 2)
A
Figura 2
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(b) La energía mecánica del sistema oscilante.
La energía mecánica (EM) del sistema será:
𝐸𝑀 =
1
2
( 𝑚 + 𝑀
) 𝑣
2
1
2
𝑘𝑥
2
Donde x representa la posición y v la velocidad del bloque. Además, la EM es constante, por lo tanto, la
variación respecto al tiempo es cero:
𝑑𝐸𝑀
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
1
2
(𝑚 + 𝑀)𝑣
2
1
2
𝑘𝑥
2
)
0 =
1
2
( 𝑚 + 𝑀
) ∗
( 2 𝑣𝑣̇
)
1
2
𝑘 ∗
( 2 𝑥𝑥̇
) = (
( 𝑚 + 𝑀
) 𝑥̈ + 𝑘𝑥)𝑥̇
Por lo tanto
𝑥̈ +
𝑘
(𝑚 + 𝑀)
𝑥 = 0
Así, la frecuencia angular de la oscilación será 𝜔 0
= √
𝑘
𝑚+𝑀
(d) La velocidad de la bala, si la masa de esta es 7,9 g, la masa del bloque es 4,7 kg, la constante de
rigidez del resorte es 143 N/m y el máximo desplazamiento al momento del impacto fue 9,5 cm.
El desplazamiento máximo A del sistema bloque-bala representa el valor máximo de la energía potencial y este
valor es igual a la energía cinética máxima, por ser un sistema conservativo. Por lo tanto, se tiene:
1
2
(𝑚 + 𝑀)𝑣
′
2
=
1
2
𝑘𝐴
2
De la ecuación 2:
1
2
(𝑚 + 𝑀)
𝑚
2
𝑣
2
(𝑚 + 𝑀)
2
=
1
2
𝑘𝐴
2
𝑣 =
𝐴
𝑚
√𝑘(𝑚 + 𝑀)
Reemplazando los valores:
𝑣 =
- 5 𝑥 10
− 2
- 9 𝑥 10
− 3
√ 143 ∗ ( 0. 0079 + 4. 7 ) = 312 𝑚/𝑠
Pregunta 4: ( 5 puntos)
Se forma un patrón de onda estacionaria en una cuerda
horizontal tensa. Un nodo de este patrón se ubica en x = 0.
m y un antinodo se ubica en x = 0.1 m. El desplazamiento de
un elemento de la cuerda ubicado en la posición x = 0.0, se
muestra en la figura 3.
Figura 3
X
Y
x
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A partir de la ecuación 1, encontramos la velocidad de los elementos de la cuerda:
( 2 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)) = 2 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)cos(𝜔𝑡)
cos( 3. 1 𝑡) (ec. 5 )
Reemplazamos los valores cuando x= 0.20 m y t = 0.50 s en la ecuación 5:
cos
Reemplazamos los valores cuando x= 0.30 m y t = 0.50 s en la ecuación 5:
𝑣( 0. 30 ; 0. 50 ) = 0. 124 𝑐𝑜𝑠( 15. 7 ∗ 0. 30 ) cos( 3. 1 ∗ 0. 50 ) = 0 𝑚/𝑠
(d) t = 1.0s
Reemplazamos los valores cuando x= 0.20 m y t = 1.0 s en la ecuación 5:
𝑣( 0. 20 ; 1. 0 ) = 0. 124 𝑐𝑜𝑠( 15. 7 ∗ 0. 20 ) cos( 3. 1 ∗ 1. 0 ) = 0. 12 𝑚/𝑠
Reemplazamos los valores cuando x= 0.30 m y t = 1.0 s en la ecuación 5:
𝑣( 0. 30 ; 0. 50 ) = 0. 124 𝑐𝑜𝑠( 15. 7 ∗ 0. 30 ) cos( 3. 1 ∗ 1. 0 ) = 0 𝑚/𝑠
(e) Dibuje el patrón de onda estacionaria en t = 0.50 en el rango x = 0.0 m hasta x = 0.40m
De acuerdo a los resultados obtenidos, la figura 4 representa el
patrón de onda estacionaria, donde se muestra que en la posición
x = 0, hay un antinodo (error en el enunciado).
