Matem´
atica Aplicada
Departamento de Matem´atica Aplicada
Graduado en Ingenier´ıa de la Energ´ıa
Examen de ‘Matem´aticas I’ -18 de febrero de 2013 - Curso 12/13
Apellidos y Nombre: DNI:
Firma:
Normas del examen:
1. El alumno deber´a colocar el DNI o pasaporte en un lugar visible del pupitre, y rellenar sus datos en cada folio que
entregue. 2. No est´a permitido el uso de ning´un tip o de calculadora o smartphone. 3. La puntuaci´on m´axima del examen
es de 8 puntos, siendo necesario un m´ınimo de 4 puntos para que se tengan en cuenta el resto de notas del curso. 4. La
soluci´on de cada problema debe estar completamente explicada y razonada. 5. La duraci´on del examen ser´a de dos horas.
6. Los alumnos que superaron la primera prueba, solo tendr´an que resolver los problemas 3, 4, y 5, mientras que los que
superaron la segunda, solo el 1 y 2, siendo necesarios en estos casos un m´ınimo de 1.5 puntos y 1 punto, respectivamente,
para que se tenga en cuenta el resto de notas del curso. El resto de alumnos tendr´an que resolver todos los problemas.
Problemas
Problema 1 (1.5pt) Considere en R4los subespacios vectoriales U={(x1, x2, x3, x4)∈R4:ax1−2x3= 0}yV=
{(x1, x2, x3, x4)∈R4:x2=x4}, donde a∈R. Determine U∩VyU+Ven funci´on del par´ametro real a.
Problema 2 (2pt) Considere A=
1 0 0
0λ0
1−λ−10λ−1
, matriz de un endomorfismo en R3. Analice para qu´e valores
del par´ametro real no nulo λel endomorfismo es diagonalizable. Indicaci´on: 1 es autovalor.
Problema 3 (1.5pt) Clasifique y determine el car´acter de la forma cuadr´atica qen R3definida, a partir de la matriz
A=
1 2a0
0 2 2a
0 0 a
, por q(x) = ξBc[x]AξBc[x]t, con Bcla base can´onica, en funci´on del par´ametro real a.
Problema 4 (1.5pt) Determine la matriz de la proyecci´on ortogonal en R3sobre el plano U≡x+y+z= 0 y calcule
proyU(2,0,1).
Problema 5 (1.5pt) Demuestre que la matriz del siguiente movimiento representa un giro en R2:
M=
1 2 2
0 0 1
0−1 0
y determine su centro py el ´angulo de giro α. Componga este movimiento con una traslaci´on de vector u= (1,2) y
demuestre que se trata de un nuevo giro del mismo ´angulo. Determine su nuevo centro.