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Programación Entera, Formulación Pregunta 1: Problema de expansión de capacidad: Una compañía de servicio eléctrico esta planeando ampliar su capacidad de generación durante los próximos 5 años. Su
capacidad actual es de 800 megavatios (MW), pero de acuerdo con sus propios pronósticos
de la demanda, va ha requerir la capacidad adicional que muestra la siguiente tabla:
AÑO
CAPACIDAD MINIMA
(MW)
La compañía de servicio eléctrico podrá aumentar su capacidad de generación con la instalación de unidades generadoras adicionales de 10, 50 ó 100 MW. El costo de instalación de un generador depende de su tamaño y del año en el cual entre en servicio.
La siguiente tabla muestra el costo de adquisición de cada generador en el año i.
Capacidad del Generador (MW)
AÑO
Una vez que un generador entra en servicio, su capacidad esta disponible para satisfacer la demanda en los años subsiguientes. Formule el modelo de programación lineal que minimice los costos de poner en servicio los generadores necesarios, satisfaciendo al mismo tiempo los requisitos de capacidad mínima. Pregunta 2: Formulación usando variables binarias (5 puntos) Un modelo que una compañía de servicio eléctrico requiere para sus operaciones diarias consiste en una guía para decidir que generadores debe poner en marcha en cada ocasión. El servicio en cuestión cuenta con tres generadores con las características que aparecen en la tabla inferior. El día esta dividido en dos periodos y en el primero de ellos se necesitan 2,900 megavatios. En el segundo periodo se requieren 3,900 megavatios. Un generador puesto en marcha en el primer periodo puede usarse en el segundo sin incurrir en un costo adicional de puesta en marcha. Todos los generadores principales A, B y C se apagan al final de cada día, formule el modelo correspondiente para este caso. Generador Costo fijo de arranque ($) Costo por periodo por megavatio usado ($) Capacidad máxima en cada periodo (MW) A 3000 5 2100 B 2000 4 1800 C 1000 7 3000
PREGUNTA 3: Formulación El departamento central de la policía esta pensando en reubicar varias sub-estaciones de la policía para obtener una mejor vigilancia en áreas de alta criminalidad. Las ubicaciones bajo consideración, junto con las áreas que pueden ser cubiertas a partir de dichas ubicaciones se dan en la tabla anexa. Formule un modelo de programación de enteros que se pudiera utilizar para encontrar el número mínimo de localizaciones necesarias a fin de proporcionar la cobertura para todas las áreas. PREGUNTA : Formulación – programación entera binaria La municipalidad de una ciudad, esta pensando en reubicar varias subestaciones de serenazgo para obtener una mejor vigilancia en áreas de alta criminalidad. Las ubicaciones bajo consideración junto con las áreas que pueden ser cubiertas a partir de dichas ubicaciones se dan en la tabla siguiente. Ubicación potencial de las subestaciones Áreas cubiertas Costo implementación de las subestaciones A 1, 5, 7 200 B 1, 2, 5, 7 100 C 1, 3, 5 150 D 2, 4, 5 300 E 3, 4, 6 256 F 4, 5, 6 270 G 1, 5, 6, 7 180 Formule un modelo de programación con variables binarias que se pudiera utilizar para encontrar el costo mínimo de implementación de subestaciones necesarias a fin de proporcionar cobertura para todas las áreas. PREGUNTA 4: Formulación – programación entera binaria La gerencia general esta estudiando el conjunto de inversiones a ejecutar que aparecen en el cuadro inferior, además de los rendimientos y costos asociados a cada inversión, la gerencia desea maximizar el rendimiento total invirtiendo no mas de 30 millones de dólares en total, formule el modelo respectivo. Inversiones Condiciones Rendimiento Costo 1 Ninguna 10 7 2 Solo si 1 es seleccionada 8 4 3 Solo si 2 es seleccionada 11 8 4 Se hará si 1 y 2 son seleccionadas 7 4 5 No se selecciona si 1 o 2 son seleccionadas 11 7 6 No se selecciona si 2 y 3 son seleccionadas 8 5 7 Solo si se selecciona 2 y no se selecciona 3 9 6 41 Ubicación potencial De las sub-estaciones Áreas Cubiertas A 1, 5, 7 B 1, 2, 5, 7 C 1, 3, 5 D 2, 4, 5 E 3, 4, 6 F 4, 5, 6 G 1, 5, 6, 7
PROBLEMA 7
La Mc Davis Consulting Co. se especializa en la preparación de programas de computadora para el gobierno y la industria. Estos programas se escriben en uno de cuatro lenguajes de programación: VB .NET, Java, COBOL y Power Builder. La compañía tiene tres programadores que realizan esta labor y existen cinco trabajos de programación que deben terminarse al menor costo y usando el tiempo disponible de los trabajadores. No todos los programadores trabajan a la misma velocidad en todos los lenguajes y se les paga en forma diferente con base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe elaborarlo un solo programador. Los costos de terminación de cada tarea por programador se muestran a continuación: Programador Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Trabajo 5 Martín $100 $150 $200 $100 $ Juan 80 200 100 100 80 Susana 200 250 250 150 100
A continuación se muestran el tiempo que necesita cada programador para terminar cada
trabajo y el tiempo de que dispone después de realizar sus demás tareas.
Prog. Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Trabajo 5 Tiempo disponible Martín 10 15 20 10 5 35 Juan 4 10 5 5 4 20 Susana 20 25 25 15 10 40 PROBLEMA 8 Una compañía manufactura cajas de herramientas en tres plantas y la manda después por barco a tres centros de distribución (los cuales son propiedad de la compañía). Los costos de producción y distribución variable por unidad transportada entre las plantas y los centros de distribución, así como la capacidad de producción mensual de las plantas, la demanda mensual de cada centro de distribución, y los costos fijos mensuales por operar las plantas y centros de distribución se muestran en la siguiente tabla: Planta Centro de distribución A Centro de distribución B Centro de distribución C Capacidad Costos fijos 1 $25 $30 $27 600 1700 2 $27 $25 $29 600 2000 3 $30 $27 $26 600 1900 Demanda 500 500 500 Costo fijo $500 $400 $ La compañía está pasando por momentos económicos difíciles y la administración ha decidido cerrar una planta y un centro de distribución. Desde luego que la demanda del centro de distribución se perderá (no será satisfecho). Cuando un centro de distribución se cierra, nada llegará a él y los costos fijos no se tomarán en cuenta. Cuando se cierra una planta, nada se manufacturará ni saldrá de ella. Formule el modelo de programación entera para decidir qué planta y centro de distribución cerrar. PROBLEMA 9 Un comerciante de equipos industriales se encuentra en una ciudad en la cual puede comprar siete tipos de equipos, los pesos, utilidades, y cantidades mínimas y máximas a comprar de los equipos se muestran en la siguiente tabla.
Equipo Peso (kg/unidad) Utilidad ($/unidad) Mínimo a comprar Máximo a comprar 1 320 2500 1 3 2 400 3700 0 3 3 450 2600 2 4 4 400 2800 1 3 5 300 1900 0 2 6 360 3000 0 4 7 380 2700 1 4 Suponga que el comerciante dispone de un camión con capacidad de 3600 Kg. Además para los productos 2 y 5, existe un costo fijo de embarque (este costo es independiente de la cantidad embarcada, solo en caso de no embarcar dicho producto el costo fijo será cero); el costo fijo para el producto 2 es de $ 280 y para el producto 5 es de $ 350. Para el producto 6 el costo fijo es de $320, pero solo se aplica este costo si se embarcan 3 o más unidades de este producto. Formule un modelo adecuado para esta situación. PROBLEMA 10 Hemos recibido las ofertas de tres compañías de teléfonos para suscribirnos a su servicio de larga distancia hacia Estados Unidos, Telefónica cobrara una tarifa fija de 16 dólares al mes más 0.25 centavos por minuto, Telmex cobrara 25 dólares al mes, pero reducirá el costo por minuto a 0.21 centavos, en tanto que Nextel ofrece cobrar una tarifa fija mensual de 18 dólares y el costo por minuto es de 0.22 centavos. Generalmente hacemos un promedio de 200 minutos de llamadas de larga distancia al mes. Suponiendo que no se pague la tarifa fija a menos que haga las llamadas y de que pueda dividir mis llamadas entre las tres compañías según nos parezca o nos convenga, formular un modelo que nos ayude a determinar como debo utilizar los servicios de las tres compañías para minimizar nuestra cuenta mensual de teléfono? PROBLEMA 11 Una compañía opera una planta en Lima con una capacidad anual de 30,000 unidades. El producto se embarca a centros regionales de distribución localizados en Arequipa, Trujillo, Iquitos. Debido a un incremento anticipado en la demanda, la compañía planea aumentar la capacidad construyendo una nueva planta en una ò más de las ciudades siguientes: Piura, Chiclayo, Tacna, Tarapoto. El costo fijo anual estimado y la capacidad anual de las cuatro plantas propuestas son como sigue: Planta propuesta Costo fijo anual Capacidad anual Piura US$ 175,000 10, Chiclayo US$ 300,000 20, Tacna US$ 375,000 30, Tarapoto US$ 500,000 40, El grupo de planeación a largo plazo de la empresa a desarrollado pronostico de la demanda prevista anual en los centros de distribución como sigue: Centro de distribución Demanda anual Arequipa 30, Trujillo 20, Iquitos 20, El costo de embarque por unidad de cada una de las plantas a cada uno de los centros de distribución aparece en la siguiente tabla:
