¡Descarga Clasificación y caracterización de superficies compactas y conexas - Prof. Mascaró y más Apuntes en PDF de Geometría solo en Docsity!
Cap´ıtulo 5
Superficies
El objetivo de este Cap´ıtulo es probar que toda superficie compacta y conexa es homeomorfa a S^2 o a la suma conexa de g-toros o bien a la suma conexa de h-planos proyectivos y comprobar que dichos modelos de superficies son todos diferentes, para ello introduciremos la caracter´ıstica de Euler y la orientaci´on de una superficie. Primero veremos una introducci´on a los complejos simpliciales y a los poliedros.
5.1. Complejos simpliciales y poliedros
Definici´on 5.1.1 Un subconjunto de puntos de Rm, {x 0 , · · · , xn} es afinmente independiente si {xi − x 0 }ni=0 ⊆ Rm^ son linealmente independientes.
Nota 5.1.2 Evidentemente, en este caso n ≤ m.
Definici´on 5.1.3 Si {x 0 , · · · , xn} ⊆ Rm^ son afinmente independientes se define el n-s´ımplex gene- rado por ellos como
< x 0 , · · · , xn >= { ∑^ n i=
tixi : ti ≥ 0 , ∑^ n i=
ti = 1} ⊆ Rm.
Un subconjunto σ ⊆ R es un n-s´ımplex si existen {x 0 , · · · , xn} tales que σ =< x 0 , · · · , xn >.
Nota 5.1.4 Notar que, por ser afinmente independientes, los ti son ´unicos, dando funciones
ti : σ → R
llamadas coordenadas baric´entricas.
101
Nota 5.1.5 Las coordenadas baric´entricas ti : σ → R dan un homeomorfismo σ ∼= ∆n^ donde ∆n^ es el n-s´ımplex est´andar, con v´ertices { 0 , e 1 , · · · , en} ⊆ Rn.
Definici´on 5.1.6 Sea σ =< x 0 , · · · , xn > un n-s´ımplex. Una l-cara de ´el, τ , es el l-s´ımplex generado por l + 1 de sus v´ertices. O sea, existen i 0 ≤ i 1 ≤ · · · ≤ il tales que τ =< xi 0 , · · · , xil >.
Nota 5.1.7 Los puntos de las caras propias (distintas del total) se distinguen por tener alguna coordenada baric´entrica 0.
Definici´on 5.1.8 Sea K un conjunto finito de s´ımplices en Rn. Decimos que es un complejo simplicial si cumple
- La cara de todo s´ımplex de K est´a en K.
- Dos s´ımplices de K se cortan a lo largo de una cara.
Entonces llamamos dimensi´on de K a la m´axima dimensi´on de los s´ımplices de K.
Nota 5.1.9 Como ejemplos tenemos para todo n-s´ımplex σ, el complejo simplicial σ formado por todas las caras (incluyendo σ) y el ˙σ formado s´olo por las caras propias.
Definici´on 5.1.10 Asociado a todo complejo simplicial K se define su poliedro
|K| =
{σ : σ ∈ K} ⊂ Rm.
Nota 5.1.11 Evidentemente, |K| es un subconjunto compacto de Rm.
Definici´on 5.1.12 Un espacio topol´ogico X es triangulable si existe un complejo simplicial K tal que su poliedro asociado |K| es homeomorfo a X.
5.2. Superficies Combinatoriales. Modelos planos
Los espacios topol´ogicos m´as atractivos y m´as estudiados en matem´aticas son las variedades que no son m´as que espacios topol´ogicos que se comportan localmente como si fueran Rn, se llaman n-variedades o variedades de dimensi´on n. Los ejemplos m´as sencillos son Rn^ y Sn. La definici´on de variedad depende del concepto de entorno y de homeomorfismo y no est´a nada claro, intuitivamente, que toda variedad sea homeomorfa a un poliedro, esto es, sea triangulable. Sin embargo, es cierto para variedades de dimensi´on 1, 2 y 3. Para 1-variedades es claro ya que las ´unicas
La Botella de Klein
Nuestro objetivo es obtener una clasificaci´on, salvo homeomorfismo, de las superficies compactas y conexas, esto quiere decir, tener una lista de superficies modelo y luego tener una serie de operaciones que al aplicarlas a una superficie en concreto nos den otra homeomorfa de modo que, mediante un n´umero finito de ellos siempre podamos pasar de una superficie cualquiera a un modelo. Lo veremos usando m´etodos geom´etricos y combinatoriales, ello es posible pues tenemos el Teorema de triangulaci´on de Rad´o siguiente.
Teorema 5.2.3 Sea M una superficie compacta. Existe un complejo simplicial de dimensi´on 2 , K y un homeomorfismo f : |K| → M.
Son ejemplos de triangulaciones:
<
< < < <
S^2 T RP 2
b b b b
a
a
a
a
Por tanto, para clasificar las superficies es suficiente trabajar con poliedros que a la vez sean superficies. As´ı tenemos la definici´on siguiente.
Definici´on 5.2.4 Llamaremos superficie combinatorial a un poliedro |K|, que tambi´en sea una su- perficie.
Veamos ahora algunas propiedades que tiene que cumplir el complejo simplicial K y que se deducen del hecho de que el espacio |K| sea superficie.
Teorema 5.2.5 Sea |K| una superficie combinatorial conexa, se cumplen las afirmaciones siguien- tes:
- |K| es la uni´on de todos los 2 -s´ımplices de K.
- Todo 1 -s´ımplice es cara de exactamente dos 2 -s´ımplices de K.
- Dados dos 2 -s´ımplices σ y τ de K, existen σ 1 , σ 2 , · · · , σn, 2 -s´ımplices de K, tales que, σ = σ 1 , τ = σn y para todo i, σi y σi+1 tienen una cara en com´un (en este caso, se dice que σ y τ son conectables mediante una cadena).
Demostraci´on i) Sea H = ∪{ω ∈ K : dim(ω) = 2}. Evidentemente, se cumple H ⊆ |K|. Veamos la inclusi´on contraria. Sea x ∈ |K| tal que x 6 ∈ H. Existe un ´unico σ ∈ K, de dimensi´on menor que 2 y tal que x est´a en su interior. Adem´as, sabemos que x no est´a en ning´un s´ımplice de dimensi´on 2. Por tanto, σ no es cara de ning´un 2-s´ımplice de K pero esto es imposible pues |K| es una superficie y todo punto tiene que tener un entorno homeomorfo a R^2.
x^ | o bien x
ii) (Demostraci´on intuitiva) Supongamos que τ ∈ K es un 1-s´ımplice que no es cara de dos 2-s´ımplices de K. Puede ocurrir una de las situaciones siguientes:
- que τ no sea cara de ning´un 2-s´ımplice de K contradicci´on con ser |K| una superficie, pues, como antes, todo punto del interior de τ tiene que tener un entorno homeomorfo a R^2.
- que τ sea cara de s´olo un 2-s´ımplice de K.
τ imposible por la misma raz´on de antes.
- que τ sea cara de m´as de 2-s´ımplices
x
Demostraci´on Sea σ 1 un 2-s´ımplice cualquiera. Escogemos una 1-cara, τ < σ 1. Como todo 1- s´ımplice es cara de exactamente dos 2-s´ımplices, existir´a σ 2 ∈ K tal que τ < σ 2 y σ 2 6 = σ 1. Llamemos P 4 = σ 1 ∪ σ 2. Ahora escogemos un 1-s´ımplice de P 4 que s´olo sea cara de un 2-s´ımplice de P 4 , si lo hay, le llamaremos cara libre de P 4 , y repetimos el procedimiento anterior. As´ı inductivamente formamos Pm = σ 1 ∪ σ 2 ∪ · · · ∪ σr. El proceso acaba cuando ocurre una de las dos situaciones siguientes: i) No quedan ya caras libres en Pm. ii) no queda ning´un 2-s´ımplice de K que no est´e usado en Pm. Veamos que las dos cosas ocurren a la vez. Supongamos que queda una 1-cara libre, τ en Pm = σ 1 ∪ σ 2 ∪ · · · ∪ σr pero que todos los s´ımplices de |K| est´an usados en Pm. Entonces, como τ es cara de exactamente dos 2-s´ımplices de K, no puede ser una cara libre de Pm. Supongamos ahora que existe un 2-s´ımplice, σ ∈ K, sin usar en Pm. Entonces, por ser |K| conexo existe una cadena de 2-s´ımplices conectando σ 1 y σ, sea ω 1 , · · · , ωs. Tenemos que σ 1 = ω 1 ∈ Pm y σ = ωs 6 ∈ Pm. Existe, por tanto, ωi ∈ Pm tal que ωi+1 6 ∈ Pm. As´ı, ωi ∩ ωi+1 es un 1-s´ımplice, por tanto, una cara libre de Pm. Notar que como los lados est´an identificados dos a dos, m debe ser par.
Nota 5.2.7 Vamos ahora a denotar las superficies compactas y conexas mediante una palabra. Para ello, sea P 2 r el pol´ıgono de un n´umero par de lados obtenido en el teorema anterior. Denotemos por una letra distinta cada lado distinto, as´ı, cada letra aparecer´a dos veces y tambi´en pondremos una flecha sobre cada lado de modo que la direcci´on de la flecha nos indique como est´an pegados los dos lados correspondientes. Denotaremos la superficie mediante la palabra obtenida cuando recorremos la frontera del pol´ıgono, empezando desde un v´ertice cualquiera y en el sentido de las agujas del reloj, donde escribimos la sucesi´on de las letras de la frontera, en el orden que las encontramos pero le pondremos exponente +1 a la letra si el sentido de la flecha del lado correspondiente coincide con el sentido elegido de recorrido y −1 en caso contrario. Dicha sucesi´on no es ´unica (depende del v´ertice elegido y tambi´en del sentido de recorrido de la frontera) pero es una forma ´util de denotar cualquier superficie combinatorial. Es claro que una palabra de este tipo denota una superficie conexa. Tomamos por convenio que (a−^1 )−^1 = a.
Ejemplo 5.2.8 i) S^2 es xx−^1. ii) Toro es xyx−^1 y−^1. iii) El plano proyectivo es xx. iv) La botella de Klein es xyx−^1 y. Para probar el teorema de clasificaci´on de las superficies queremos saber que significado tiene “dos toros pegados” por ejemplo, para ello definiremos la suma conexa de dos superficies.
Definici´on 5.2.9 Dadas dos superficies M 1 , M 2 , sea p 1 ∈ M 1 y p 2 ∈ M 2 , por ser superficies tienen entornos abiertos, U 1 , U 2 , homeomorfos a B((0, 0), 1), por tanto, la frontera de U 1 y ls U 2 son home- omorfas a S^1. Definimos la suma conexa de M 1 y M 2 , M 1 ♯M 2 , como el espacio resultante de pegar M 1 − U 1 con M 2 − U 2 , punto a punto, a lo largo de la frontera de U 1 y U 2.
Nota 5.2.10 Es claro que la suma conexa de dos superficies en otra superficie. Lo que no es evidente, pero es cierto, es que es independiente de los entornos que quitamos.
Ejemplo 5.2.11 Veamos la suma conexa de dos toros.
5.3. Clasificaci´on de superficies
El m´etodo que usaremos para trabajar con las superficies es el de “cortar y pegar”. La idea es sencilla, dada una superficie consideraremos un modelo plano de la misma, que existe siempre, modificaremos este modelo cortando y pegando, esto lo podremos hacer siempre y cuando no mo- difiquemos la superficie en cuesti´on, s´olo ser´an representaciones distintas de ella misma. Para ello daremos una lista de operaciones v´alidas, cada operaci´on no modifica la superficie s´olo nos da otra homeomorfa, por lo tanto con otra representaci´on.
Definici´on 5.3.1 1. Operaci´on 1.- Cambio de notaci´on.
Sea M una palabra que representa una superficie, entonces podemos cambiar todo par de la forma · · · a · · · a · · · o bien · · · a · · · a−^1 · · · por · · · x · · · x · · · o bien · · · x · · · x−^1 · · · siempre y cuando x no sea una letra de M.
- Operaci´on 2.- Subdivisi´on. Si a es una letra de M se puede cambiar por ax si x 6 ∈ M y a−^1 se cambia por x−^1 a−^1.
- Operaci´on 3.- Simplificaci´on (inversa de la anterior). Si en M aparecen dos letras juntas siempre, de la forma ab o b−^1 a−^1 , se puede cambiar ab por x siendo x 6 ∈ M.
- Operaci´on 4.- Rotaci´on. Una permutaci´on c´ıclica de las letras que definen M nos representa superficies homeomorfas.
<
<^ <
< <
x A
y
x x−^1 yxA
x
x
y A
xAx−^1 y
- Operaci´on 5.- Reflexi´on. Si la palabra que denota una superficie es M, la palabra M−^1 denota una superficie homeomorfa.
< <
<
x <
A
y x x−^1 yxA
x
x
y A A−^1 x−^1 y−^1 x
- Operaci´on 6.- Plegar/Desplegar. Si A y B denotan un conjunto de letras, de modo que AB 6 = ∅, entonces Axx−^1 B ≡ AB.
x < <
A
x
B
- Operaci´on 7.- Cortar/Pegar. Mover hacia la izquierda un par de la forma · · · x · · · x−^1 · · ·.
ABxCDx−^1 E ≡ AyDCy−^1 BE.
<^ <
<
<
x y x B
C
A
D
E
y x y B
C
A
D
E
- Operaci´on 8.- Cortar/Pegar. Mover hacia la izquierda un par de la forma · · · x · · · x · · ·.
ABxCDxE ≡ AyDB−^1 yC−^1 E.
<
<
x y x^ <
B
C
A
D
E
y x y C
B
A
D
E
Vamos entonces a probar el teorema de clasificaci´on.
Teorema 5.3.2 Toda superficie compacta y conexa, M, es homeomorfa a S^2 , a una Mg (suma conexa de un n´umero finito de toros) o a una Nh (suma conexa de un n´umero finito de planos proyectivos).
- Cuarto Paso: Si A = ∅ ya habremos demostrado que M es homeomorfa a una suma conexa de toros, esto es, a una Mg. Si C = ∅ ya tenemos que M es homeomorfa a una suma conexa de planos proyectivos o Nh. Si ni A ni C son vac´ıas veamos que, salvo homeomorfismo, M puede venir representada por una palabra E que s´olo contiene pares de la forma x 1 x 1 x 2 x 2 · · ·. Supongamos tenemos la palabra F xxaba−^1 b−^1 G, entonces F xxaba−^1 b−^1 G Op8 ←−,x F yb−^1 a−^1 ya−^1 b−^1 G Op8 ←−,b− 1 F yay−^1 accG Op8 ←−,a F yyddccG
donde, en la primera operaci´on tomamos A = F , C−^1 = ab y E = a−^1 b−^1 G, en la segunda operaci´on tomamos A = F y, B−^1 = a−^1 ya−^1 y E = G, en la tercera operaci´on tomamos A = F y, B−^1 = y−^1 y E = ccG. Queda el siguiente caso, cuando A = ∅ = C, entonces la superficie M es homeomorfa a una representada por D, por lo que xx−^1 yy−^1 que mediante una operaci´on 2 resulta homeomorfa a la superficie representada por xx−^1 que es homeomorfa a S^2. xyy−^1 x−^1 que mediante una permutaci´on c´ıclica (operaci´on 1) llegamos al caso anterior, por tanto, homeomorfa a S^2.
Ejemplo 5.3.3 La superficie denotada por la palabra abca−^1 b−^1 c−^1 es homeomorfa al toro y la denotada por abca−^1 b−^1 c a la suma conexa de 3 planos proyectivos.
5.4. Caracter´ıstica de Euler
Nuestro objetivo final es la clasificaci´on de las superficies y queremos que los modelos del teorema de clasificaci´on sean realmente diferentes, para ello, buscamos invariantes que no dependan de la triangulaci´on, esto es, invariantes topol´ogicos. El primer invariante que tenemos son los grupos de homolog´ıa simplicial ordenada, en particular, los n´umeros de Betti que nos da el invariante num´erico que conocemos como la Caracter´ıstica de Euler.
Definici´on 5.4.1 Si |K| una superficie combinatorial y α 0 , α 1 , α 2 denota el n´umero de 0, 1, 2- s´ımplices de K respectivamente. Entonces
χ(K) = α 0 − α 1 + α 2.
Teorema 5.4.2 La caracter´ıstica de Euler en un invariante topol´ogico.
Demostraci´on La demostraci´on consiste en poner la caracter´ıstica de Euler en funci´on de los n´umeros de Betti calculados usando la homolog´ıa simplicial y usar la invariancia topol´ogica de los grupos de homolog´ıa.
Ejemplo 5.4.3 1. χ(S^2 ) = 2.
- χ(Toro) = 0.
- χ(RP 2 ) = 1.
Nota 5.4.4 Las tres superficies del ejemplo anterior no pueden ser homeomorfas pues tienen distinta caracter´ıstica de Euler.
Propiedad 5.4.5 Si M 1 y M 2 son dos superficies combinatoriales, se cumple
χ(M 1 ♯M 2 ) = χ(M 1 ) + χ(M 2 ) − 2.
Demostraci´on Sea vi el n´umero de v´ertices, ei el n´umero de 1-s´ımplices y ci el n´umero de 2-s´ımplices del complejo simplicial que define Mi. Sabemos que, χ(Mi) = vi − ei + ci. Entonces,
χ(M 1 ♯M 2 ) = (v 1 + v 2 − 3) − (e 1 + e 2 − 3) + (c 1 + c 2 − 2) = χ(M 1 ) + χ(M 2 ) − 2.
Corolario 5.4.6 i) χ(T ♯ · · ·g♯T ) = χ(Mg) = (g − 1)(−2) = 2 − 2 g. ii) χ(RP 2 ♯ · · ·h♯RP 2 ) = χ(Nh) = 2 − h.
Nota 5.4.7 Para que la caracter´ıstica de Euler de una Mg coincida con la de una Nh tiene que ser 2 − 2 g = 2 − h, por lo tanto h par. Este caso lo distinguiremos usando la orientaci´on, como veremos tambi´en es un invariante topol´ogico.
Hay una definici´on de caracter´ıstica de Euler para superficies usando modelos planos en lugar de triangulaciones de las mismas. Propiedad.- Si P es un modelo plano de M con v v´ertices distintos y e ejes distintos. Entonces χ(M) = v − e + 1
. Demostraci´on Podemos suponer que la superficie M est´a triangulada de modo que los v´ertices del modelo plano P sean tambi´en v´ertices de la triangulaci´on.
que elegir un sentido de recorrido del mismo, orientar un tri´angulo es escoger un sentido de recorrido sobre los lados, lo que nos da una orientaci´on sobre cada uno de sus lados. Es claro que, en ambos casos, hay dos orientaciones posibles. Diremos que dos tri´angulos orientados y con un lado en com´un tienen una orientaci´on compatible si, sobre el lado com´un, inducen orientaciones opuestas.
<
<
Definici´on 5.5.1 Diremos que una superficie combinatoria es orientable si podemos elegir una orien- taci´on sobre cada 2-s´ımplice de modo que dos tri´angulos adyacentes tengan orientaciones compatibles. En caso contrario diremos que la superficie es no orientable.
Ejemplo 5.5.2 1. El toro es orientable. Vamos a ver como podemos orientar todos sus 2-s´ımplices de forma compatible.
<
< < < < < < < < < <
< < < <
< < <
b b
a
a
- La cinta de Moebius, aunque es una superficie con frontera, no es orientable.
< <
< <
< < < < <
< a a
- RP 2 no es orientable.
< < <^ <
< < < < < <
b b
a
a
- Si M es una superficie orientable, entonces M♯M tambi´en lo es. Si M es no orientable, M♯M tambi´en es no orientable.
La orientaci´on es un invariante topol´ogico, ello quedar´ıa probado viendo el siguiente teorema, aunque la demostraci´on del mismo hace uso de la homolog´ıa simplicial orientada no la ordenada.
Teorema 5.5.3 (Para probar este teorema necesito la homolog´ıa simplicial orientada no la ordenada) Sea |K| una variedad combinatorial. Entonces, |K| es orientable si y s´olo si H 2 (K) 6 = 0.
Vamos ahora a reinterpretar la orientaci´on haciendo uso del modelo plano de la superficie y de su representaci´on mediante una palabra.
Teorema 5.5.4 Una superficie compacta y conexa, M, es no orientable si y s´olo si la palabra que la define, en su forma normal, contiene un par de la forma · · · aa · · ·. Ello ocurre si y s´olo si toda palabra que denota M contiene un par de la forma · · · a · · · a · · ·.
Demostraci´on Recordando la demostraci´on del Teorema de Clasificaci´on, es claro que una palabra que denote M tiene un par de la forma · · · a · · · a · · · si y s´olo si la palabra que denota el modelo homeomorfo a M tiene un par de la forma · · · aa · · ·. Veamos ahora que M es no orientable si y s´olo si toda palabra que denota M contiene un par de la forma · · · a · · · a · · ·. Supongamos que M puede representarse mediante una palabra de la forma · · · a · · · a · · ·. Por ser arco-conexa, podemos elegir un arco, α, que una un punto del interior del lado a con el mismo en el interior del otro lado a y de modo que pase por cada 2-s´ımplice y tambi´en por cada 1-s´ımplice, como m´aximo, una vez.
