¡Descarga Topología de productos de espacios - Prof. Mascaró y más Apuntes en PDF de Topología solo en Docsity!
Cap´ıtol 3
Producte d’espais topol`ogics
Ens plantegem com definir, de forma natural, una topologia sobre el producte d’espais, X 1 × X 2 , quan ambd´os s´on espais topologics. Es a dir, donats dos espais topol´ ogics, com podem definir una topologia sobre el producte cartesia. Es l´ ogic esperar que el producte de dos oberts, A 1 × A 2 , siga obert en el producte, amb la qual cosa la primera q¨uesti´o seria veure si la fam´ılia d’elements d’aquesta forma ´es o no una topologia. En aquest cas, la resposta ´es no, com evidencia el fet que la uni´o de dos conjunts rectangulars no ha de ser necess`ariament un rectangle Per tant, aquesta fam´˙ ılia no compleix les propietats d’una topologia. De tota manera, la idea es pot millorar i podem veure si aquesta fam´ılia ´es base d’oberts per alguna topologia sobre el producte i s´ı aquest ´es el cas, li direm topologia producte.
3.1 Topologia producte i propietats topol`ogiques del pro-
ducte
Propietat 3.1.1 Siguen (X 1 , T 1 ) i (X 2 , T 2 ) dos espais topol`ogics, llavors la fam´ılia
B = {B = A 1 × A 2 : A 1 ∈ T 1 i A 2 ∈ T 2 }
´es base d’oberts per alguna topologia sobre el producte cartesi`a X 1 × X 2.
Definici´o 3.1.2 Siguen (X 1 , T 1 ) i (X 2 , T 2 ) dos espais topologics. A la topologia generada per la base d’abans B sobre X × Y li direm topologia producte, la denotarem per T 1 × T 2 i l’espai topologic (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) s’anomena espai topol`ogic producte.
Nota 3.1.3 Noteu que els oberts en la topologia producte son conjunts G ⊆ X 1 × X 2 tal que per a tot punt (x 1 , x 2 ) ∈ G existeixen oberts, A 1 ∈ T 1 i A 2 ∈ T 2 , on (x 1 , x 2 ) ∈ A 1 × A 2 ⊆ G (Figura 3.1). Aix´ı, el producte d’oberts de (X 1 , T 1 ) i de (X 2 , T 2 ) ´es obert en la topologia producte per`o no tot obert de la topologia producte ´es poducte d’oberts.
X 2
x 2
G
A 1 × A 2
x (^1) X 1
Figura 3.1: Obert que no ´es producte
Propietat 3.1.4 Siguen (X 1 , T 1 ) i (X 2 , T 2 ) espais topol`ogics. Les projeccions p 1 : (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) −→ (X 1 , T 1 ) (x 1 , x 2 ) 7 → x 1 i p 2 : (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) −→ (X 2 , T 2 ) (x 1 , x 2 ) 7 → x 2 s´on cont´ınues i obertes.
Nota 3.1.5 Es f´ acil generalitzar la definici´o de topologia producte a un nombre finit de factors. Per simplicitat de notaci´o, farem tot el treball en el cas de dos factors, pero les propietats s´on certes per a la topologia producte T 1 × T 2 ×... × Tn.
Vegem ara que el producte de tancats tamb´e produeix tancats en la topologia producte. Com en el cas dels oberts, aquesta construcci´o no ens d´ona tots els elements de la fam´ılia de tancats.
Propietat 3.1.6 Siguen (X 1 , T 1 ) i (X 2 , T 2 ) dos espais topol`ogics, C 1 tancat en (X 1 , T 1 ) i C 2 tancat en (X 2 , T 2 ). Aleshores, C 1 × C 2 ´es tancat en la topologia producte.
Demostraci´o.- Vegem que X 1 × X 2 − (C 1 × C 2 ) ´es obert en la topologia producte. Si prenem complementaris tenim que (Figura 3.2) X 1 × X 2 − (C 1 × C 2 ) = {(x 1 , x 2 ) : x 1 6 ∈ C 1 ´o x 2 6 ∈ C 2 } = ((X 1 − C 1 ) × X 2 ) ∪ (X 1 × (X 2 − C 2 )). Amb la qual cosa X 1 × X 2 − (C 1 × C 2 ) ´es la uni´o de dos oberts de la topologia producte; per tant, ´es obert d’aquesta topologia. §
Vegem ara que el producte de bases d’oberts ens dona una base d’oberts en el producte d’espais.
Propietat 3.1.12 Siguen (X 1 , T 1 ) i (X 2 , T 2 ) espais topol`ogics, B 1 base d’oberts en (X 1 , T 1 ) i B 2 base d’oberts en (X 2 , T 2 ). Llavors,
B 1 × B 2 = {B 1 × B 2 : B 1 ∈ B 1 i B 2 ∈ B 2 }
´es base d’oberts per la topologia producte.
Corol·lari 3.1.13 El producte finit d’espais 2AN ´es 2AN.
Propietat 3.1.14 El producte finit d’espais separables ´es separable.
Propietat 3.1.15 El producte d’espais Hausdorff ´es Hausdorff.
Posat el cas en que els factors X 1 i X 2 tinguen topologies que provinguen de metriques, d i d′ respectivament, es poden definir dues topologies sobre el producte X 1 ×X 2. La primera ´es l’associada a qualsevol de les tres metriques producte,
d 1 ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = d(x 1 , y 1 ) + d′(x 2 , y 2 ) d 2 ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) =
d(x 1 , y 1 )^2 + d′(x 2 , y 2 )^2 d∞((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) = max{d(x 1 , y 1 ), d′(x 2 , y 2 )}
(recordeu que les topologies associades s´on la mateixa), i la segona, la topologia producte de les associades a les m`etriques de X 1 i X 2. Vegem que no existeix indeterminaci´o, ja que ambdues topologies coincideixen.
Propietat 3.1.16 Siguen (X 1 , d) i (X 2 , d′) espais metrics. Llavors, la topologia producte Td × Td′ ´es la topologia associada a qualsevol de les metriques equivalents d 1 , d 2 o d∞.
Nota 3.1.17 Una conseq¨uencia d’aquesta propietat ´es que la condici´o de ser metritzable ´es una propietat productiva, ´es a dir, si dos espais topologics s´on metritzables, aleshores el seu producte tamb´e ´es metritzable.
Vegem ara el comportament de la connexi´o respecte als productes.
Propietat 3.1.18 L’espai producte (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) ´es connex si i nom´es si (X 1 , T 1 ) i (X 2 , T 2 ) s´on ambd´os connexos.
Demostraci´o.- Suposarem X 1 i X 2 no buits, ja que en cas contrari X 1 × X 2 = ∅ i la propietat ´es certa. Sabem que per a qualsevol punt x 2 ∈ X 2 el subespai topologic X 1 ×{x 2 } ´es homeomorf a (X 1 , T 1 ). Per tant, sera connex ja que connexi´o ´es una propietat topologica. El mateix ´es valid per a qualsevol punt x 1 ∈ X 1 i per al subespai {x 1 } × X 2.
Per un altre part, siga x 2 ∈ X 2 un punt fix. Podem escriure X 1 × X 2 com la uni´o (Figura 3.4)
X 1 × X 2 =
x 1 ∈X 1
{x 1 } × X 2
(X 1 × {x 2 }).
X 1 × {x 2 }
{x 1 } × X 2 Figura 3.4: Descomposici´o de Rn^ com a uni´o de connexos
Per tant, (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) ´es connex ja que l’hem escrit com a uni´o d’espais connexos amb un que talla a tots els altres.
A l’inrev´es, suposem ara que (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) ´es connex. Per la Propietat 3.1.4 sabem que les projeccions s´on cont´ınues i com que la imatge cont´ınua d’un connex ´es connex, podem assegurar que tan (X 1 , T 1 ) com (X 2 , T 2 ) s´on espais connexos.
§
Una conseq¨u`encia immediata d’aquesta propietat ´es el seg¨uent fet important.
Corol·lari 3.1.19 L’espai topol`ogic (Rn, Tu) es connex.
3.4 Continu¨ıtat i productes
Com en el cas de la convergencia, la topologia producte ens permet relacionar les propietats de continu¨ıtat d’aplicacions en un producte amb les de continu¨ıtat de les aplicacions en els factors. En la seg¨uent propietat estudiem el cas en que el producte d’espais topologics es troba dins el codomini de l’aplicaci´o. Es f´ acil veure que una aplicaci´o, f : X → X 1 × X 2 , ´es donada per dues aplicacions, f 1 , f 2 , cadascuna en un dels factors, que s’obtenen fent la composici´o de f amb cadascuna de les projeccions. A¸c`o es denota per f = (f 1 , f 2 ). (Per exemple, l’aplicaci´o identitat: Id = (p 1 , p 2 ) : X 1 × X 2 → X 1 × X 2 ). Relacionem ara la continu¨ıtat de f amb la de f 1 i f 2.
Propietat 3.4.1 Siga f : (X, T ) → (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) una aplicaci´o i x un punt de X. Es compleix que f ´es cont´ınua en x si i nom´es si f 1 = p 1 ◦ f i f 2 = p 2 ◦ f s´on ambdues cont´ınues en x.
Com sempre, una propietat de continu¨ıtat en un punt t´e com a conseq¨u`encia una propietat de continu¨ıtat en tot l’espai.
Corol·lari 3.4.2 Siga f : (X, T ) → (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) una aplicaci´o. Llavors, f ´es cont´ınua si i nom´es si f 1 i f 2 ho s´on.
Exemple 3.4.3 Siga (X, T ) un espai topol`ogic. L’aplicaci´o diagonal
∆ : (X, T ) −→ (X × X, T × T ) x 7 → (x, x)
´es cont´ınua ja que, amb la notaci´o que fem servir, ∆ = (Id, Id).
La continu¨ıtat de f no es pot caracteritzar facilment quan el producte esta en el domini. La implicaci´o, en general, ´es certa nom´es en un sentit.
Propietat 3.4.4 Siga f : (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) → (X, T ) una aplicaci´o i (a 1 , a 2 ) ∈ X 1 × X 2 ; es compleix que si f ´es cont´ınua en (a 1 , a 2 ), llavors l’aplicaci´o fa 1 : (X 2 , T 2 ) → (X, T ) dona- da per fa 1 (x 2 ) = f (a 1 , x 2 ) ´es cont´ınua en a 2 i l’aplicaci´o fa 2 : (X 1 , T 1 ) → (X, T ) donada per fa 2 = f (x 1 , a 2 ) ´es cont´ınua en a 1.
Corol·lari 3.4.5 Siga f : (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) → (X, T ) una aplicaci´o cont´ınua. Llavors, per a tot punt a 1 ∈ X 1 tenim que fa 1 : (X 2 , T 2 ) → (X, T ) ´es cont´ınua i per a tot punt a 2 ∈ X 2 tenim que fa 2 : (X 1 , T 1 ) → (X, T ) ´es cont´ınua.
Exemple 3.4.6 Un exemple del fet que la implicaci´o contr`aria del Corol·lari anterior ´es falsa ´es la funci´o f : R^2 → R definida com a
f (x, y) =
xy x^2 +y^2 ,^ si (x, y)^6 = (0,^ 0), f (0, 0) = 0.
Per a qualsevol punt (x, y), tant fx com fy s´on cont´ınues per`o, en canvi, f no ´es cont´ınua en (0, 0).
En efecte, provem en primer lloc que per a qualsevol punt y l’aplicaci´o fy : R −→ R x 7 → f (x, y)
´es cont´ınua. Si y 6 = 0, l’aplicaci´o definida com a fy(x) = (^) (x 2 xy+ y (^2) ),
´es cont´ınua. Si y = 0, f 0 ´es l’aplicaci´o constant 0 i tamb´e ´es cont´ınua. Aix´ı mateix resulta que per a qualsevol nombre real x, fx tamb´e ´es cont´ınua. En canvi, f no ´es cont´ınua en (0, 0) ja que si ho f´ora tamb´e ho seria la seua composici´o amb la diagonal ∆. Per`o, com que
(f ◦ ∆)(x) =
f (x, x) = 12 , si x 6 = 0, f (0, 0) = 0, no ´es cont´ınua, arribem a una contradicci´o. Un cas particular en qu`e la caracteritzaci´o es compleix ´es el seg¨uent: donades dues aplicacions, f 1 : X 1 → X 1 ′ i f 2 : X 2 → X 2 ′, considerem el seu producte f 1 × f 2 : X 1 × X 2 → X 1 ′ × X 2 ′ donat per (f 1 × f 2 )(x 1 , x 2 ) = (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 )). Propietat 3.4.7 L’aplicaci´o producte f 1 × f 2 : (X 1 × X 2 , T 1 × T 2 ) → (X 1 ′ × X 2 ′, T 1 ′ × T 2 ′ )
´es cont´ınua si i nom´es si f 1 i f 2 s´on ambdues cont´ınues.
Demostraci´o.- Suposem que f 1 × f 2 ´es cont´ınua, vegem que f 1 ´es cont´ınua. Siga x 2 un punt qualsevol de X 2. Com hem vist en la demostraci´o de la Propietat 3.4.4, l’aplicaci´o (Id, ctx 2 ) ´es cont´ınua i com que el seg¨uent diagrama ´es commutatiu,
X 1 Id PPP P ( (
PPPPP
PPPPP PP
(Id,ctx 2 ) (^) // X 1 × X 2 f^1 ×f^2 // p 1 ≤ ≤
X 1 ′ × X 2 ′
p′ 1 ≤ ≤ X 1 f^1 //X 1 ′ tenim que f 1 = p′ 1 ◦ (f 1 × f 2 ) ◦ (Id, ctx 2 ) ´es cont´ınua per ser composici´o de cont´ınues. El mateix tipus de demostraci´o funciona per a f 2. D’altra banda, si suposem que f 1 i f 2 s´on cont´ınues es compleix que p′ 1 ◦ (f 1 × f 2 ) = f 1 ◦ p 1 ´es composici´o de cont´ınues i, per tant, cont´ınua, igual que p′ 2 ◦ (f 1 × f 2 ) = f 2 ◦ p 2. Aix´ı doncs, pel Corol·lari 3.4.2, f 1 × f 2 = (f 1 ◦ p 1 , f 2 ◦ p 2 )
´es cont´ınua. §
