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M. Varela. Física Aplicada i Òptica. Universitat de Barcelona.
1. CAMP ELÈCTRIC
1.1. A l'àtom d'hidrogen, l'electró gira al voltant del protó a una distància mitjana de 0.53 Å****. Quant val la força d'interacció electrostàtica entre les dues partícules? I la gravitatòria? La fuerza electrostática será:
4 0 2
r
q q π
Fe e p
con q (^) e = qp = 1_._ 6 × 10 -19 C ; 0 8.85 10 -^122 N.m
ε = × C
La fuerza gravitatoria será:
r^2
m m FG = G e p
con kg m. kg kg G. - N.m e
- 27 11 2 = 9 10 × 10 -^31 ;mp=1.67× 10 ; = 667 × 10.
Substituyendo valores, y teniendo en cuenta que r = 53 × 10 −^12 m , se tiene
= 8 2 × 108 = 36 × 10 47 ≈ 2_._ 3 × 1039 F
F. N ; F. N ; F
G e - G - e
1.2. Tres càrregues q , q , -q ( q > 0 ) estan sobre els vèrtexs d’un triangle equilàter de costat a****. Determini la força que actua sobre cada càrrega. Faci un esquema representatiu. En las figuras se presentan los esquemas del sistema de cargas y de los campos que crean cada una de las cargas sobre las otras. Dado que el valor absoluto de las tres cargas es el mismo y que la distancia entre ellas también, el módulo del campo que crea cada una en la posición de las otras es el mismo y vale
𝐸𝑖𝑗 = (^) 4𝜋𝜀𝑞 0 𝑎 2 (𝑖, 𝑗 = 1,2,3 ; 𝑖 ≠ 𝑗)
Se observa que para las cargas positivas el módulo del campo resultante es el mismo 𝐸′ (^) + = 𝐸+ Por otra parte a partir del esquema vemos que el módulo del campo coincide con el módulo del campo creado por una de las cargas, es decir: 𝐸+ =
(Otra forma de ver este resultado es descomponer los campos en componentes y sumar. Por ejemplo considerando la carga (1) se tiene:
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(1 − cos 60𝑜) =
4 𝜋𝜀 0 𝑎 2 �^1 −^
2 �^ =
4 𝜋𝜀 0 𝑎 2 sin 60
𝑜 = √^3
El módulo será:
𝐸+ = �𝐸+ (^) 𝑥^2 + 𝐸+ (^) 𝑦^2 =
El campo en la carga negativa, carga (3), tiene únicamente componente vertical (y) y valdrá
𝐸− =
4 𝜋𝜀 0 𝑎 2 2 sin 60
𝑜 = √^3 𝑞
El módulo de la fuerza sobre una de las cargas positivas será:
𝐹+ = 𝑞 𝐸+ =
y sobre la carga negativa
𝐹− = |−𝑞|𝐸− = √
En la figura se presenta un esquema de las fuerzas sobre las cargas.
1.3. Quatre càrregues q , -q , q , -q ( q > 0 ) estan col·locades seguint aquest ordre sobre els vèrtexs consecutius d’un quadrat de costat a****. (a) Determini el camp elèctric al centre del quadrat i el que actua sobre cada càrrega. (b) Id. id. si es permuten dues càrregues consecutives. Faci en cada cas un esquema que indiqui la direcció i sentit del camp.
a) En la figura se presenta un esquema del campo que crea cada una de las cargas en el centro. Se observa que el campo total será nulo. 𝐸 = 0 En el caso de uno de los vértices, es decir en la posición de cada una de las cargas, los campos tendrán la forma indicada en la siguiente figura. El módulo del campo será
�𝐸�⃗ � = �𝐸�⃗^ 1+3 � − �𝐸�⃗^2 � = �𝐸 12 + 𝐸 32 − 𝐸 2
donde
𝐸 1 = 𝐸 3 =
4 𝜋𝜀 0 𝑎 2 ;^ 𝐸^2 =^
A partir de estos valores se obtiene:
𝐸 = �2√2−1�𝑞8𝜋𝜀 0 𝑎 2
b) Si se permutan dos cargas consecutivas (por ejemplo la 3 y la 4 en los esquemas anteriores) se tendrá la situación indicada en las figuras.
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Cada elemento de longitud d ≡ dy tendrá un
simétrico respecto a la mediatriz. Al sumar los campos debidos a cada par de estos elementos el campo resultante sólo tendrá componente según la dirección perpendicular al hilo (en este caso según x ). Por lo tanto para cada elemento d ≡ dy consideraremos únicamente
su componente según la dirección x (las componentes según la dirección y se cancelarán al sumar para todo el hilo) y será
cos α r
λ dy πε dE (^) x (^) 2 (^40)
=^1
Si llamamos α 0 al ángulo subtendido por el extremo del hilo desde el punto donde
calculamos el campo, para obtener el campo total tenemos que integrar entre − α 0 y α 0.
El campo será
−
0
0
α
α
x (^) r cosα
λ dy πε
E
Al variar el elemento de longitud d ≡ dy (y por lo tanto el ángulo α ) r y dy también
varían. Vamos a relacionar estas magnitudes con el ángulo α. Así tendremos las
siguientes relaciones
cos r a r cos = a ⇒ =
α α d
cos
y atan dy a a tan y = ⇒ = ⇒ = 2
Substituyendo en la expresión del campo se tiene
( ) (^0) 0 0 0 0
0 0 2
2
2 0
0
0
0
0
0
sen α πε a sen α sen( α ) λ πε a
λ
sen α πε a cosα dα λ πε a cosα λ cos α
a
dα cos α λ a πε E αα
α
α
α
α
x
− −
O lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que
(^02) 2
L a
L
sen
2 (^40 )
L
a L a
E Ex
b) En el caso de que el hilo sea indefinido, 1 0 2 0 α =^ π ⇒ sen α = , y se tendrá
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2 0 a
E
Si hacemos un cambio de notación y a la distancia a desde el punto al hilo, le llamamos r (la distancia r de las coordenadas cilíndricas), y si tenemos en cuenta que la dirección del campo es perpendicular al hilo y coincide con la dirección radial de las coordenadas cilíndricas a^ r^. El campo se podrá escribir como
r 0
a 2
r
E
πε = λ
c) Cuando la longitud del hilo tiende a cero se tendrá
4
L
E πε 0 a 2
1.5. Calculi el camp elèctric creat per un pla indefinit carregat amb una densitat σ uniforme.
La simetría de la distribución de carga (ver Figura) nos indica que el campo eléctrico sólo tendrá componente en la dirección z y su módulo sólo dependerá de la distancia z al plano. Es decir
z 0
z 0 =− <
z
z E E(z)a
E E(z)a
Podemos aplicar el Teorema de Gauss a una superficie cerrada tal como la indicada en la figura y tendremos
0 0
ε E S E S σ S ε E dS^ Qi S
∫ ⋅ = ⇒ + +^ =
De donde
E = σ
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E dS E.dS E dS E.S E. 4 π r^2 S S S
∫ ⋅^ =∫ = ∫ =^ =
La carga interior en este caso será nula y por lo tanto
E. 4 π r^2 = 0 ⇒ E = 0 Es decir, para puntos interiores
E = 0
Aplicando de nuevo el Teorema de Gauss ahora a una superficie esférica de radio r > a (ver Figura) se tiene.
Puntos exteriores ( r > a )
Flujo: E dS E.dS E dS E.S E. 4 π r^2 S S S
∫ ⋅^ =∫ = ∫ =^ =
Carga interior: Q
De donde (^2) 0 0
2 4
π r
E^ Q
ε
E dS E. π r^ Q
S^ ε
El vector campo eléctrico será
π r a^ r
E Q
Si hacemos la representación gráfica del campo en función de la distancia observamos que el campo presenta una discontinuidad en r = a. Este comportamiento es general cuando se atraviesa una superficie cargada. Vemos que la discontinuidad vale
4 0 2 ε 0
σ πε
a
Q
Caso b): Esfera de radio a cargada con carga Q distribuida uniformemente en su volumen. El procedimiento es análogo al del caso anterior. Puntos interiores ( r < a )
Flujo:
E dS E.dS E dS E.S E. 4 π r^2 S S S
∫ ⋅^ =∫ = ∫ =^ =
Carga interior dividida por ε 0 : en este caso tendremos
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3 0 0 0 0 3
(^1 11) ρ (^4) π r ε ρ dv ε ρ dv ε ε
Q
vi vi
i
De donde
3 0 3 ε 0 a ρ^ r ε E ρ r r
^
En términos de la carga total de la distribución,
v πa
Q ρ dv ρ π a ρ^ Q 3
3 4
(^4) , se tendrá
πεa a^ r E Q r = 4 0 3
Ahora de forma análoga
Puntos exteriores ( r > a )
Flujo:
E dS E.dS E dS E.S E. 4 π r^2 S S S
∫ ⋅^ =∫ = ∫ =^ =
Carga interior: Q De donde
2 (^00)
2 4
πεr
E^ Q
ε E dS E. π r^ Q S
∫ ⋅ = = ⇒^ =
El vector campo eléctrico será
πεr a^ r
E Q
Si hacemos de nuevo la representación gráfica del campo en función de la distancia observamos que en este caso el campo es continuo. Ahora no hay superficies cargadas.
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1.8. A l'atmosfera el camp elèctric és aproximadament vertical i dirigit cap a la terra. Si sobre la superfície val 200 N/C i a 1400 m val 20 N/C , quina és la densitat mitjana de càrrega per sota dels 1400 m?
Aunque La Tierra es esférica puesto que la distaría, h = 1400 m , que consideramos es mucho menor que el radio terrestre ( RT = 6370 km ), podemos tratar el problema como un caso de simetría plana. Apliquemos el Teorema de Gauss a una superficie como la indicada en la Figura. Tendremos:
ρ A h ε
EA E A
0
1 2
− =^1
La densidad de carga será
h
ρ ε E^1 E^2 0
=^ −
Substituyendo valores
3 3
m
, pC m
ρ = , × -^ C =
1.9. Dues càrregues puntuals –q , q ( q > 0 ) es troben en els punts de coordenades ( -a/2, 0 ) i ( a/2, 0 ) sent a > 0****. Determini (a) el camp elèctric que creen en un punt de l’eix y positiu, i (b) consideri el cas en què y >> a.
(a) El campo eléctrico en el punto ( 0,y ) será la suma de los campos debidos a cada una de las cargas. En la figura se indica la situación. Se observa que el campo eléctrico total tiene la dirección del eje x y el sentido negativo. El módulo del campo total será:
E = E 1 sinα + E 2 sinα = 2 E 1 sin α
donde
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2
(^222) 0
1 2
2
4 a y
a :sin a y
E E q ^ +
Substituyendo en la expresión del campo se tiene:
a x a y
E qa (^32) 2 2 (^4 0 2)
(b) En el caso y >> a se tendrá
2 2
2 2
a (^) + y ≈ y
y el campo será:
y a^ x
E qa
