¡Descarga Introducción a las matemáticas: Aplicaciones de la derivada y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Introducció a les matemàtiques
APLICACIONS DE LA DERIVADA
- Calculeu les equacions de les rectes tangents a les funcions següents en el punt = 3 : (a) () = ^2 + 1 (b) () = ^4 − 3 (c) () = ^2 −^1
(d) () = ln (2) (e) () =
^2 + 6 (f) () = (2 − 7)^2
- Estudieu el creixement, decreixement i òptims de les funcions següents: () = ^2 + (^2) () = (^) (^4 −−2)^122 () =
2 − 2 ()^ ^ =^
^3 (1+)^2
() = (^) ^2 − 2 () = · ^ () = + (^) ^12 () = · ln
- Una empresa vol llançar un nou producte al mercat i per aquest motiu ha efectuat un estudi de la seva demanda, obtenint que la funció de demanda és:
= 3000 −
on representa el nombre d’unitats venudes i el seu preu de venda. L’esmentada empresa té uns costos fixos de 200.000 u.m. i uns costos variables de 60 u.m. per cada unitat del producte venuda. Es demana:
(a) Determineu les funcions d’ingressos totals i de beneficis d’aquest producte. (b) Calculeu el nivell de producció que maximitza el benefici anterior.
4*. Una empresa de rajoles i mosaics fabrica peces quadrades de diferents mides, a gust del client. Sabem que cada peça té un cost fix de 693 u.m. i un cost variable que és tres cops la superfície en cm^2 de la peça desitjada. L’empresa té per costum vendre cada peça en funció del seu perímetre (suma de les longituds dels costats), essent el preu de venda de 60 u.m. per cm. Es demana.
(a) Calculeu les mides de la peça que maximitzen el benefici unitari. (b) Calculeu, si existeixen, quines no haurien de fabricar-se mai ja que generen pèr- dues.
5*. La funció d’utilitat per a dos productes és ( ) = ^4 , on representen el nombre d’unitats consumides, respectivament, del primer i segon producte. El cost unitari de cada producte és, respectivament, de 200 u.m. i 500 u.m. Si es disposa de 5.000 u.m. a consumir totalment entre aquests dos productes, com s’hauria de distribuir aquestes 5.000 u.m. per a obtenir el màxim d’utilitat?
6*. Una companyia d’autobusos lloga un autobús de 60 places a grups de 30 o més per- sones. Si un grup conté exactament 30 persones, cada persona paga 60 . En grups més grans, la tarifa de tots es redueix en un euro per cada persona que sobrepassi de les 30. Determineu la dimensió del grup que maximitza els ingressos del lloguer de l’autobús.
7*. Una empresa fabrica un producte que ven a un preu unitari de 70 u.m. En el procés de fabricació té les següents despeses:
- Despeses de lloguer: 500 u.m./dia.
- Despeses de matèries primeres: 20+
u.m. per unitat produïda (on representa el nombre d’unitats diàries produïdes).
Es demana:
(a) Obteniu les funcions de costos totals, d’ingressos totals i de beneficis diaris. (b) Determineu el nombre d’unitats que caldria fabricar per a obtenir el màxim benefici. Quin és el benefici òptim diari?
8*. Un fabricant ha estat venen components electrònics a 6 la unitat, a aquest preu, els consumidors han estat comprant diàriament 6.000 components elèctrics. El fabricant desitjaria elevar el preu i estima que cada euro d’increment en el preu unitari produirà una baixada de vendes de 1.000 unitats. El fabricant pot produir el components electrònics a un cost unitari de 4. Calculeu a quin preu ha de vendre el fabricant els components electrònics per a generar el màxim benefici possible.
9*. Un productor de taronges de València té plantats en un camp 60 taronges amb una producció mitja per arbre de 400 kg. S’estima que per cada arbre addicional que planti en aquest camp la producció mitja per arbre decreixerà en 4 kg. Calculeu el nombre d’arbres que s’haurien de plantar per a maximitzar la producció total.
10*. Una firma de plàstics ha rebut una comanda d’un ajuntament per fabricar 8. planxes de polietilè pel seu programa de natació de l’estiu. La firma posseeix 10 màquines idèntiques, que per produir aquestes planxes ha d’adaptar a un cost de 20 per màquina. Una vegada adaptades les màquines, l’operació de producció és totalment automàtica i només ha de ser supervisada per un operari que cobra 4,80 per hora. Es demana:
(a) Quantes màquines s’han d’adaptar i utilitzar per minimitzar els costos de pro- ducció si cada màquina pot produir 30 planxes per hora? (b) Quan guanyarà l’operari que supervisarà la producció de la comanda si s’utilitzen el nombre òptim de màquines? (c) Quin serà el cost total d’adaptació del nombre òptim de màquines?
11*. Si s’estima que el cost de construcció d’un edifici d’oficines que té plantes d’altura és de () = 2^2 + 500 + 600 milers d’euros. Quantes plantes ha de tenir l’edifici per minimitzar el cost mig per planta? (Recordeu que la resposta ha de ser un nombre natural).
18*. Un importador de cafè estima que els consumidors locals compraran aproximadament () = 4 ^3742 quilos de cafè per setmana quan el preu sigui de euros per quilo. Si s’estima que dintre de setmanes, el preu del cafè serà de () = 0 02 ^2 + 0 1 + 6 euros el quilo. A quin ritme estarà canviant la demanda de cafè d’aquí a 10 setmanes?. La demanda estarà creixent o decreixent?
SOLUCIONS
() = ^5 (2 − 5) () = 3 + ln(6) − 1 () = 3 √+6 15 ( ) = − 4 + 13
- (a) Decreixent: ]−∞ 0[ ∪ ]0 1[ Creixent: ]1 +∞[ Mínim en = 1 (b) Decreixent: ]−∞ 2[ ∪ ]4 +∞[ Creixent: ]2 4[ Màxim en = 4 (c) Decreixent: ]0 2[ ∪ ]2 4[ Creixent: ]−∞ 0[ ∪ ]4 +∞[ Mínim en = 4 Màxim en = 0 (d) Decreixent: ]− 3 −1[ Creixent: ]−∞ −3[ ∪ ]− 1 +∞[ Màxim en = − 3 (e) Decreixent: ]−∞ 2[ ∪ ]2 +∞[ No té òptims. (f) Decreixent: ]−∞ −1[ Creixent: ]− 1 +∞[ Mínim en = − 1 (g) Decreixent:
Creixent: ]−∞ 0[ ∪
Mínim en = 3
(h) Decreixent:
0 −^1
Creixent:
−^1 +∞
Mínim en = −^1
- (a) La funció d’ingressos és: () = 3000 −
^2
. La funció de beneficis és: () =
3000 −
^2
(b) El nivell de producció que maximitza el benefici és: = 2940
- (a) Les mides de la peça que maximitzen el benefici unitari són de 40 × 40 cms. (b) Les peces de costat menor a 3 cm. i superior a 77 cm. generen pèrdues.
- ( = 20 = 2) maximitza l’utilitat.
- Grup de 45 persones maximitza els ingressos.
- (a) costos totals: () =
^2
- 20 + 500, ingressos totals: () = 70 i beneficis
diaris: () =
−^2
(b) El nombre d’unitats que caldria fabricar per a obtenir el màxim benefici és =
El benefici òptim diari és (100) = 2000 u.m.
Preu unitari de 8.
80 arbres.
(a) S’han d’adaptar 8 màquines.
(b) Cost total operari de 160 . (c) Cost total d’adaptació de les màquines de 160.
- Edifici de 17 plantes.
