Formaci´o B`asica dels Graus en
Finances i Comptabilitat
Administraci´o i Direcci´o d’Empreses
Economia
Matem`atiques II
Curs 2012-2013
Aurelio Fern´andez
Francesc Llerena
Norberto M´arquez
Ll´ucia Mauri
Jessica Tomas
Cori Vilella
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Anàlisi dels Estats Comptables, Profesor: Ramon Burrut, Carrera: Economia, Universidad: URV
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 24
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga exersicn qv y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity!
Formaci´o B`asica dels Graus en
Finances i Comptabilitat
Administraci´o i Direcci´o d’Empreses
Economia
Matem`atiques II
Curs 2012-
Aurelio Fern´andez Francesc Llerena Norberto M´arquez Ll´ucia Mauri Jessica Tomas Cori Vilella
Programa i Bibliografia
Tema 1: Formes quadr`atiques
1.1 Formes quadratiques i matriu associada. 1.2 Classificaci´o de formes quadratiques.
Tema 2: Funcions de v`aries variables
2.1 Continu¨ıtat de funcions. 2.2 C`alcul de derivades parcials. 2.3 Elasticitat parcial.
Tema 3: Optimitzaci´o sense restriccions
3.1 Descripci´o del problema. 3.2 Condicions d’optimalitat.
Tema 4: Optimitzaci´o amb restriccions d’igualtat
4.1 Descripci´o del problema. 4.2 Condicions d’optimalitat. 4.3 An`alisi de sensibilitat.
Tema 5: Optimitzaci´o lineal amb restriccions de desigualtat
5.1 Descripci´o del problema. 5.2 Metode grafic. 5.3 L’algoritme s´ımplex. 5.4 An`alisi de sensibilitat.
Tema 6: Successions i s`eries de n´umeros reals
6.1 Successions de n´umeros reals. 6.2 Series de n´umeros reals. 6.3 Serie geom`etrica.
Programa i Bibliografia
L’avaluaci´o continuada consta de les proves seg¨uents:
- 4 Proves objectives de preguntes curtes sobre exercicis de l’aula. Es valoren les 3 millors proves, cadascuna amb un pes del 10 % (30 % de la nota final).
- 1 Prova pr
actica al final del quadrimestre, sobre el total del contingut de l’assignatura, amb un pes del 70 % de la nota final. La segona convocatoria consisteix en un ´unic examen final sobre el total del contingut de l’assignatura (100 % de la qualificaci´o final). Per poder assistir a les diferents proves cada estudiant ha de portar el DNI.
Tema 1. Formes quadratiques. Resum teoric
Algunes propietats de les matrius sim`etriques
El polinomi caracter´ıstic d’una matriu sim`etrica A d’ordre n ´es un po- linomi de grau n; a m´es a m´es, la matriu A t´e exactament n valors propis reals, comptant la multiplicitat.
Metodes per determinar el signe d’una forma quadratica:
Sigui A ∈ Mn la matriu associada a una forma quadratica q (A simetrica) 1.- Utilitzant els valors propis de A:
a) q ´es definida positiva ⇔ αj > 0 ∀j. b) q ´es definida negativa ⇔ αj < 0 ∀j. c) q ´es semidefinida positiva ⇔ αj ≥ 0 ∀j, αk = 0 per alg´un k. d) q ´es semidefinida negativa ⇔ αj ≤ 0 ∀j, αk = 0 per alg´un k. e) q ´es indefinida ⇔ ∃αj > 0 i αk < 0.
2.- Utilitzant els menors principals: Anomenem |Aj | al menor principal d’ordre j de la matriu A, ´es a dir, el determinant de la submatriu que s’obt´e de les j primeres files i les j primeres columnes de la matriu A.
a) q ´es definida positiva ⇔ |Aj | > 0 ∀j = 1,... , n.
b) q ´es definida negativa ⇔
|Aj | > 0 si j ´es parella |Aj | < 0 si j ´es senar
c) q ´es semidefinida positiva ⇒
|A| = 0,
|Aj | ≥ 0 ∀j = 1,... , n − 1
d) q ´es semidefinida negativa ⇒
|A| = 0
|Aj | ≥ 0 si j ´es parella |Aj | ≤ 0 si j ´es senar e) Si |A| = 0 i ∀j < n |Aj | > 0 llavors q ´es semidefinida positiva.
f) Si |A| = 0 i ∀j < n
|Aj | > 0 si j ´es parella |Aj | < 0 si j ´es senar
⇒ q ´es semidefinida
negativa. g) En la resta de casos, utilitzarem el criteri de classificaci´o per valors propis ja que aquest segon criteri no decideix. Tamb´e utilitzarem el criteri dels valors propis quan n’hi hagi m´es d’un menor principal igual a 0.
Tema 1. Formes quadr`atiques. Exercicis
5.- Considereu la forma quadr`atica amb matriu associada A =
a) Doneu l’expressi´o polinomica associada a aquesta forma quadratica.
b) Calculeu els valors propis de la forma quadr`atica.
c) Classifiqueu-la.
6.- Considereu la forma quadr`atica amb matriu associada A =
a) Doneu l’expressi´o polinomica de la forma quadratica.
b) Calculeu els seus valors propis.
c) Classifiqueu la forma quadr`atica.
7.- De les quatre afirmacions, nom´es una ´es certa i les altres s´on falses.
Sigui A una matriu quadrada d’ordre n que verifica A = At. Llavors,
a) detA 6 = 0.
b) A no ´es la matriu associada a una forma quadr`atica.
c) Tots els valors propis de A s´on reals.
d) A no ´es sim`etrica.
Tema 2: Funcions de v`aries variables
8.- Determineu el domini de les funcions seg¨uents:
a) f (x, y) =
1 − x^2 − y^2
b) f (x, y) =
ln(y − x^2 ).
9.- Estudieu les corbes de nivell de les funcions seg¨uents:
a) f (x, y) = 3x + 2y.
b) f (x, y) = (x − 1)^2 + (y + 2)^2.
10.- Calculeu els l´ımits seg¨uents:
a) l´ım (x,y)→(1,0)
xy^2 − y^2 + x − 1 x − 1
b) l´ım (x,y)→(0,0)
x^2 y^2 x^4 + y^4
11.- Estudieu la continu¨ıtat de les funcions
a) f (x, y) =
x^3 + 2xy^2 x^2 + y^2 si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
b) f (x, y) =
4 x^3 x^2 + y^2
si(x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
12.- Calculeu el vector gradient i la matriu hessiana de les funcions seg¨uents als punts indicats:
a) f (x, y) = x^2 − y^2 + 6xy − 2 x + 4y + 3 en (1, −1).
b) f (x, y) = x^4 − y^2 + 2xy en (− 2 , 3).
c) f (x, y) = x
(^2) −y 2 x^2 +y^2 en (1,^ 1). d) f (x, y) = (x − y) ln(xy) en (2, 1 /2).
Tema 3: Optimitzaci´o sense restriccions
20.- Trobeu els `optims de:
a) f (x, y) = x^3 + x^2 y + y^2 + 2y + 1 b) f (x, y) = y^4 + 4x^2 − 4 xy c) f (x, y) = x + y + xy − 2 ln x − 2 ln y d) f (x, y) = 3xy − (x^3 + y^3 ) e) f (x, y) = x^3 + 3xy^2 − 15 x − 12 y f) f (x, y) = xyex+2y g) f (x, y) = 4x^2 − 3 xy + 9y^2 + 5x + 15y + 16
21.- Una empresa produeix dos tipus de calculadores, essent x i y les unitats produ¨ıdes de cada tipus en un any (en milers). Les funcions de costos i ingressos per any s´on (en milions), C(x, y) = x^2 − 2 xy + 2y^2 + 6x − 9 y + 5 i I(x, y) = 2x + 3y, respectivament. Quantes calculadores de cada tipus s’han de produir per any per a obtenir un benefici m`axim? Quin ´es aquest benefici?
22.- Una empresa produeix tres bens de preus de mercat 16, 12 i 20 unitats monet`aries respectivament. La seva funci´o de costos ´es: C(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xz + 25, on x, y, z representen les quantitats produ¨ıdes de cadascun dels tres bens. Obtingueu els valors de x, y, z que maximitzen el benefici de l’empresa.
23.- Una empresa produeix dos bens en competencia perfecta, els preus dels quals s´on p 1 = 42 i p 2 = 51. La funci´o de costos ´es C(q 1 , q 2 ) = 1′ 5 q^21 + 3q 1 q 2 + 2q 22 + 34′5, on q 1 i q 2 s´on les quantitats produ¨ıdes d’aquests bens. Calculeu els nivels de producci´o que proporcionen el benefici maxim.
24.- La funci´o de beneficis mensuals de l’empresa BLA, dedicada a la fabricaci´o i comercialitzaci´o de telefons mobils, ´es: B(x, y, z) = 6xz + 18y + yz − 3 x^2 z − y^2 − z^2 (en milers d’euros), on x, y, z s´on milers de telefons produits mensualment dels models BLAline, BLAstar i BLAstel, respectivament. Determineu el nombre de telefons de cada model que s’han de produir mensualment per tal de maximitzar el benefici.
Tema 4: Optimitzaci´o amb restriccions d’igualtat
25.- Determineu els `optims dels problemes seg¨uents:
a) f (x, y) = x + y s.a. x^2 + y^2 = 1
b) f (x, y) = 6 − 4 x − 3 y s.a. x^2 + y^2 = 1
c) f (x, y, z, v, w) = x^2 +y^2 +z^2 +v^2 +w^2 s.a. {x+y+z = 1 , v+w = 2}
d) f (x, y, z) = xy + xz + yz s.a. {x + y + z = 6 , x − y = 1}
e) f (x, y, z) = x + y + z s.a. {xy + xz + yz = 75}
26.- Un taller utilitza en la seva producci´o tres tipus d’inputs amb quantitats x , y i z. S’estima que la funci´o de costos ve donada per
f (x, y, z) = x^2 + y^2 + zx
i que la tecnologia aplicada implica la utilitzaci´o d’aquests inputs en la quantitat total de 25 unitats f´ısiques. A m´es s’ha de complir la relaci´o:
2 x − 3 z = 10
Quines quantitats de cada input s’utilitzaran per minimitzar el cost?
27.- Una empresa ha de transportar tres tipus de mat`eria primera x, y i z. El cost de transport ve determinat per la funci´o
CT = x^2 + y^2 + z^2
Cadascuna de les materies primeres ´es dins d’un recipient, amb un volum mitja de 2, 1 i 7 metres c´ubics, respectivament. El volum total de la carrega ha de ser de 20 metres c´ubics. Determineu la compraoptima per tal de minimitzar el cost de transport. Que passa amb el cost m´ınim si s’incrementa el volum total de la carrega en 1’5 metres c´ubics m´es?
28.- Disposem de 1536 euros per construir un contenidor. Els costos de cons- trucci´o per metre quadrat s´on 5 euros pel sol, 4 euros per cada paret i 3 euros pel sostre. Determineu les dimensions per tal que el volum sigui maxim.
29.- Volem construir un contenidor de 125 m^3 de volum. Els costos de fabrica- ci´o per metre quadrat s´on 5 euros pel s`ol, 4 euros per cada paret i 3 euros pel sostre. Determineu les dimensions del contenidor per tal que el cost total sigui m´ınim.
Tema 5: L’algoritme del s´ımplex
CONCEPTES PREVIS
Anomenem problema lineal (PL) al problema seg¨uent:
Optimitzar Z = CtX funci´o objectiu
AX ≤ b restriccions X ≥ 0 no negativitat
Definicions: Anomenem soluci´o possible a un punt X no negatiu que satisf`a les restriccions AX ≤ b. El conjunt de totes les solucions possibles s’anomena conjunt factible o regi´o de solucions possibles; ´es el conjunt de tots els punts que satisfan les restriccions i les condicions de no negativitat, i ho representem F = {X tal que AX ≤ b i X ≥ 0 }
Definici´o: Conjunt convex S ´es aquell conjunt que donats dos punts qualsevols x 1 , x 2 ∈ S, el punt λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ S on 0 ≤ λ ≤ 1; ´es a dir, tot el segment que uneix els punts x 1 i x 2 pertany al conjunt S.
Definici´o: Punts extrems o v`ertexs s´on els punts x ∈ S que no poden expressar-se en la forma x = λx 1 + (1 − λ)x 2 , on x 1 , x 2 ∈ S i 0 < λ < 1.
Definici´o: Soluci´o optima ´es un punt possible x ∈ F que fa que el valor de la funci´o objectiu Z = CtX sigui m´es gran (cas de maximitzaci´o) que amb qualsevol altra soluci´o possible. Cas de minimitzaci´o, el valor ha de ser m´es petit que amb qualsevol altra soluci´o possible. Es important no´ confondre els conceptes de soluci´o possible (un punt del conjunt factible) i soluci´o possibleoptima (el millor de tots els punts factibles).
Propietats dels problemes lineals:
- El conjunt de solucions possibles d’un model de programaci´o lineal ´es convex.
- La funci´o objectiu ´es cont´ınua i amb totes les seves derivades parcials de tots els ordres cont´ınues. A m´es a m´es, ´es una funci´o c`oncava i convexa alhora.
- Es verifica que els
optims d’un PL sempre s´on globals, tant en els problemes de maximitzaci´o com de minimitzaci´o. A m´es a m´es, el conjunt de solucionsoptimes ´es un conjunt convex. - Les condicions necess`aries d’optimalitat tamb´e s´on suficients.
Tema 5: L’algoritme del s´ımplex
RESOLUCI ´O MATEM `ATICA
L’algoritme s’estructura en tres fases: 1- FASE D’INICIACI O: Transformem el problema donat en la forma est´ andar/ampliada. 2- FASE D’ITERACI O: Millorem les solucions possibles.´ 3- FASE DE DETENCI O: Quan s’ha arribat a la soluci´´ ooptima.
1- FASE D’INICIACI ´O:
El problema a resoldre ´es el seg¨uent: optimitzar z = f (x) s.a: g(x) ≤ b x ∈ Rn, x ≥ 0 1.- Expressar el problema com un problema de maximitzaci´o. Si el problema inicial ´es per minimitzar el que farem ´es maximitzar l’oposat.
min z = f (x) ⇐⇒ max − z = −f (x)
2.- El terme independent de cada restricci´o bi ha de ser positiu. En cas que sigui negatiu, multipliquem la restricci´o per −1.
g(x) ≤ −b ⇐⇒ −g(x) ≥ b
g(x) ≥ −b ⇐⇒ −g(x) ≤ b
3.- Convertir les restriccions de desigualtat en igualtat, afegint les va- riables de separaci´o o addicionals (folgances). Aquestes, sem- pre positives, s’afegiran sumant o restant segons sigui la restricci´o ≤ ´o ≥ respectivament. Tamb´e cal tenir en compte que aquestes folgances s’afegiran a la funci´o objectiu amb coeficient 0, ´es a dir, no apareixeran a la funci´o objectiu. 4.- Les variables negatives (xi ≤ 0) es substituiran de la forma seg¨uent: xi = −x′ i on x′ i ≥ 0. 5.- Les variables que no tinguin restricci´o de signe es substituiran de la forma seg¨uent: xi = x′ i − x′′ i on x′ i, x′′ i ≥ 0 6.- Un cop escrit el programa en forma estandar, seguint els apartats anteriors, es busca a les restriccions una base canonica de Rm^ (on m ´es el nombre de restriccions). Normalment aquesta base vindra dona- da per les variables addicionals. Si no tenim aquesta base canonica, s’afegiran unes noves variables, variables artificials, sumant-les a la restricci´o necessaria per tal d’obtenir la base canonica. Aquestes va- riables s’inclouen a la funci´o objectiu amb coeficient −w, on w > 0 i arbitrariament gran per tal que no afecti al maxim.
Tema 5: L’algoritme del s´ımplex
2.- FASE D’ITERACI ´O:
1- Determinem la variable no basica que entra i es fa basica.
- Es busca el menor nombre negatiu de l’´ultima fila.
- Si n’hi ha dos d’iguals en principi qualsevol va b´e.
- Aix
o ens selecciona una columna de la taula del s´ımplex, la de la variable no basica que passara a ser basica, columna k.
2- Determinem la variable basica que surt i es fa no basica.
- Considerem sols els coeficients positius de la columna selecciona- da aik > 0 on i = 1... m
- Calculem els quocients (^) abiki
- El menor d’aquests quocients ens d´ona la fila h que ens indica la variable que sortir`a de la base.
L’element ahk corresponent a la fila i a la columna escollides s’anomena pivot. Fixem-nos que, triant d’aquesta manera, el pivot mai sera negatiu ni zero. 3- A la columna de la nova variable basica ha d’apareixer el vector de la base canonica de la variable que surt. Per aix`o el pivot l’hem de convertir en 1 dividint tota la fila per ahk i despr´es fer zeros tots els elements de la columna sumant o restant la nova fila del pivot multiplicada pel nombre que calgui a la resta de files. 4- Finalment modifiquem l’´ultima fila.
3.- FASE DE DETENCI ´O: Quan tots els elements de l’´ultima fila (sense tenir en compte la co- lumna b) siguin no negatius (zi − ci ≥ 0) o quan algun element de l’´ultima fila sigui negatiu (zk − ck < 0) i la resta de valors de la seva columna siguin negatius o zero (ajk ≤ 0).
INTERPRETACI ´O DE LA TAULA S´IMPLEX
- Les variables no b`asiques prenen el valor zero.
- Les variables b`asiques prenen el valor corresponent de la columna b.
- El valor de la funci´o objectiu en el punt representat per la taula es troba en l’´ultima casella de la columna b (valor z).
Tema 5: L’algoritme del s´ımplex
TIPOLOGIA DE SOLUCIONS
1.- Inexistencia de soluci´o factible: Ens trobem en aquest cas quan a l’acabar les iteracions hi ha alguna variable artificial basica, ´es a dir, amb valor positiu. Gr`aficament veur´ıem que la regi´o admissible ´es buida (no n’hi ha cap punt que verifiqui totes les restriccions alhora). Per exemple, l’exercici 33 .a.
2.- Inexistencia de soluci´ooptima (soluci´o no limitada): Aquesta situaci´o es presenta quan, donada una soluci´o basica possible (sense cap variable artificial basica), per alguna columna associada a una variable no basica (amb zj − cj < 0) tots els aij ≤ 0. L’exercici 33.b ´es un d’aquests casos: malgrat que n’hi ha punts que verifiquen totes les restriccions (la regi´o factible no ´es buida), no podem trobar unoptim de la funci´o objectiu perque no esta fitada. Gr`aficament ens podem trobar aquesta situaci´o quan el conjunt factible ´es no limitat, tot i que cal tenir en compte que en algunes situacions el conjunt factible pot ser no limitat i que la soluci´o s´ı que sigui limitada (com per exemple, l’exercici 33.c).
3.- Soluci´o optima m´ultiple no fitada: Ens trobem en aquesta situa- ci´o quan tenim una taula amb tots els valors zj − cj ≥ 0 i a m´es a m´es alguna variable no basica t´e associat un valor de zk − ck = 0 i tots els va- lors de la seva columna s´on negatius o zero (aik ≤ 0). L’exerici 33.d ´es un d’aquests casos. Graficament, ens podriem moure al llarg d’una aresta del conjunt factible sense alterar el valor de l’objectiu i sense arribar a cap altre vertex. S´on optims el vertex representat per la taula actual i tots els punts de l’aresta.
4.- Soluci´o optima m´ultiple fitada: Aquest cas es presenta quan en l’´ultima taula s´ımplex una variable no basica t´e associat un valor zk − ck = 0 i en la seva columna hi ha algun valor aik > 0. A l’introduir aquesta variable xk en la base tindrem un altre vertexoptim (amb el mateix valor objectiu). Tamb´e seran optims tots els punts que siguin combinaci´o lineal convexa dels dos que hem trobat (tots els punts del segment que uneix els dosoptims). L’exercici 33.e ´es un d’aquests casos.
5.- Soluci´o optima ´unica: Quan no ´es cap dels casos anteriors, ´es a dir, quan acaben d’iterar no tenim cap variable basica artificial ni cap valor zj − cj < 0. A m´es a m´es, la quantitat de valors zj − cj = 0 coincideix amb el nombre de variables b`asiques (nombre de restriccions del PL). Recordeu que en cap cas ens podem trobar una taula amb un nombre de zj − cj = 0 inferior al nombre de restriccions. L’exercici 33.f ´es un d’aquests casos.
Tema 5: Optimitzaci´o lineal amb restriccions de desigualtat
d) M ax 6000 x 1 + 8000x 2 s.a. 2 x 2 ≤ x 1 + 800 3 x 1 + 2x 2 ≤ 2400 x 1 , x 2 ≥ 0
35.- L’empresa EPC fabrica dos tipus de telefons mobils: T-Truc i T-Call. Ambd´os productes necessiten ma d’obra d’electronica i de muntatge. Cada T-Truc necessita 4 hores de treball en electronica i 2 en muntatge. Cada T- Call, 3 i 1 hores respectivament. Actualment, es disposa de 240 hores en el departament d’electronica i de 100 al de muntatge. La producci´o s’organitza contemplant la restricci´o que el nombre de T-Calls com a molt ha de repre- sentar el 85 % de la producci´o total. Cada T-Truc suposa un benefici net de 8 euros i cada T-Call, 5 euros. Es desitja determinar la millor combina- ci´o d’ambd´os productes per tal de maximitzar el benefici total. Nota: malgrat que les variables prenen valors enters, considerarem que les variables prenen valors reals a fi i a efecte de poder aplicar l’algoritme s´ımplex. Es demana:
a) Calculeu tots els v`ertexs que delimiten la regi´o de solucions possibles. Calculeu el valor de la funci´o objectiu en cadasc´u d’ells.
b) Apliqueu el metode s´ımplex per trobar l’optim. Expliqueu de quin tipus ´es la soluci´o que heu obtingut.
c) Relacioneu les taules de l’apartat anterior amb els v`ertexs del primer apartat i comenteu els resultats.
36.- Un client d’un banc disposa de 30000 euros per adquirir fons d’inversi´o. El banc li ofereix dos tipus de fons, A i B. El del tipus A t´e una rendibilitat del 12 % i unes limitacions legals de 12000 euros d’inversi´o maxima. El de tipus B presenta una rendibilitat del 8 % sense cap limitaci´o. A m´es, per tal de diversificar el risc, el client vol invertir en el fons del tipus B, com a maxim, el doble de l’invertit en el del tipus A. Quines quantitats ha de col·locar en cada fons per tal de maximitzar els beneficis totals?
Tema 5: Optimitzaci´o lineal amb restriccions de desigualtat
37.- Una empresa disposa de 1000 tm del mineral A, 2000 tm del mineral B i 500 tm del mineral C. A partir d’aquests minerals s’elaboren els productes x 1 , x 2 , x 3. L’empresa desitja determinar la quantitat que ha de fabricar de cada producte, a partir dels minerals aprofitables, a fi i efecte d’obtenir el maxim de profit de l’operaci´o. Cal tenir en compte que per a elaborar una tona de producte x 1 es necessiten 5 tm de A, 10 de B i 10 tm de C. Cada tona del producte x 2 precisa 5 tm de A, 8 de B i 5 de C. Finalment, utilitzarem 10 tm de A, 5 de B i cap de C per cada tm de x 3. El fabricant obtindra 100 euros de benefici per tm del producte x 1 , 200 per tm de x 2 i 50 euros per tm de x 3. Determineu les quantitats a fabricar de cadascun dels productes per tal de maximitzar el benefici. De quin tipus ´es la soluci´o que heu obtingut?
38.- El fabricant de joguines TOYOT produeix dos tipus de joguines: soldadets i trens. Un soldadet es ven a 27 euros i un tren a 21 euros. La materia primera per fer un soldadet costa 10 euros i per fer un tren 9 euros. Cada soldadet fabricat repercuteix en 14 euros sobre els costos en concepte de ma d’obra i de costos generals. Pel cas dels trens aquesta repercussi´o ´es de 10 euros. En la factoria hi ha dues seccions: fusteria i acabats. Cada soldadet necessita 42 minuts de feina de fusteria i 105 minuts d’acabats. En canvi, cada tren necessita 90 minuts de fusteria i 75 minuts d’acabats. Ates el nombre de treballadors que hi ha contractats actualment en la fabrica, l’empresa TOYOT calcula que setmanalment disposa, com a molt, de 80 hores de fusteria i de 100 hores d’acabats. Actualment el mercat nom´es es capa¸c d’absorbir com a molt 40 soldadets cada setmana. TOYOT vol organitzar la seva producci´o per tal de maximitzar el benefici total.
39.- Un sastre t´e 80 m^2 de teixit de cot´o i 120 m^2 de teixit de llana. Un vestit d’home requereix 1 m^2 de cot´o i 3 m^2 de llana i un vestit de dona requereix 2 m^2 de cadascun dels teixits. Calculeu el nombre de vestits d’home i de dona que ha de confeccionar per maximitzar els ingressos si ambd´os vestits es venen al mateix preu de dues unitats monet`aries. Quin seria l’ingr´es si pogu´es disposar de 12 m^2 addicionals de cot´o? I si fossin 12 m^2 de llana?
40.- Un pag`es barreja moresc, farina de peix i pinso per crear una dieta per alimentar les seves aus. La dieta ha de contenir almenys, 3 u. de ferro i 4 u. de vitamines; cada Kg. de moresc d´ona 2, 5 u. de ferro i 1 u. de vitamines; cada Kg. de farina de peix, 3 de ferro i 3 de vitamines; i cada Kg. de pinso, 1 de ferro i 2 de vitamines. Els preus s´on de 20, 30 i 16 u.m. per Kg. respec- tivament. Quines quantitats de cada producte s’han de barrejar per a una dieta que minimitzi els costos? Quin ´es el cost marginal de cada unitat de vitamines? Quin ´es el cost mar- ginal de cada unitat de ferro?