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Aproximación Intuitiva del concepto de Límite.
El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y es imprescindible
para dar solución a problemas tales como:
calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.
hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado
de la misma.
determinar el área limitada por una curva.
Analizando el Límite de una funciones, estudiamos el comportamiento de una función 𝑓(𝑥) cuando
los valores de la variable independiente (en este caso x ) estén muy cerca de un número
especificado que llamaremos " 𝑎 ".
Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al
número 𝑎.
Como primer ejemplo, sugerimos una función sencilla como:
f : R R / 𝒇(𝒙) = 𝒙
𝟐
con 𝒂 =2,
es decir, los valores que le damos a x armando una tabla de valores, serán acercándonos al
número 2.
Por la izquierda Por la derecha
x f(x) x f(x)
Observemos su gráfica:
¿Qué se observa acerca de los valores de la función conforme 𝑥 se acerca al número 𝑎 por
la izquierda ( 𝑥 < 𝑎 ) y por la derecha ( 𝑥 > 𝑎 )?
¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (uno sólo)?
Si la respuesta es afirmativa decimos que ese número al que se acerca la función, llamémosle L ,
es el "Límite de f(x) cuando x tiende al número a"****. Si la respuesta es negativa, decimos que
el "Límite de f no existe cuando x tiende al número a".
Observación importante:
En ningún momento nos interesamos por el valor de f(x) cuando x=a , es decir, el
número f(a)****. Lo único que nos interesa son los valores de la función cuando x está "muy
cerca" de a pero x es diferente de a****.
Como habrán observado en el ejemplo anterior, el límite de la función si existe y es el siguiente:
El límite de f(x)= x
2
cuando x 2 es L = 4
Entonces, ¿qué es un Límite?
Es el valor al cual “se aproxima” una función cuando “x” tiende o se acerca
cada vez más a un valor determinado”
Observemos otro ejemplo:
Dada la función f : R R / f(x) x
2
3x , ¿cómo se comportan los valores de la función en las
proximidades de x 1? ¿Qué sucede con f(x) cuando x tiende a – 1?
Para responder a estas preguntas, se puede analizar qué valores toma la función en valores
próximos a 1 por derecha y por izquierda. Para ello, es conveniente la confección de una tabla
donde se calculan las imágenes de los valores de x considerados:
x 1,01 1,001 1,0001 ... 1 ... 0,9999 0,999 0,
f(x) 4,0501 4,005001 4,00050001 ... 4 ... 3,99950001 3 ,995001 3,
Puede observarse que cuando x se aproxima a 1 por valores menores que él, los valores de la
función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen valores de x que se aproximan
a 1 por valores mayores que él, la función se aproxima a 4. Los valores de la función están
próximos a 4 para valores de x suficientemente cercanos a 1.
Se observa que cuando x se acerca a x 1 por derecha o izquierda, los valores de la función se
aproximan a seis (tienden a 6).
Esto se expresa de la siguiente manera:
6 y se lee: " límite de la función f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 6 ".
La función no está definida en x , pero sin embargo, cuando x toma valores cada vez más
próximos a uno, tanto por izquierda como por derecha, el valor al que tiende la función es seis.
Entonces:
- El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y simbólicamente se
escribe: 6, se llama límite lateral por izquierda.
- El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la derecha y simbólicamente se
escribe: 6, se llama límite lateral por derecha.
- Como ambos límites laterales son iguales se expresa: 6
Notaciones
límite de una función
límite lateral por izquierda
límite lateral por derecha
Definición Intuitiva de Límite
Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende al número real "a" es igual al
número real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha, siendo x a,
resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L. Se escribe:
Lim f(x) = L
x a
Escanea el siguiente código QR para observar cómo debemos aproximarnos al valor a
Entonces, algo muy importante:
Una función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese punto.
Resumen. El límite de una función en un punto puede o no existir. Si existe, su valor es
independiente de lo que ocurre con la función en el punto. En las siguientes tablas se analizan
distintas situaciones:
la función no está definida en a, a D f
la función está definida en a, existe f(a).
la función está definida en a, existe f(a).
En estos tres ejemplos se observa que el límite de la
función f(x) cuando x tiende a "a" es el número L
independientemente del comportamiento de la
función en el punto.
x a
significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se
encuentran a su derecha.
lim
𝑥→𝑎
−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim
𝑥→𝑎
Se sugiere visualizar las imágenes que aparecen en la siguiente página:
https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-limite-funcion#lim-lat
El siguiente código QR te dirigirá a dicha página
Con la teoría propuesta, resuelve:
1) Calcula los siguientes límites.
a) lim
𝑥→ 2
b) lim
𝑥→ 0 , 5
2
c) lim
𝑥→− 3
2
d) lim
𝑥→ 1
3 𝑥− 4
𝑥
2
e) lim
𝑥→− 2
𝑥
f) lim
𝑥→ 0
g) lim
𝑥→ 10
h) lim
𝑥→− 4
2
i) lim
𝑥→− 5
2
𝑥
j) lim
𝑥→ √
2
2
−
límite valuado
por izquierda,
límite valuado por
derecha.
3) Grafica las funciones y completa las tablas:
a) 𝑓: ℝ − { 0 } → ℝ /𝑓(𝑥) =
1
𝑥
x - 0,1 - 0,01 - 0,001 0 0,001 0,01 0,
f(x)
lim
𝑥→ 0
1
𝑥
lim
𝑥→ 0
−
b) 𝑓: ℝ − { 0 } → ℝ /𝑓(𝑥) =
1
𝑥
2
f(x)
lim
𝑥→ 0
1
𝑥
2
lim
𝑥→ 0
−
2
Observe las funciones definidas gráficamente y calcule, si existen, los límites pedidos para cada una:
a) b) c)
Sea la función y f(x) definida por el siguiente gráfico:
Calcule:
a) b) c)
d)
e) f)
g)
h) i)
j)
k)
9) Para cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, el conjunto imagen y los límites.
a)
I. lim
𝑥→ 1
II. lim
𝑥→ 1
−
III. lim
𝑥→ 1
b)
I. lim
𝑥→− 1
−
II. lim
𝑥→− 1
III. lim
𝑥→− 1
c)
I. lim
𝑥→ 2
II. lim
𝑥→ 2
−
III. lim
𝑥→ 2
Calcula los límites de cada función en aquellos puntos que no pertenezcan a su dominio.
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥+ 2
𝑥
2
b) 𝑔
𝑥
𝑥− 4
c) ℎ
1
𝑥
2
− 1
Grafica en cada caso, una función que cumpla con las condiciones pedidas.
a)
𝐼𝑚 𝑓 = 𝑅 − { 0 }; lim
𝑥→− 2
lim
𝑥→− 2
𝑓(𝑥) = +∞; lim
𝑥→ 5
lim
𝑥→ 5
−
= −∞; lim
𝑥→+∞
= 0 ; lim
𝑥→−∞
; lim
𝑥→− 3
−
lim
𝑥→− 3
= −∞; lim
𝑥→ 0 , 5
lim
𝑥→ 0 , 5
−
𝑓(𝑥) = −∞; lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0 ; lim
𝑥→−∞
Es hora de practicar lo aprendido…
1) Halla los siguientes límites aplicando las propiedades correspondientes.
a) lim
𝑥→ 4
2 𝑥− 4
𝑥+ 2
b) lim
𝑥→− 1
2 𝑥+ 1
𝑥
2
− 3 𝑥+ 4
c) lim
𝑥→ 1
2 𝑥+ 1
𝑥+ 5
d) lim
𝑥→ 0
[(
1 + cos 𝑥
𝑥+ 4
]
e) lim
𝑥→ 2
[𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
𝑥+ 2
)]
Límites infinitos
Analicemos, a partir de su gráfica, la existencia de los límites.
si x 0
los valores de la función
crecen indefinidamente.
si x 0
los valores de la función
decrecen indefinidamente
si x 1
los valores de la función
decrecen indefinidamente.
si x 1
los valores de la función
crecen indefinidamente.
Las dos ramas de la curva se acercan cada
vez más al eje y a medida que x se aproxima
a cero.
Las dos ramas de la curva se acercan cada
vez más a la recta x 1 a medida que x se
aproxima a ese valor.
Para esta gráfica la recta x 0 es asíntota
vertical.
Para esta gráfica la recta x 1 es asíntota
vertical.
si x 0
los valores de la función
crecen indefinidamente.
si x 0
los valores de la función
crecen indefinidamente.
si x 0
los valores de la función
decrecen indefinidamente.
si x 0
los valores de la función
decrecen indefinidamente.
Para esta gráfica la recta x 0 es asíntota
vertical.
Para esta gráfica la recta x 0 es asíntota
vertical.
El comportamiento de estas funciones no puede describirse con la idea y el concepto de límite que se ha
estudiado hasta ahora.
Analizando nuevamente la función y , se observa en la gráfica que cuando x 0
, los valores de f
crecen más allá de todo tope. Por lo tanto f no tiene límite cuando x 0
. Sin embargo resulta conveniente
decir que f(x) se aproxima a cuando x 0
. Se escribe.
Esto no significa que el límite existe ni que + es un número real, sino que expresa que la función se hace
tan grande como deseamos escogiendo x suficientemente cercano a cero.
Nota. Cuando se refiere a límites infinitos en realidad no son límites sino que proporcionan símbolos y un
lenguaje útiles para describir el comportamiento de funciones cuyos valores se hacen arbitrariamente
grandes (positivos o negativos).
Definición.
si dado un número N 0, 0 / f(x) N siempre que 0 x a .
si dado un número N 0, 0 / f(x) N siempre que 0 x a .
Ejemplos. Determine los siguientes límites
a) b) c)
a)
Cuando x 3 el denominador tiende a cero y la expresión tiende a .
Cuando x se aproxima a 3 por derecha, la expresión es negativa pues el numerador es
negativo y cada uno de los factores del denominador es positivo. Por lo tanto, el límite es .
b)
Cuando x 3 el denominador tiende a cero y la expresión tiende a .
Cuando x se aproxima a 3 por izquierda, la expresión es positiva, pues el numerador es
negativo, el factor (x + 3) es positivo y (x 3) negativo. Por lo tanto, el límite es +.
c) El límite para x 3 no existe.
Límites en el infinito
Analizaremos el comportamiento de las funciones definidas gráficamente cuando x crece indefinidamente y
cuando x decrece indefinidamente
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se
acerca a 0.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de
la función se acercan a 0.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se
acerca a 2.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de
la función se acercan a 2.
La recta y 0 es asíntota horizontal de la
función.
La recta y 2 es asíntota horizontal de la
función.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se
acerca a 2.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de
la función se acercan a 2.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se
aproxima a 3.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de
la función se aproximan a 1.
Las rectas y 2 e y 2 son asíntotas
horizontales de la función.
Las rectas y 3 e y 1 son asíntotas
horizontales de la función.
