¡Descarga Expresiones algebraicas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por:
- una parte numérica, llamada coeficiente, y
- una parte literal, formada por letras y sus exponentes.
Coeficiente Parte literal Coeficiente Parte literal 5 x 6 am 2
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman:
5x: grado 1 6am^2 : grado 3
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal:
6a^2 b^2 y -5a^2 b^2 son semejantes 5x^2 y y 5xy no son semejantes
1 Indica la parte literal y los coeficientes de los siguientes monomios: a) -5a 2 bx Parte literal: c) x^2 z Parte literal: Coeficiente: Coeficiente:
b) 7xyz 5 Parte literal: d) xm^2 Parte literal: Coeficiente: Coeficiente:
2 Indica el grado de los siguientes monomios: a) -xy 3 z^4 Grado: c) -xy^3 z^8 Grado: e) 2a^2 bc Grado: b) 2a 2 bc^3 Grado: d) xyz^3 Grado: f) xy 4 z 2 Grado:
3 Calcula el valor de m en los siguientes casos, para que cada par de monomios tengan el mismo grado:
a) -3x m^ yz 6a^2 bc m = d) xy^2 z^3 -2xm^ y^2 m =
b) 6rs 2 t^3 5x m^ yz^2 m = e) abc^3 3rm^ b^2 c m =
c) 2a m^ c^2 3xz^2 m = f) x^2 yz 2rsm^ m =
4 Une con flechas los monomios semejantes de las dos filas:
-3xyz 4a 2 bc 3 -6r 5 st 5xy 2 z^3 7a^2 m^4 n
6xy –5xyz 6m 4 na 2 -4bz 3 a 2 -6rst
5 Calcula el valor de m, en los siguientes casos, para que cada par de monomios sean semejantes. a) -3xyz 6xy mz m = d) 6x^2 yzm^ 8x 2 yz^2 m =
b) 6xz 2 7xm^ z^2 m = e) -r 2 stm^ 2r^2 st 3 m = c) -a 2 bc^2 -7a^2 bcm^ m = f) x 3 zy^2 x 3 yzm^ m =
Operaciones con monomios
- Suma de monomios semejantes: 2x 2 + 3x 2 = 5x 2
- Resta de monomios semejantes: 6x 3 - 3x 3 = 3x 3
- Producto de monomios: 2x 3 · 5x 2 = 10x^5
- Cociente de monomios: 6x 5 : 3x 2 = 2x 3
- Potencia de un monomio: (2x 3 )^2 = 2^2 x3·2^ = 4x 6
6 Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) 3x 2 + 6x 2 + 5x 2 = d) 6z^2 y + 3yz^2 + yz 2 = b) 7x 3 + 2x 3 + x 3 = e) z^2 y^3 + z 2 y 3 + z 2 y^3 = c) 6xy + 2xy + 3xy = f) ab^3 + ab 3 + b 3 a =
7 Efectúa las siguientes restas de monomios: a) 2x 2 - x^2 = c) xy^2 - 3xy^2 = e) 7ba^2 - a 2 b = b) 4x 7 – 8x 7 = d) 6ab - 3ab = f) xy^3 - y 3 x =
8 Efectúa los siguientes productos de monomios:
a) x 2 ·x = c) xy·x 2 y = e) ab^2 ·ab 2 ·(-3)ab 2 = b) –5x 3 ·2x^2 = d) 10x^3 y·(-6x^3 y)·yx 3 = f) -3x^2 · =
9 Efectúa los siguientes cocientes de monomios:
a) 50x 4 : 25x^2 = c) -15x 6 : 3x 7 = e) 25x^6 : 10x^2 =
b) 36x 3 : 6x 2 = d) 7x^4 : 3x 3 = f) 15x^2 : 6x =
10 El cociente de dos monomios a(x):5x 3 es igual a -3x. ¿Cuánto vale el monomio a(x)?
11 El cociente de dos monomios 6x^4 ·b(x) es igual a 2x 3. ¿Cuánto vale b(x)?
Matemática 4º Año Expresiones algebraicas Instituto Jesús María
16 Halla el polinomio de primer grado tal que su valor numérico para x = 1 es -2, y para x = 0 es 3.
17 Halla el polinomio de segundo grado tal que el coeficiente del término de mayor grado es 1 y su valor numérico para x = 1 es 2 y para x = 0 es 6.
18 Calcula el valor de a para que los polinomios p(x) = 2x - 3 y q(x) = 2x + a sean iguales.
19 Calcula el valor de a para que los polinomios p(x) = 2x 2 + 9x - 3 y q(x) = 2x 2 + a^2 x – 3 sean iguales.
Suma y resta de polinomios
- Para sumar dos polinomios se suman los monomios semejantes:
(2x 3 - 3x + 5) + (x 3 + 2x 2 + x) = 3x 3 + 2x 2 - 2x + 5
- Para restar dos polinomios se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo: (6x 3 + 2x 2 - 3x + 1) - (4x 3 - x 2 + 2x + 1) = (6x 3 + 2x 2 - 3x + 1) + (-4x 3 + x 2 - 2x - 1) = 2x^3 + 3x 2 - 5x
20 Siendo p(x) = 3x 3 - x 2 + 2x, q(x) = 3x 3 + x^2 - 3x - 4 y r(x) = 2x 2 - 7x + 6, calcula:
a) p(x) - q(x) + r(x) = c) p(x) - [q(x) + r(x)] =
b) p(x) + q(x) - r(x) = d) r(x) - [p(x) - q(x)] =
21 Dados los polinomios a(x) = -3x^4 - 5x 2 + 1, b(x) = x 3 - 6x + 3, c(x) = 3x 4 – 4x 3 - 5x 2 + 6 y d(x) = -x 3 + 6x + 4, calcula:
a) [a(x) + b(x)] - [c(x) + d(x)] = c) [c(x) - d(x)] - [a(x)
b) [a(x) + d(x)] - [b(x) + c(x)] = d) [d(x) - b(x)] + [a(x)
Matemática 4º Año Expresiones algebraicas Instituto Jesús María
22 Siendo p(y) = 2y 3 - 3y^2 + 4y - 5, q(y) = -y 3 + 2y 2 - 2y + 4 y r (y) = y 3 + y 2 - 6y + 2, calcula:
a) p(y) + q(y) + r(y) = d) p(y) – [q(y) - r(y)] =
b) p(y) + [q(y) - r(y)] = e) q(y) - r(y) - p(y) =
c) p(y) - q(y) + r(y) = f) q(y) – [r(y) + p(y)] =
23 Dados p(t) = 2t^2 - 3t + 4, q(t) = 5t 3 - 2t 2 + 4t - 6, r(t) = 3t 3
- 5t + 8 y s(t) = 4t 3 - 3t 2 + 2t - 1, calcula:
a) [p(t) + q(t)] – [r(t) + s(t)] = c) q(t) - p(t) + r(t)
b) p(t) - [q(t) - r(t)] - s(t) = d) q(t) + [p(t) - r (t)] - s(t) =
24 Dados p(x) = x^3 - 2x + 3, q(x) = x 4 - 3x + 2 y r(x) = 3x^3 - 2x 2
a) p(x) - q(x) - r(x) = c) q(x) - [r(x) + p (x)] =
b) q(x) - [p(x) - r(x)] = d) r(x) - [q(x) - p (x)] =
25 ¿Qué polinomio hay que sumar al polinomio x 3 - 3x^2 + 2x - 1 para que su suma sea x 4 - 3x 2 + 2x - 1?
26 ¿Qué polinomio hay que restar al polinomio p(x) = 2x 2 - 6x + 1 para obtener x 4 - 2x 2 + 6x - 1?
27 ¿Qué polinomio hay que restar al polinomio p(x) = x 5 – 2x 3 + 3x 2
- 2 para obtener el polinomio x^5 – 3x 3 + 2x 2 – x + 1?
28 Dados los polinomios p(x) = mx 3 - 5x - 3 y q(x) = -4x 3 - 5x + 7, calcula m sabiendo que p(x) + q(x) = -2x 3 - 10x + 4.
29 Dados los polinomios p(x) = x^3 - nx 2 + 3 y q(x) = 5x 3 + 2x 2 - 1, calcula n sabiendo que p(x) - q(x) = -4x 3 - x 2 + 4.
b) (-2x^2 )·(x 4 - 3x 2 + 2x - 1) = e) (-x^3 + 2x^2 - x + 1)·(3x)
c) (x 3 - 2x 2 + x - 1)·(3x) = f) (-x^3 + 2x 2 - x + 1)· (-3x) =
37 Observa los siguientes productos y completa los términos que faltan:
a) ( + 3x 3 - - x + )·(3x) = 6x 5 + - 6x 3 - + 3x
b) (2x 5 - + 2x^2 + - 2)·(-2x) = + 8x 4 - - 2x 2 +
c) (3x 5 + – 2x^3 - + 4x - )·(-4x 3 ) = - 8x 7 + + x^5 - + 8x 3
38 Completa la siguiente tabla:
Grado p (x)
Grado q (x)
Grado p(x)·q (x) 1 5 1 3 4 5 1 6
39 Halla el producto p(x)·q(x) para cada uno de los siguientes casos: a) p(x) = 3x 2 + 2x - 3 e) p(x) = x^5 - 2x 4 + x 3 - q(x) = x – 2 q(x) = x^4 - x 3 + x 2 - x p(x)·q(x) = p(x)·q(x) =
b) p(x) = 2x^2 - 3x + 1 f) p(x) = -2x^4 + 3x 2 + 4x
- 3 q(x) = x 2 – 1 q(x) = -x 2 - 3x + 4 p(x)·q(x) = p(x)·q(x) =
c) p(x) = 3x^3 - 2x + 4 g) p(x) = 3x 3 - 4x 2 + 7 q(x) = -2x + 3 q(x) = x^3 + 2x 2 + 1 p(x)·q(x) = p(x)·q(x) =
d) p(x) = 4x 4 - 3x 3 + 2x + 1 h) p(x) = 6x^3 + 4x 2 - 3x
- 4 q(x) = 2x 2 + 1 q(x) = 2x 2 + 2x - 1 p(x)·q(x) = p(x)·q(x) =
40 Dados los polinomios:
p(x) = 3x 3 + 6x - 5 q(x) = x 3 - x + 2 r(x) = x 2 - 6x - 1. calcula:
a) [p(x) + q(x)].r(x) =
b) p(x).r(x) + q(x).r(x) =
c) [p(x)] 2 + [q(x)] 2 , sabiendo que [p(x)] 2 = p(x).p(x) y [q(x)] 2 = q(x).q(x). [p(x)] 2 + [q(x)] 2 =
d) ¿Cómo son los resultados de los apartados a y b?
41 Completa la siguiente tabla:
Grado p(x) Grado q(x) Grado p(x)·q (x)
Grado [p(x)]^2 Grado [q(x)] 2
3 6 5 8 3 8 2 6 5 3
42 Dados los polinomios:
p(x) = 2x 2 - 3x + 1
q(x) = 2x + 1
r(x) = x 3 - 2x
calcula:
a) p(x)·q(x) - r(x) =
b) p(x)·r(x) - q(x) =
c) [p(x)] 2 ·q(x) =
d) [q(x)] 2 ·r(x) =
e) [p(x)] 2 - [q(x)] 2 =
f) [q(x)] 2 - [r(x)] 2 =
Matemática 4º Año Expresiones algebraicas Instituto Jesús María
c) (a 3 - b^2 )^3 =
División de un polinomio entre un monomio
Para hallar el cociente C(x) y el resto R(x) se divide cada monomio del dividendo D(x) por el monomio del divisor d(x).
6x 2 + 4x - 2 2x_____ -6x 2 _ 3x + 2 4x -4x_____
D(x) = d(x)·C(x) + R(x)
51 Completa la siguiente tabla:
Grado del dividendo
Grado del divisor
Grado del cociente 5 2 3 4 6 5 3 1 3 2 7 2
52 Calcula los siguientes cocientes y di si son cocientes exactos o enteros:
a) 3x 5 - 3x 2 + 6x + 9 3x^2
b) 5x 7 - 15x^5 + 20x^4 - 5x 3 + 40 5x 3
c) 24x 6 - 12x^5 + 32x^4 - 4x 3 4x 2
d) 81x 8 – 9x 7 + 15x^5 - x^4 - 3x 3 3x
e) 36x 6 - 24x^5 + 12x^4 - 66x^3 + 54x^2 6x 3
f) 10x 5 + 2x 4 - 8x 3 + 2x 2 - 12x - 6 2x
g) 15x 6 + x 5 - x 4 - x 3 + x^2 - 6 x^2
Matemática 4º Año Expresiones algebraicas Instituto Jesús María
h) x 7 – x 6 + 2x 4 - x 3 x^3
i) 2x 6 + 10x^4 - x^3 + 2x 2 - 6 2x 5
j) 65x 6 + x 4 + 2x 2 - 6x 4
k) 3x 4 + 10x^3 - 8x 2 + 6x x^2
l) x 3 + 6x 2 - 3x + 8 x
53 Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) 8x 5 – 4x 4 + x 3 + x 2 + 3x 2x 2
b) -21x^4 - 2x 3 + 9x 2 - x + 6 -3x
c) 5x 4 - x^3 + x 2 - –5x 2
d) 2x 6 - 3x 5 + x 4 - x 3 + 3 x^2
54 Comprueba la propiedad fundamental de la división (D(x) = d (x)·C(x) + R (x)) en los siguientes cocientes:
a) 2x 5 – 3x 4 - x 3 + x - -3x 3
b) 3x 6 – 4x 4 - x 3 + x 2 - -x^2
c) 6x 4 - 24x^3 + 36x^2 + 54x – 12 -x
d) x 7 - x 6 + x 5 – 5x 4 + -5x^2
e) x 4 + x 3 - x 2 + x 3x 2
55 El cociente entre un polinomio y el monomio 3x^2 es 5x 4 - 3x 2 + 2x y el resto 2x. ¿Cuál es dicho polinomio?
56 ¿Cuánto tiene que valer a en el polinomio 3x 4 – 2x 3 + 6x^2 + a para que al dividirlo entre el monomio 3x^2 el cociente sea exacto?
División de un polinomio entre otro polinomio
D(x) = 2x 2 + 6 x - 3 : d(x) = x - 2
e) x 5 - 4x 4 + 2x - 4 x^2 - 3x + 1
f) x 6 - 3x 3 x^4 - 3x 2 + 2x + 1
59 Realiza las siguientes divisiones de polinomios y comprueba en cada caso que
D(x) = d(x)·C(x) + R(x)
a) 4x 5 - 3x 4 + 2x 3 - x 2 - x + 1 x^2 + x – 2 D(x) = d(x)·C(x)
b) 8x 3 + 6x 2 + 6x + 2 2x + 1 D(x) = d(x)·C(x)
c) 7x 6 - 8x 5 – 4x 3 + 3x 2 + 4x - 9 x 2 + 2x – 1 D(x) = d (x)·C(x) + R(x) =
d) 12x 6 - 3x 5 + 4x 4 - 2x 3 + x x^2 + x – 1 D(x) = d (x)·C(x) + R(x) =
e) 3x 5 - 4x 3 + 2x - 1 x^2 – 3 D(x) = d(x)·C(x)
f) 2x 4 - 3x 3 + x 2 - 2x + 1 x 2 + 3x + 1 D(x) = d(x)·C(x)
60 Determina el cociente y el resto del polinomio x^4 – 3x 3 + 2x^2 + 1 entre el polinomio x 2 - 2x + 3.
Comprueba: a) El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor b) El grado del resto es menor que el grado del divisor
61 ¿Qué polinomio dividido entre x^2 - 1 da x + 3 y el cociente tiene de resto x - 2?
62 Indica cuánto tiene que valer a para que el cociente (x^4 - x^2 + a):(x + 2) sea exacto.
63 El resto del cociente (2x 3 + x 2 + 3x + 2a):(x - 2) es 4. ¿Cuánto vale a?
64 Calcula cuál es el dividendo de una división si el divisor es x 2
- 1, el cociente x 2 – 2 y el resto x + 5.
65 El dividendo de una división es x^4 - 2x^2 - 3, el cociente es x 3
- 3 y el resto 2. ¿Cuál es el divisor?
Regla de Ruffini.
Si el divisor es un binomio de la forma (x ± a), entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x^4 −3x^2 +2 ) : (x −3)
1.-Se ordena en forma decreciente, y si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. x4^ + 0x3^ − 3x2^ + 0x +
2.-Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3.-Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor, en este caso como el divisor es (x – 3), colocamos el 3 positivo
4.-Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 5.-Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6.-Sumamos los dos coeficientes.
7.-Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Matemática 4º Año Expresiones algebraicas Instituto Jesús María
1. Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.
a. ( x^4 – 16) : ( x – 2) = c) (– x^2 + x + 1) : ( ( x +
- =
b. (^) ( x^5 + x – 2 x^3 ) : ( x – 1) = d) ( x^3 + 2 x^2 – x + 1) : ( x
- Dados los polinomios P( x ) = x^2 + 3 x + 5; Q( x ) = x^2 – 4 x + 4 y R ( x ) = x^3 – 20, indica, sin hacer la división, cuales son divisibles por x – 2. 3. Hallar el valor de m para que el polinomio P( x ) = 8 x^3 – 4 x^2 + 2 x
- m sea divisible por ( x – ½). 4. Hallar el valor de m para que el polinomio P( x ) = x^3 – 9 x^2 + m x
- 32 sea divisible por ( x – 4). 5. Hallar el valor de m para que el polinomio P( x ) = 2 x^3 + 2 x^2 – 4m
- 3 sea divisible por ( x + ½).
Matemática 4º Año Expresiones algebraicas Instituto Jesús María
