Expresiones álgebraicas, Apuntes de Matemáticas

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Y Propiedades de los números reales Todos sabemos que 2 +3=3 +2,y5+7=7 +5, y 513 + 87 = 87 + 513, etc. En álgebra, expresamos todos estos hechos (un infinito de ellos) si escribimos a+b=b+a donde a y b son dos números cualquiera. En otras palabras, “a + b =b + a” es una forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de adición no importa”. Este hecho se conoce como Propiedad Conmutativa de la adición. De nuestra experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedades Ejemplo Descripción Conmutativas a+b=b+a 1 Cuando sumamos dos números, el orden no importa. ab = ba 3-5=5-3 Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa. Asociativas (a+b)+c=a+(b+c) (2+4)+7=2+(4+7) Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de ellos sumamos primero. (ab)e = a(bc) (3-7)-5=3-(7-5) Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles dos de ellos multiplicamos primero. Distributivas a(b + c)=ab + ac DA Cuando multiplicamos un número por una suma de (b + cja=ab + ac (3+5)-2=2-3+2:5 dos números, obtenemos el mismo resultado si multiplicamos el número por cada uno de los términos y luego sumamos los resultados. Y Adición y sustracción El número O es especial para la adición: recibe el nombre de identidad aditiva porque a + 0 =a para cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo, —a, que satisface a + (—a) = 0. La sustracción es la operación que deshace a la adición; para sustraer un número de otro, simplemente sumamos el negativo de ese número. Por definición a=b=aw+(-b) Para combinar números reales con números negativos, usamos las siguientes propie- dades. PROPIEDADES DE NEGATIVOS Propiedad Ejemplo 1 Da a (US => 2. —(-a)= a =(-5) = 5 3. (—a)b = a(—b) = —(ab) (ES =3M4-=7) = (6-1) 4 (ab) = ab (413) = 4-3 5. —(a+b)=-a—=b (3 +5) =-3=5 6. —(a—b)=b—=a -(5-8)=8=5 La Propiedad 6 expresa el hecho intuitivo de que a — b y b — a son negativos entre sí. La Propiedad 5 se usa a veces con más de dos términos: e A e e e