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resumen teoria expresiones algrebraicas
Tipo: Resúmenes
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Página 1
Potencias
Propiedades de las potencias
Operaciones con potencias
Raíces cuadradas
Raíces cuadradas exactas
Raíces cuadradas enteras
Operaciones combinadas con potencias y raíces
Página 2
Cuando se tiene que multiplicar muchas veces un mismo número es más fácil expresarlo en forma de
potencia.
Una potencia es una forma de expresar la multiplicación de un mismo factor un número determinado de veces.
exponente (número de veces que se multiplica).
Por ejemplo, en un centro marino de recuperación están trabajando con un tipo de estrella de mar que
está en peligro de extinción. Esta estrella se reproduce cada año dividiendo su cuerpo en dos, por lo que
cada año una estrella generará dos nuevas estrellas. Han comenzado el proyecto con un individuo en lo
que será el año 0 del estudio. Así, esperan que al año siguiente (año 1) esa estrella produzca dos estrellas,
en el siguiente (año 2) cada una de esas dos estrellas produzca dos más, de modo que así,
sucesivamente, puedan contribuir a recuperar la población de esa especie.
En esta tabla se resumen los resultados que esperan obtener con el paso de los años.
n
Por ejemplo:
Para determinar el signo de una potencia, tenemos que seguir unas reglas:
Si el exponente es par, la potencia es siempre positiva.
Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base.
Por ejemplo:
Base positiva Base negativa
Exponente par 2 = 2 · 2 = 4 (-2) = (-2) · (-2) = 4
Exponente impar 2 = 2 · 2 · 2 = 8 (-2) = (-2) · (-2) · (-2) = -
Podemos aplicar las diferentes operaciones matemáticas a las potencias.
Suma y resta de potencias
Para sumar y restar potencias debemos tener presente que la potenciación no es distributiva. Por lo tanto,
primero debemos calcular las potencias y, después, resolver la operación correspondiente.
Veamos estos ejemplos:
Suma y resta de potencias con la misma base:
2 + 2 = 32 + 256 = 288
Suma y resta de potencias con el mismo exponente:
2 + 3 = 32 + 243 = 275
a b
( ab )
= ( ba )
n
(
3 )
= (
2 )
(-
5 )
= (-
7 )
2 2
3 3
5 8
( 25 )
= 254 + 1258 = 20 + 8 125 = 12528
(- 3 )
− (-3)
= - 27 − 811 = - 2187 − 1 81 = - (^218881)
5 5
Suma y resta de potencias con distinta base y distinto exponente:
2 + 3 = 32 + 9 = 41
Producto y cociente de potencias con la misma base
Para multiplicar y dividir potencias procedemos de esta manera:
Operación Descripción Procedimiento Ejemplos numéricos
Producto de potencias
El resultado de multiplicar dos o más potencias con la misma base es una potencia cuya base es la
cuyo exponente es la suma de todos los exponentes.
Cociente de potencias
El resultado de dividir dos o más potencias con la misma base es una potencia cuya base es la
cuyo exponente es la resta de todos los exponentes.
Cuando las bases de las potencias son distintas solo es posible calcular el resultado del producto o del
cociente de dos a más potencias si se conoce el valor de cada una de ellas por separado. Por ejemplo:
2 · 3 = 4 · 27 = 108 48 : 24 =16 : 8 = 2
Potencia de un producto y de un cociente
Vamos a ver cómo operar cuando en lugar de ser un número el que se eleva a una potencia, es una
operación, como un producto o un cociente:
( 25 )
= 254 + 1009 =
100 =^
100 =^
(- 2 )
− (-4)
= - 81 − ( 64 -^1 ) =
64 =^ -^
5 2
( 52 )
= 1258 + 1009 =
500 =^
4 3
n m n + m
3 4 3 + 4 7
3 2 3 + 2 5
( 37 )
⋅ ( 37 )
= = ( 37 )
= ( 37 )
n m n – m
6 4 6 – 4 2
5 7 5 – 7 -
(
5 )
⋅ (
5 )
= = (
5 )
= (
5 )
2 3
Página 3
La función inversa de elevar al cuadrado un número se llama 'raíz cuadrada'.
Y estos son los elementos:
es el radical.
Podemos tomar como ejemplo la raíz cuadrada de 25, que es 5:
Es importante saber que los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada.
Hay dos tipos de raíces cuadradas. Vamos a conocer las raíces cuadradas exactas.
La raíz cuadrada exacta es una raíz cuadrada cuyo radicando es el cuadrado de un número entero, es decir, que el resultado es un número entero.
Además, aquí podemos hablar de los cuadrados perfectos.
Los cuadrados perfectos son números enteros que tienen como raíz cuadrada dos números enteros de signos opuestos; es decir, las dos raíces son números enteros opuestos.
Vamos, por ejemplo, a calcular la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos 16, 121 y 6084:
Aunque un número tenga dos raíces (positiva y negativa), generalmente nos quedamos con la raíz
positiva.
El otro tipo de raíces cuadradas son las raíces cuadradas enteras:
La raíz cuadrada entera es una raíz cuadrada cuyo radicando no es el cuadrado de un número entero.
Las raíces cuadradas enteras se pueden hallar haciendo un cálculo estimado de la raíz y también
haciendo un cálculo exacto.
√ a^ = ±^ b^ ⇔ (± b )
= b^2 = a
√
√25 = 5 ⇔ 5^2 = 25
√16 = ±4 ⇔ 4^2 = 16√121 = ±11 ⇔ 11^2 = 121√6084 = ±78 ⇔ 78^2 = 6084
Cálculo aproximado de una raíz entera
Las raíces enteras se pueden calcular de forma aproximada acotando el radicando entre dos cuadrados,
el inferior y el superior más cercanos. Por ejemplo, si queremos calcular la raíz cuadrada de 310, que no
es un número entero, podemos encontrar, por ensayo y error, que:
17 = 289 < 310 < 324 = 18
De esta forma, observamos que la raíz cuadrada de 310 se encuentra, aproximadamente, entre 17 y 18.
Cálculo exacto de una raíz entera
Por este método se obtiene la raíz cuadrada aproximada y el resto, es decir, la diferencia entre el
radicando y el cuadrado de la aproximación. Por ejemplo, en el caso de la raíz cuadrada de 310 tenemos:
310 = 17 + 21
Así, la raíz entera de 310 es 17 y su resto es 21.
Existe otro método, con el que obtenemos el valor exacto de la raíz cuadrada, que se usa en raíces tanto
exactas como enteras. Debemos seguir estos pasos:
2 2
2
Procedimiento (^) Ejemplo:
se aproxime, sin pasarse, al nuevo número que hemos formado (252). En nuestro ejemplo es el 5.
Paso 6: Escribimos el valor que hemos asignado a
formado a la izquierda menos el resultado
Paso 7: Repetimos el proceso hasta acabar con
todos los grupos de dos cifras del número inicial:
Bajamos el doble de 25 ( 50 ).
sea menor de 2743. Este número vuelve a
ser 5.
Restamos ambos números y obtenemos que
el resto de la raíz es 218.
Paso 8: Comprobamos que el resultado es
correcto.
√ 65 243
√6, 5 2, 4 3 2
− 25 2
4 5 ⋅ 5 = 2 25
√6, 5 2, 4 3 2 5
− 25 2
4 5 ⋅ 5 = 2 25
−2 2 5 2 7
√6, 5 2, 4 3 2 5 5
− 25 2
4 5 ⋅ 5 5 5 0 5 ⋅ 5 2 5
= 2 2 5 = 2 −2 2 5 2 74 3 −2 5 2 5 2 1 8
2
Página 4
Para resolver operaciones combinadas debemos seguir este orden:
Vamos a poner en práctica este procedimiento para resolver, paso a paso, la siguiente operación
combinada:
[(2 − 3 ⋅ (-5)
) + 3 ⋅ 2^3 ]
− √784 ⋅ (
3 )
Página 5
Recuerda algunas definiciones clave de este recurso teórico.
Una potencia es una forma de expresar la multiplicación de un mismo factor un número determinado
de veces.
el exponente (número de veces que se multiplica).
Para determinar el signo de una potencia se siguen unas reglas:
Si el exponente es par, la potencia es siempre positiva.
Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base.
La potenciación no es distributiva respecto de la suma y de la resta. Por lo tanto, primero deben
calcularse las potencias y, después, realizar la operación correspondiente.
Las operaciones con potencias son:
n
1
0
a - n^ = (^) a^1 n
a b
( ab )
= ( ba )
n
Operación Descripción Procedimiento
Producto de potencias
El resultado de multiplicar dos o más potencias con la misma base es una potencia cuya base es la
es la suma de todos los exponentes.
Cociente de potencias
El resultado de dividir dos o más potencias con la misma base es una potencia cuya base es la
es la resta de todos los exponentes.
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada factor elevado a la potencia correspondiente.
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada factor elevado a la potencia correspondiente.
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes de las dos o más potencias.
Los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada.
Una raíz cuadrada es exacta cuando el radicando es el cuadrado de un número entero.
Los cuadrados perfectos son aquellos números enteros que tienen como raíz cuadrada dos números
enteros de signos opuestos; es decir, las dos raíces son números enteros opuestos.
Una raíz cuadrada es entera cuando el radicando no es el cuadrado de un número entero.
Para resolver operaciones combinadas tenemos que seguir este orden:
derecha.
n m n + m
n m n – m
n n n
n n n
n m n · m
√
