Matemáticas 0
José María Martínez Mediano
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Factor común
La relación de igualdad es simétrica; que significa que si A = B, entonces B = A. Esto, que
parece una perogrullada, es de gran utilidad cuando se trabaja con expresiones matemáticas. Esa
doble posibilidad de escribir la misma igualdad es lo que engloba la expresión “caminos de ida y
vuelta”: de A se puede pasar a B; pero de B también se puede pasar a A.
Las reglas de funcionamiento (propiedades) suelen escribirse mediante igualdades. Así se hace,
por ejemplo, cuando se escribe a · (b + c) = a · b + a · c, que se conoce con el nombre de
propiedad distributiva. Esta propiedad es de ida y vuelta. Esto es, puede aplicarse de izquierda a
derecha o al revés.
Ejemplos:
a) Por la propiedad distributiva, 3 · (7x 2y) = 21x 6y.
Igualmente: 21x 6y = 3 · (7x 2y); y al hacer esto se ha sacado factor común
b) La expresión 43232 9612 yxxyyx puede escribirse, sacando el factor común 2
3xy de
cada uno de sus términos, así:
43232 9612 yxxyyx =
222 324·3 yxxyxy
Haciéndolo por pasos, sería:
43232 9612 yxxyyx = 2222 3·32·34·3 xyxyxyxyxy =
222 324·3 yxxyxy
Nota: Posiblemente, el no iniciado no descubra a primera vista que 2
3xy es factor común en los
tres sumandos; pero puede descubrir que xy sí lo es. Entonces escribirá:
43232 9612 yxxyyx =
322 9612· yxyxyxy
A continuación, al ver el segundo miembro, tiene más fácil descubrir que y vuelve a repetirse en
cada uno de los sumando, y quizás que los números que intervienen, los factores 12, 6 y 9, son
múltiplos de 3. Y, así, fijándose, podrá concluir felizmente el proceso de sacar factor común.
La operación de sacar factor común se utiliza frecuentemente en matemáticas; la mayor parte
de las veces para facilitar la resolución de ecuaciones. A continuación se indican otros ejemplos:
Ejemplos:
a) Ecuaciones polinómicas de tercer grado o superior:
La ecuación 32
650xxx se resuelve sacando factor común x. Así:
32 2
650 650xxx xxx 2
0
650 1; 5
x
xx xx
(Recuérdese que para que un producto sea 0 es necesario que alguno de los factores lo sea.
Advertencia: Cuando una expresión está factorizada, para resolver la ecuación asociada no hay
que multiplicar; hacerlo supondría retroceder.
Así, para hallar las soluciones de la ecuación
2
2·2 3· 6 0xxxx
, basta con resolver:
20 2xx; 230 3/2xx ;
260 · 60 0;6xx xx xx
b) Ecuaciones en las que aparecen exponenciales:
Para resolver 2
40
xx
exe
hay que sacar factor común
x
e.
