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Factorización conceptos básicos, Apuntes de Matemáticas

Matemáticas

Factorización conceptos, ejercicios y explicaciones

Tipo: Apuntes

2020/2021

Subido el 08/03/2021

JDC_1907
JDC_1907 🇪🇨

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Teoría y Ejercicios de Factorización
http://youtube.com/MateMovil1
http://MateMovil.com
http://facebook.com/frikiaps
http://twitter.com/frikiaps
Factorización
Es expresar un polinomio en una multiplicación de
factores primos.
Factor Primo
Polinomio que no se puede expresar como
multiplicación de 2 factores.
Ejemplo: M(x)=x2-100 ; no es primo, ya que puede
expresarse como: P(x)= (x+10)(x-10).
Métodos de Factorización
Existen diversos métodos para factorizar,
trabajaremos todos los métodos con ejemplos:
1) Factor Común
P = 3x3y3+4x2y4+3x4y5
El factor común es x2y3
P = x2y3(3x+4y+3x2y2)
M = (xy2)a2+(xy2)b2 + (xy2)c2
El factor común es (xy2)
M = (xy2)(a2+b2+c2)
2) Factor Común por Agrupación de Términos
C = dx+cx+dy+cy
C = x(d+c) + y(d+c)
C = (d+c)(x+y)
3) Diferencia de Cuadrados: a2-b2= (a+b)(a-b)
F = (x4-16) = (x2+4)(x2-4)= (x2+4)(x+2)(x-2)
4) Trinomio Cuadrado Perfecto:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
D = (4x2-40xy+25y2) = (2x-5y)2
5) Suma o Diferencia de Cubos
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
M = (x6 - 64) = (x3 - 8)(x3 + 8)
M = (x-2)(x2+2x+4)(x+2)(x2-2x+4)
6) Aspa Simple: ax2 + bx + c
2x2 - 8x + 8 = (2x - 4) (x - 2)
2x -4 = - 4x
x -2 = - 4x
- 8x
6x2 - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)
2x -3 = - 9x
3x +1 = + 2x
- 7x
7) Aspa Doble
El polinomio a factorizar, debe tener 6 términos,
sino hay que completar con ceros. Formas:
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f
15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14 = (5x+3y+2) (3x+y+7)
5x 3y 2
3x y 7
5xy + 9xy = 14xy 21y + 2y = 23y
35x + 6x = 41x
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
5x4 + 22x3 + 21x2 + 16x + 6 = (5x2 + 2x + 3) (x2 + 4x + 2)
5x2 2x 3
x2 4x 2
20x3 + 2x3 = 22x3 4x+12x=16x
El resultado del aspa más grande es: 10x2 + 3x2 = 13x2,
por lo que falta 8x2 para llegar a 21x2.
8) Método de los Divisores Binomios
Utilizando el teorema del resto, sabemos que:
- Si P(x) es divisible por (x - a); entonces P(a) = 0.
- Si P(x) es divisible por (x + a); entonces P(-a) = 0.
Para hallar los valores de "a", hay que tomar en
cuenta los divisores del término independiente y
los divisores del coeficiente del término de mayor
grado.
pf2

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Teoría y Ejercicios de Factorización

http://youtube.com/MateMovil1 http://MateMovil.com http://facebook.com/frikiaps http://twitter.com/frikiaps

Factorización Es expresar un polinomio en una multiplicación de factores primos.

Factor Primo Polinomio que no se puede expresar como multiplicación de 2 factores. Ejemplo: M(x)=x^2 -100 ; no es primo, ya que puede expresarse como: P(x)= (x+10)(x-10).

Métodos de Factorización Existen diversos métodos para factorizar, trabajaremos todos los métodos con ejemplos:

1) Factor Común P = 3x^3 y^3 +4x^2 y^4 +3x^4 y^5 El factor común es x^2 y^3 P = x^2 y^3 (3x+4y+3x^2 y^2 )

M = (xy^2 )a^2 +(xy^2 )b^2 + (xy^2 )c^2 El factor común es (xy^2 ) M = (xy^2 )(a^2 +b^2 +c^2 )

2) Factor Común por Agrupación de Términos C = dx+cx+dy+cy C = x(d+c) + y(d+c) C = (d+c)(x+y)

3) Diferencia de Cuadrados: a^2 -b^2 = (a+b)(a-b) F = (x^4 -16) = (x^2 +4)(x^2 -4)= (x^2 +4)(x+2)(x-2)

4) Trinomio Cuadrado Perfecto: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 D = (4x^2 -40xy+25y^2 ) = (2x-5y)^2

5) Suma o Diferencia de Cubos a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2 ) M = (x^6 - 64) = (x^3 - 8)(x^3 + 8) M = (x-2)(x^2 +2x+4)(x+2)(x^2 -2x+4)

6) Aspa Simple: ax^2 + bx + c 2x^2 - 8x + 8 = (2x - 4) (x - 2) 2x -4 = - 4x x -2 = - 4x

  • 8x

6x^2 - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3) 2x -3 = - 9x 3x +1 = + 2x

  • 7x

7) Aspa Doble El polinomio a factorizar, debe tener 6 términos, sino hay que completar con ceros. Formas:  ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f 15x^2 + 14xy + 3y^2 + 41x + 23y + 14 = (5x+3y+2) (3x+y+7) 5x 3y 2 3x y 7 5xy + 9xy = 14xy 21y + 2y = 23y 35x + 6x = 41x

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e 5x^4 + 22x^3 + 21x^2 + 16x + 6 = (5x^2 + 2x + 3) (x^2 + 4x + 2) 5x^2 2x 3 x^2 4x 2 20x^3 + 2x^3 = 22x^3 4x+12x=16x El resultado del aspa más grande es: 10x^2 + 3x^2 = 13x^2 , por lo que falta 8x^2 para llegar a 21x^2.

8) Método de los Divisores Binomios Utilizando el teorema del resto, sabemos que:

  • Si P(x) es divisible por (x - a); entonces P(a) = 0.
  • Si P(x) es divisible por (x + a); entonces P(-a) = 0. Para hallar los valores de "a", hay que tomar en cuenta los divisores del término independiente y los divisores del coeficiente del término de mayor grado.

Teoría y Ejercicios de Factorización

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Ej: x^3 - 3x^2 - 13x + 15 Rango de Valores: { 1, 3, 5, 15 } Para: x = 1  (1)^3 - 3(1)^2 - 13(1) + 15 = 0 El polinomio será divisible entre (x-1): 1 -3 -13 + 1 1 -2 - 1 -2 -15 0 = (x-1)(x^2 - 2x - 15) = (x-1)(x-5)(x+3)

9) Expresión Recíproca En una expresión recíproca los términos equidistantes son iguales.

  • Toda expresión recíproca de grado impar es igual al factor (o es divisible entre) (x+1).
  • Una expresión recíproca de grado impar es igual al factor (x+1) por una expresión recíproca de grado par. M(x) = 6x^4 + 35x^3 + 62x^2 + 35x +

Cambio de variable:

Reemplazando:

Reemplazando

Ejercicios

1. Resolver:^30001 2 ^300002

  1. Factorizar:
  2. Factorizar:
  3. Factorizar: 125 x^3  27 y^3

5. Factorizar: x^4 a^  2 x^2 a  1

6. Factorizar: ac  bc  ad  bd

7. Factorizar: m^2  4 m^2  5   1

8. Factorizar: x  1  4  x  1  2  6

9. Factorizar: x^4  x^2  1

10.Factorizar: x^6^  y^6 11.Factorizar: x^3  2 x 2 y  4 xy^2  8 y^3  x  2 y

12.Factorizar: 3 x^4  192 x

13.Factorizar: x^3  2 x 2 y  4 xy^2  8 y^3  x  2 y 14.Factorizar: 3 x^2  4 xyy^2  4 x  2 y  1

15.Factorizar:^1 ^ ^1 ^6

x  4  x ^2 

16.Factorizar: 6a^2 - 11ab + 4b^2 - 8a + 14b - 8 17.Luego de factorizar: R ( x ) x^3  x^2  x  1. Se obtiene un factor (ax^2 +b). Hallar a+b

18.Hallar la suma de los factores de: P ( x ) x^4  5 x^2  4 19.Factorizar por divisores binomios:

x^3  x^2  x  1

20.Factorizar: m^4  10 m^2 n^2  9 n^4

21.Factorizar: 8 x^2  4 xy  18 x  6 y  9

22.Factorizar: x^4  4

23.Si factorizamos el polinomio: x y^2 3^  4 xy^4^  4 y^5 obtenemos una expresión de la forma:

ay^3 bx  cy^2 donde a,b y c son coeficientes. Hallar

a + b + c.

24.Factorizar: 1  x x   1  x  2  x  3 

25.Dar la suma de factores primos de: P ( x ) x^4  5 x^2  4 26.Factorizar: 27.Factorizar: , indicando la suma de sus factores primos. 28.Hallar la suma de los términos independientes de los factores de: 29.Factorizar: 30.Indicar el número de factores primos de:

31.Factorizar: 32.Factorizar: