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Eje Tem´atico: ´Algebra y Funciones

Gu´ıa MM08: Productos Notables y Factorizaci´on

1. Introducci´on

Se les llama productos notables a ciertos productos de uso com´un y que cumplen una serie de reglas. Conocer y memorizar estos productos nos permitir´a resolver ejercicios de manera mucho m´as r´apida, adem´as de posibilitar la factorizaci´on de expresiones algebraicas complejas, lo cual corresponde a escribir una expresi´on algebraica como producto de otras expresiones, de menor grado.

2. Multiplicaci´on y Divisi´on de Expresiones Algebraicas

Para mostrar como realizar estas operaciones, se ir´an mostrando desde los casos m´as b´asicos o los m´as complejos.

2.1. Multiplicaci´on de Monomios

Para multiplicar monomios, el procedimiento consiste en agrupar de acuerdo a las bases de las potencias, aplicando las propiedades que correspondan. En caso de tener valores num´eri- cos, estos se multiplican de la manera habitual.

Ejemplo: (2x^2 y^3 ) · (3xy−^1 z) = 2 · 3 · x^2 · x · y^3 · y−^1 · z = 6 · x2+1^ · y^3 −^1 · z = 6x^3 y^2 z

Ejercicio:

1. Si b 6 = 0, entonces a^2 b^3 c · 12 · 4 c^3 d · b−^2 =

A) a^2 b^3 c^4 d B) a^2 bc^4 d C) a

(^2) b (^3) c (^4) d 2 D) 2a^2 bc^4 d E) a

(^2) b (^3) c (^4) d 4

Ejercicio:

1. (q + p) · 2(m − n) = A) 2mq − nq + 2mp − np B) mq − nq + mp − np C) 2m − 2 n + 2q + 2p D) 2mq − 2 nq + 2mp − 2 np E) − 2 mq − nq + mp − np

2.4. Divisi´on de Monomios

Para dividir monomios, el procedimiento consiste en dividir agrupando de acuerdo a los factores literales, y aplicando las propiedades de las potencias seg´un corresponda. En caso de tener factores num´ericos que acompa˜nen a los factores literales, estos se dividen de la manera habitual. Ejemplo: Para x, y, z 6 = 0, se tiene que: 2 x^2 y^3 4 xy−^1 z =

4 ·^

x^2 x ·^

y^3 y−^1 ·^

z =^12 · x^2 −^1 · y^3 −−^1 · (^1) z

= xy

4 2 z

Ejercicio:

1. Si a, b 6 = 0, entonces a

(^6) b− 15 a−^2 b−^5 = A) −^97 B) a^8 b−^10 C) a^4 b−^20 D) a−^3 b^3 E) − 9

2.5. Divisi´on de Polinomios por Monomios

En este caso, el polinomio se debe separar por t´erminos para efectuar varias operaciones de divisi´on de monomios, aplicando las propiedades de las potencias seg´un corresponda. Ejemplo: 3 x^2 + 6y^3 3 xy =

3 x^2 3 xy +

6 y^3 3 xy = xy +^2 y

2 x

Ejercicio:

1. Sea m 6 = 0. Al simplificar la expresi´on m^2 −m^ mr resulta: A) 0 B) − r 2

C)^12 − r 2 D) m 2 − r 2

E)^12 − mr 2

3. Productos Notables

Existen algunas expresiones algebraicas que cumplen reglas fijas, cuyo desarrollo y posterior factorizaci´on son caracter´ısticos. A continuaci´on se muestran los m´as usados.

3.1. Cuadrado de Binomio

Podemos calcular el cuadrado del binomio a + b, con a, b ∈ R, de la siguiente manera: (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

3.3. Multiplicaci´on de Binomios con T´ermino Com´un

A continuaci´on calcularemos el producto entre dos binomios distintos que poseen un t´ermino en com´un x.

(x + a)(x + b) = x^2 + xb + xa + ab = x^2 + (a + b)x + ab

Ejemplo: (3x + 2)(3x − 7) = (3x)^2 + (2 − 7)3x + 2 · − 7 = 9x^2 − 5 · 3 x − 14 = 9x^2 − 15 x − 14

Ejercicio:

1. ¿Cu´al de las siguientes expresiones hay que multiplicar por k + 3 para que el resultado sea k^2 + k − 6? A) k + 1 B) k + 2 C) k − 6 D) k − 3 E) k − 2

3.4. Cubo de Binomio

Calculemos el cubo del binomio a + b, con a, b ∈ R. Para facilitar su c´alculo, notemos que podemos utilizar la f´ormula del cuadrado de binomio en el desarrollo.

(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 ) = a^3 + 2a^2 b + ab^2 + ba^2 + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

Generalizando para el caso en que el binomio es una resta, se obtiene:

(a ± b)^3 = a^3 ± 3 a^2 b + 3ab^2 ± b^3

Ejemplo: (2x − 5 p)^3 = (2x)^3 − 3 · (2x)^2 · 5 p + 3 · 2 x · (5p)^2 − (5p)^3 = 8x^3 − 3 · 4 x^2 · 5 p + 3 · 2 x · 25 p^2 − 125 p^3 = 8x^3 − 60 x^2 p + 150xp^2 − 125 p^3

Ejercicio:

1. Se sabe que el volumen total de agua que puede albergar una piscina es el cubo de la altura de la piscina. Entonces si la altura de dicha piscina es q + 1, la cantidad agua que puede albergar es: A) (1 + q)^2 B) 1 + q^3 C) 1 + 3q + q^3 D) q^3 + 3q^2 + 3q + 1 E) q^3 − 3 q^2 + 3q − 1

3.5. Cuadrado de Trinomio

Este producto notable es muy similar al cuadrado de binomio. (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplo: (2a − b + 3c)^2 = (2a)^2 + (−b)^2 + (3c)^2 + 2 · 2 a · −b + 2 · 2 a · 3 c + 2 · −b · 3 c = 4a^2 + b^2 + 9c^2 − 4 ab + 12ac − 6 bc

Ejercicio:

1. x^2 + 2xy + y^2 + 6x + 6y + 9 es el resultado al desarrollar: A) (x + y + 9)^2 B) (x + y + 3)^2 C) (x + y − 9)^2 D) (x + y − 3)^2 E) (x − y + 3)^2

4.2. Factorizaci´on con Productos Notables

Podemos emplear los valores conocidos de los productos notables para ejecutar factoriza- ciones que nos pueden permitir desarrollar expresiones algebraicas de manera m´as sencilla.

Ejemplos:

1. Podemos simplificar la expresi´on x

(^2) + 5x + 6 x^2 − 4 x − 21 , usando la multiplicaci´on de binomios con t´ermino com´un, y luego simplificando el binomio (x + 3). x^2 + 5x + 6 x^2 − 4 x − 21 =

(x + 2)(x + 3) (x + 3)(x − 7)

= x x^ −+ 2 7

2. Simplifiquemos la expresi´on^4 x

(^2) − 9 y 2 2 x + 3y , aplicando la factorizaci´on de suma por diferencia, y luego simplificando el binomio 2x + 3y. 4 x^2 − 9 y^2 2 x + 3y =

(2x)^2 − (3y)^2 2 x + 3y

= (2x^ + 3 2 xy )(2+ 3xy^ −^3 y)

= 2x − 3 y

Ejercicio:

1. Si x 6 = − 2 , 2 , 3, entonces al reducir la expresi´on x

(^2) − 5 x + 6 x^2 − 4 :^

x^2 − 6 x + 9 x^2 − x − 6 = A) 0 B) (^) (x + 2)^12

C) x x^ + 2− 2

D) (^) x −^1 E) 1

4.3. Suma y Diferencia de Cubos

La suma de dos cubos puede expresarse de la siguiente manera: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2 )

Ejemplo: 8 x^3 + 27y^6 = (2x)^3 + (3y^2 )^3 = (2x + 3y^2 )((2x)^2 − 2 x · 3 y^2 + (3y^2 )^2 ) = (2x + 3y^2 )(4x^2 − 6 xy^2 + 9y^4 )

Por otra parte, la diferencia de dos cubos, puede expresarse como: a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2 )

Ejemplo: p^3 − 64 q^9 = p^3 − (4q^3 )^3 = (p − 4 q^3 )(p^2 + p · 4 q^3 + (4q^3 )^2 ) = (p − 4 q^3 )(p^2 + 4pq^3 + 16q^6 ) Ejercicio:

1. Si x^2 + ax + a^2 = 5 y x − a = 2, entonces el valor de x^3 − a^3 es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 10

4.5. Ejercicios:

1. Si x 6 = 4, entonces 4 x

(^2) − 16 x x^2 − 8 x + 16 = A) 4x B) x − 4 C) (^) x −^1

D) (^) x^4 −x 4 E) 1

2. Al simplificar la expresi´on x

x^2 − 6 x − 7 ·^

x^2 − 14 x + 49 2 x^2 + 2x + 2 :^

x^2 − 8 x + 7 2 x^2 − 2 resulta: A) 2x − 2 B) 2x + 2 C) x − 1 D) x + 1 E) (^) x −^1

3. Si uno de los factores de 2x^2 + 2x − 24 es x − 3, el otro factor es: A) x + 8 B) 2x + 16 C) 2x − 8 D) 2x − 6 E) 2x + 8

5. Problemas Propuestos

1. 7x + 7y + 7z = A) 7(x + y + z) B) 7(x + y) + z C) 7(x + z) + y D) 7(y + z) + x E) x + y + z
2. Para x 6 = 2, se tiene que x

(^2) + x − 6 x − 2 = A) x − 3 B) x − 2 C) x + 3 D) x + 2 E) x

3. (x + 2)^2 − (x + 1)(x − 1) = A) 4x − 5 B) 4x C) 4x + 5 D) 4x + 6 E) 8x
4. Al multiplicar

−^14 y + 4x

2 y^ + 4x

el coeficiente num´erico que acompa˜na al t´ermino xy es =

A) −^18 B) 1 C) − 1 D)^12

E) −^12

8. Si (x + y + a)^2 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y, entonces a = A) 10 B) 3 C) 2 D) 0 E) 1
9. Si x 6 = 3, la expresi´on x

x^3 − 9 x^2 + 27x − 27 es equivalente a: A) 1 B) x^2 + 3x + 9 C) x

(^2) + 3x + 9 x − 3 D) x

(^2) + 3x + 9 (x − 3)^2 E) Ninguna de los anteriores

10. Si n 6 = 2, entonces 3 n

(^2) − 6 n n^2 − 4 n + 4 = A) (^) n^3 + 2n

B) (^) n^3 −n 2

C) (^) n− + 2^3 n D) − 3 E) 0

11. Al simplificar la expresi´on p

5+n (^) − p3+n p^2 + p se obtiene: A) p−2+n(p^2 − 1) B) p2+n(p^2 − 1) C) p

n(p (^2) − 1) 2 D) pn(p^2 + 1) E) p2+n(p − 1)

12. Si uno de los factores de 9x^2 − 24 xy + 16y^2 es 3x − 4 y, entonces el otro factor es:

A) 9x + 6y B) 3x − 4 y C) 3x + 4y D) 9x + 4y E) 8x − 3 y

13. Si n veces x es igual a a^2 + b^2 , entonces x^2 =

A) a

(^2) + b 2 n B)

(a + b n

C) a

(^4) + b 4 n^2 D)

(a (^2) + b 2 n

E) a

(^4) − b 4 n^2

14. Si x +^1 y = 9 y x

(^2) y (^2) − 1 y^2 = 36 entonces^ x^ −^

y = A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) − 9

18.^53 mm^ + 4− 6 − 22 mm^ −−^64 =

A) (^) 3(^2 mm^ + 13 − 2)

B) (^) 3(^2 mm^ −−^5 2)

C) (^) 3(^2 mm^ + 5− 2)

D) (^) 3(^2 mm^ −−^3 2)

E)^3 mm −^ − 10 2

19. Se puede determinar el valor de a + b si se sabe que:

(1) a^3 + b^3 = 20 (2) a^2 + ab + b^2 = 4 A) (1) Por s´ı sola B) (2) Por s´ı sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por s´ı sola (1) o (2) E) Se requiere informaci´on adicional

20. Se puede determinar el valor num´erico de la expresi´on (a

(^2) − b (^2) )x 2 que:^ ax^ −^ bx^ , con^ a^6 =^ b^ si se sabe (1) (a + b) = 3 (2) x = 1 A) (1) Por s´ı sola B) (2) Por s´ı sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por s´ı sola (1) o (2) E) Se requiere informaci´on adicional

6. Claves

Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave 1 A 6 E 11 E 16 C 2 A 7 C 12 B 17 B 3 C 8 C 13 D 18 A 4 B 9 D 14 C 19 E 5 B 10 B 15 C 20 C