`
Algebra Lineal (GETI/GEQ/GEM) Codi: 240011
Temps: 40 minuts II 26 de Gener de 2012
(1) (4 punts) Considereu els subespais FiGde R4definits per
F= [v1, v2, v3, v4]; v1= (1,1,0,0), v2= (1,0,0,−1), v3= (3,2,2,1), v4= (1,2,0,1).
G={(x, y, z, t)∈R4:x−y−z+ 2t= 0}.
(1.1) Obtingueu la dimensi´o, una base i un sistema d’equacions que determini F.
(1.2) Calculeu la dimensi´o de F∩Gi una base de Fadaptada a F∩G.
Resoluci´o:
(1.1)
1 1 3 1 x
1 0 2 2 y
0 0 2 0 z
0−1 1 1 t
∼ ··· ∼
1 1 3 1 x
0−1−1 1 y−x
0 0 2 0 z
0 0 0 0 t−(y−x)−z
. Per tant:
•dim F= 3
•una base: (v1, v2, v3)
•equacions: x−y−z+t= 0
(1.2) F∩G=((x, y, z, t)∈R4:x−y−z+t= 0
x−y−z+ 2t= 0 )=((x, y, z, t)∈R4:x−y−z= 0
t= 0 )
Per tant:
•dim(F∩G) = 4 −rang = 1−1−1 0
0 0 0 1 = 2
•una base de F∩G: (v1, w), amb w= (1,0,1,0)
•ampliem-la a una base de F: (v1, w, v2)
(2) (3 punts) Considereu l’endomorfisme f:R4−→ R4, la matriu del qual en la base ordin`aria ´es:
A=
6 4 −4 4
−1 4 0 1
3 4 0 1
−1 1 1 1
i els subespais FiGde (1).
(2.1) Verifiqueu si FiF∩Gs´on f-invariants.
(2.2) Calculeu la matriu Bde la restricci´o de faF, en la base obtinguda a l’apartat (1.2).
(2.3) Dedu¨ıu els valors propis (reals i complexos) de f.
Resoluci´o:
(2.1) Av1=
10
3
7
0
Aw =
2
−1
3
0
Av2=
2
−2
2
−2
.
rang (v1, w, Av1, Aw) = 2 =⇒F∩G´es f-invariant
rang (v1, w, v2, Av1, Aw, Av2) = 3 =⇒F´es f-invariant
(2.2)
Av1= 3v1+ 7w
Aw =−v1+ 3w
Av2=−2v1+ 2w+ 2v2
=⇒B=
3−1−2
732
002
(2.3) QB(τ) = −(τ2−6τ+ 16)(τ−2) =⇒VAPs B: 3 ±i√7,2
VAPs A: 3 ±i√7,2, λ4, amb λ4= tr A−(3 + i√7 + 3 −i√7 + 2) = 3.
