final de integrales aprobado, Apuntes de Matemáticas

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FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA

Límites

Límites

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 2

− 2 𝑥 + 5 , analizaremos el

comportamiento de 𝑓 en las cercanías a 3. 𝒙 𝒇(𝒙) 4 13 3.5 10. 3.1 8. 3.02 8. 3.001 8. 𝒙 𝒇(𝒙) 2 5 2.5 6. 2.9 7. 2.98 7. 2.999 7.

Límites

Analizar el valor de lim 𝑥→ 2 𝑥 − 2 𝑥 2 − 4 𝒙 𝒇(𝒙) 3 0. 2.5 0. 2.01 0. 2.001 0. 2.0001 0. 𝒙 𝒇(𝒙) 1 0. 1.5 0. 1.99 0. 1.999 0. 1.9999 0.

Propiedades 𝟏. lim 𝑥→𝑎

𝟐. lim 𝑥→𝑎

𝟑. lim 𝑥→𝑎

𝑛 = 𝑎 𝑛 𝟒. 𝑆𝑖 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 → lim 𝑥→𝑎

𝑛 = 𝐿 𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℤ

𝟓. 𝑆𝑖 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 → lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 𝐿, 𝐿 ≥ 0 , 𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝟔. Si 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥 𝑛

• 𝑎𝑛− 1 𝑥 𝑛− 1
• ⋯ + 𝑎 0 → lim 𝑥→𝑎

Ejemplos

1. lim

𝑥→ 2 𝑥 + 14 , lim 𝑥→− 1

2. lim

𝑥→ 1

3. lim

𝑥→ 2

4. lim

𝑥→ 0

5. lim

𝑥→ 1

2

• 2𝑥)

6. lim

𝑥→ 3 𝑥+ 7 𝑥− 1

7. lim

𝑥→ 2 𝑥+ 6 𝑥− 8

Técnicas de Cálculo Técnica de división: Consiste en factorizar el numerador o denominador y luego cancelar los factores comunes. lim 𝑥→ 3 𝑥 2 − 9 𝑥 − 3 Técnica de racionalización: Consiste en racionalizar el numerador o denominador de una función. lim 𝑥→− 1 𝑥 + 2 − 1 𝑥 + 1

Ejemplo

𝐿𝑖𝑚 𝑥→ 3 𝑥 3 𝑥^2 − 1 − 6 3 − 𝑥 𝐿𝑖𝑚 𝑥→− 2 3 3𝑥 + 5 + 𝑥 + 3 3 𝑥 + 1 + 1

Ejemplo

Límites Laterales

Límite Lateral Izquierdo:

𝑥→𝑎−^

Se lee: “el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 desde la izquierda, es igual a 𝐿 ” si podemos aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero menores que 𝑎.

Límites Laterales Si el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 existe, entonces es único.

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ lim

𝑥→𝑎 −

𝑓 𝑥 = lim

𝑥→𝑎

Límites Laterales Determine si existen los límites, según la gráfica de 𝑓.

a. lim

𝑥→ 1 −^

b. lim

𝑥→ 1 +^

c. lim

𝑥→ 1

d. lim

𝑥→ 3 −^

e. lim

𝑥→ 3 +^

f. lim

𝑥→ 3

Límites Infinitos Decimos que lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) es un límite infinito si 𝑓(𝑥) crece o decrece ilimitadamente cuando 𝑥 → 𝑎. Escribimos:

• lim 𝑥→𝑎

Es decir: 𝑓(𝑥) crece ilimitadamente cuando 𝑥 → 𝑎.

• lim 𝑥→𝑎

Es decir: 𝑓(𝑥) decrece ilimitadamente cuando 𝑥 → 𝑎.

Límites Infinitos-Asíntotas Verticales La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical a la gráfica de la función 𝑓 si se cumple algunos de los límites.

1. lim 𝑥→𝑎

2. lim 𝑥→𝑎

3. lim 𝑥→𝑎 +

4. lim 𝑥→𝑎 +

5. lim 𝑥→𝑎 −

6. lim 𝑥→𝑎 −

Límites al Infinito

Definición: Si 𝑓 es una función cuyo dominio es ilimitado superiormente, entonces el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima al más infinito, es el número 𝐿 escrito lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Definición: Si 𝑓 es una función cuyo dominio es ilimitado inferiormente, entonces el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima al menos infinito, es el número 𝐿 escrito lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Por tanto los límites al infinito definen asíntotas horizontales

Ejemplo

lim 𝑥→+∞

2 − 𝑥 − 2 9 𝑥 2

• 4𝑥 + 1

Ejemplo

lim 𝑥→∞

2

• 1 − 𝑥