¡Descarga Fisica Q0 Tema2 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
2. Moviment en dues i tres
dimensions
Resum te`oric
En el moviment rectilini expressem la posici´o d’un cos mitjan¸cant una ´unica funci´o x(t), mesurada respecte d’un eix. En el cas d’un moviment en dues o tres dimensions utilitzem dos o tres eixos respectivament. En general, donat un cert punt que prenem com origen, es defineixen tres eixos m´utuament perpendiculars (x, y, z), o eixos de coordenades. La posici´o del cos es representa pel seu vector posici´o ~r, que ´es el conjunt de les projeccions de la seva posici´o sobre cada un dels eixos de coordenades (tamb´e anomenades coordenades cartesianes o rectangulars) ,
~r ≡ (x, y, z).
Si el cos no esta en repos aquestes projeccions variaran amb el temps i aix´ı la seva posici´o vindr`a donada pel vector posici´o
~r(t) ≡ (x(t), y(t), z(t)),
que ens dona tota la informaci´o que necessitem sobre el cos en q¨uesti´o.
No sols la posici´o ve donada per un vector, sin´o tamb´e moltes altes quanti- tats d’interes com la velocitat, l’acceleraci´o i la for¸ca. Cal doncs fer un sumari informal d’algunes propietats basiques dels vectors. Si ens limitem inicial- ment al cas de dues dimensions, un vector ( A~) ve donat per dos nombres, les seves components cartesianes,
A^ ~ = (Ax, Ay).
Geometricament podem imaginar el vector com la fletxa que, partint de ori- gen de coordenades, arriba al punt (Ax, Ay). A partir de les seves components podem calcular el modul del vector, definit com
A ≡
√ A^2 x + A^2 y. (2)
Si pensem en el vector posici´o, el seu modul ens dona la distancia del cos a origen de coordenades (l’equaci´o (2) no ´es m´es que el teorema de Pitagores). Geometricament el modul representa la longitud de la “fletxa”. Tamb´e po- dem calcular l’angle entre el vector i per exemple l’eix x, vindra donat per
tan θ =
Ay Ax
Aquest angle, junt amb el m`odul, constitueixen les coordenades polars del vector. A partir d’aquestes podem tornar a obtenir les coordenades carte- sianes mitjan¸cant les relacions
Ax = A cos θ Ay = A sin θ.
En el cas de tres dimensions hi han relacions similars. La generalitzaci´o del concepte de m`odul ´es especialment senzilla
A ≡
√ A^2 x + A^2 y + A^2 z.
Totes aquestes propietats basiques ens permeten pensar en un vector com en un objecte que t´e una longitud (el seu modul), una direcci´o (especificada pels angles amb els eixos), i un sentit (des de l’origen cap el punt (Ax, Ay, Az )).
Els vectors es poden sumar, operaci´o que ´es especialment senzilla en termes de les seves components
A^ ~ + B~ = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz ).
Igualment es pot multiplicar un vector per un nombre (α), operaci´o que en termes de les components cartesianes s’expressa
α · A~ = (α · Ax, α · Ay, α · Az ).
En les formules (4) cal notar que la integraci´o es fa component a component, de la mateixa forma que la derivaci´o (equaci´o (3)) tamb´e es fa per com- ponents. Aixo implica que si per alguna component l’acceleraci´o ´es nul·la, llavors el cos tindra un moviment uniforme segons aquesta direcci´o. De forma similar si l’acceleraci´o ´es constant, el moviment ser`a uniformement accelerat. En ambd´os casos s’aplicaran les formules corresponents que hem vist en el cap´ıtol de moviment unidimensional. Un cas particularment interessant ´es el del moviment d’un cos prop de la superf´ıcie terrestre sota l’´unic efecte de la gravetat. Com el moviment resultant es pot veure que ´es bidimensional, necessitem ´unicament dos eixos. Si prenem l’eix x en la direcci´o horitzontal i l’eix y en la vertical (amb sentit positiu amunt), llavors la for¸ca de la gravetat (o pes) ve donada per P^ ~ = −mg~j.
De l’aplicaci´o de les expressions (4) resulta
~r(t) = (x(t), y(t)) = (x(t 0 )+vx(t 0 )·(t−t 0 ), y(t 0 )+vy (t 0 )·(t−t 0 )+
g 2
·(t−t 0 )^2 )
~v(t) = (vx(t), vy(t)) = (vx(t 0 ), vy(t 0 ) − g · (t − t 0 )),
on vx(t) i vy(t) representen les velocitats segons els eixos x i y respectivament.
1. La posició d’un objecte ve donada per les següents coordenades cartesianes: x = 2 m, y = 3 m, z = 1 m. (a) Escriviu el seu vector posició ( r v ) en els diferents notacions que conegueu. (b) Quina és la distància a origen?
Solució: (a) r i j km v v v v = 2 + 3 + = (2,3,1) m; (b) 3.74 m.
2. Donat el vector A i mj k
v v r v = + + 2 , calculeu m per tal que el seu mòdul sigui 3.
Solució: m =± 2
3. Dibuixeu el vector pertanyent al pla xy : A i j
v (^) v v = 4 + 3.
(a) Quant val el seu mòdul? (b) Quin angle forma amb l’eix x? (c) Determineu el seu vector unitari.
Solució: (a) 5; (b) 36.8o^ ; (c) i j
v v
- 8 + 0. 6
4. Expresseu en les seves components cartesianes dins el pla xy un vector de mòdul 5, que forma un angle de 37º respecte l’eix de les x.
Solució: A i j
v (^) v v = 4 + 3
5. Trobeu les components rectangulars dels vector situats al pla xy , de mòdul A i que formen un angle θ amb l’eix x , per als següents valors: (a) A = 10 m, θ = 30º (b) A = 5 m, θ = 45º (c) A = 10 m, θ = 240º (d) A = 8 m, θ = 270º
Solució: (a) (8.66, 5) m; (b) (3.54, 3.54) m; (c) (-5, -8.66) m/s; (d) (0,-8) m/s 2.
6. Sumeu i resteu els vectors A i j
v (^) v v = 3 + 3 i B i j
v v v = 3 − 3.
Solució: (a) i
v 6 ; (b) j
v
7. Donats els vectors A i j
v (^) v v = + i B mi j
v v v 2
= − , determineu m per a que el vector
C A B
v v v = 2 − 2 sigui unitari.
Solució: m= 1.
13. El vector de posició d’una partícula és: i j t k
t r v v v v cos( 3 ) 2
= + +. Trobeu la seva
velocitat i acceleració.
Solució: tk i v v v v 3 sin( 3 ) 2
= − ⋅ , t k dt
dv a v v v = =− 9 ⋅cos( 3 )
14. L’equació que defineix la trajectòria d’una partícula en el pla xy , referida a l’origen,
és: r t ti t t j v v v ( )= 5 +( 10 − 52 ) (SI). Determineu:
(a) l’equació de la trajectòria en la forma y = f(x) (b) les expressions dels vectors velocitat i acceleració.
Solució: (a) 5
x^2 y = x − ; (b) v i t j v v v = 5 +( 10 − 10 ) , a j v v = − 10.
15. Una partícula té una acceleració constant a i j v v = 6 + 4 m/s^2. En l’instant t = 0 , la
velocitat és zero i el vector posició es r i v v 0 =^10 m. Trobeu els vectors posició i la velocitat en qualsevol instant de temps.
Solució: v ( t ) 6 ti 4 t jm / s v v v = ⋅ + , r t t i t jm v 2 v 2 v ( )=( 10 + 3 ) + 2
16. El vector acceleració d’una partícula en moviment ve expressat en SI per: a t i j v v v = 2 ⋅( 182 + 1 ) + 9. Inicialment la seva velocitat és nul·la i el vector posició és r j k v v v 0 =^4 +^6 m. Determineu el vector velocitat i el vector posició en qualsevol instant de temps.
Solució: v ˆ^ = 2 ( 6 t^3 + t ) i ˆ+ 9 tj ˆ m / s , r ˆ^ = ( 3 t^4 + t^2 ) i ˆ+( 4. 5 t^2 + 4 ) j ˆ+ 6 k ˆ m.
17. Una força F i j
v (^) v v = 6 − 3 N actua sobre un objecte de 2 kg de massa. Trobeu el vector
acceleració i el seu mòdul.
Solució: a 3 i 1. 5 jm / s^2 v v v = − , 3.35 m/s 2.
18. Una partícula de massa 0.4 kg està sotmesa a dues forces, F i j
v (^) v v 1 =^ −^2 −^4 N i F i j
v (^) v v 2 =^ −^2.^6 +^5 N. Si la partícula parteix del repòs i de l’origen a l’instant^ t = 0 , trobeu la seva velocitat i la seva posició per t = 1.6 s.
Solució: v ( 1. 6 ) 18. 4 i 4 jm / s v v v = − + , r i jm v v v ( 1. 6 )=− 14. 72 + 3. 2
19. Una capsa de 20 kg està sobre un pla inclinat de 37º. Quina força paral·lela al pla s’hauria d’aplicar per a que la capsa pugi amb una acceleració de 1 m/s^2? Suposeu que no hi ha fregament.
Solució: 138 N.
20. Es mou una capsa de 20 kg amb una corda per sobre d’una superfície amb un coeficient de fregament dinàmic de 0.2. Si la tensió de la corda és de 100 N i l’angle que forma respecte la direcció horitzontal és de 37º, determineu l’acceleració de la capsa.
Solució: 2.63 m/s^2.
21. Tenim una força de 200 N, formant un angle de 37º amb l’horitzontal, que estira un bloc de 20 kg. Si aquest bloc està unit a un altre d’idèntic mitjançant un cable, calculeu la tensió d’aquest. El coeficient de fregament dinàmic és 0.1.
Solució: 85.8 N.
22. Un avió es mou horitzontalment a 3 km d’alçada i amb una velocitat de 340 m/s. Si cau un dels seus motors, calculeu a quina distància del punt inicial xocarà amb el terra.
Solució: 8.4 km.
23. Una pilota viatja una distància horitzontal de 17 m abans de tocar el terra. El punt en que ha estat llençada està 1.5 m per damunt del nivell del terra i l’angle de projecció era de 16 º. Quina era el mòdul de la seva velocitat inicial?
Solució: 15.5 m/s.
24. Es llença un objecte sota un angle de 45º amb una velocitat inicial de 20 m/s. (a) Calculeu la velocitat als 2 s. (b) Si quan arriba al terra es troba amb el començament d’un desnivell de 200 m de fondària, amb quina velocitat arriba al fons? Qui és l’abast?
Solució: (a) v 14. 14 i 5. 46 jm / s v v v = − ; (b) v 14. 14 i 64. 26 jm / s v r v = − , 113. 12 m.
a= 1m/s^2
