¡Descarga Fisica Q0 Tema3 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
3. Treball i energia
Resum te`oric
En el cas senzill d’un cos que fa un despla¸cament ∆x en l´ınia recta, el treball (W ) fet per una for¸ca constant F es defineix com
W = F · ∆x · cos θ, (5)
on θ ´es l’angle que formen la direcci´o del moviment i la for¸ca aplicada. Les seves unitats en el S.I. s´on el N·m o joule, J.
En el cas general d’una for¸ca variable i trajectoria arbitraria, el treball fet quan el cos es despla¸ca entre dos punts, 1 i 2, es defineix com la integral
W 12 =
∫ (^2)
1
F^ ~ · dr.~
Si el moviment ´es rectilini, caracteritzat per un vector ~l, que uneix els punts inicial i final, i la for¸ca ´es constant, aquesta integral es redueix a l’expressi´o
W 12 = F~ · ~l,
que no ´es m´es que la forma vectorial de l’expressi´o (5). En alguns casos ens pot interessar el treball fet per unitat de temps, o pot`encia (P ). Aquesta es determina a partir de la velocitat mitjan¸cant,
P = F~ · ~v,
i la seva unitat ´es el J· s o watt, W.
En les definicions anteriors el s´ımbol · indica el producte escalar de dos vectors. Aquest es defineix per dos vectors qualsevol, A~ i B~, com
A^ ~ · B~ ≡ A · B · cos θ,
on A i B s´on els moduls respectius, i θ l’angle que formen. Existeix una definici´o equivalent en termes de les components dels vectors en un sistema de coordenades cartesia,
A^ ~ · B~ = Ax · Bx + Ay · By + Az · Bz
El treball esta directament relacionat amb les variacions d’energia. L’energia cinetica ´es el tipus d’energia que t´e un cos pel fet de despla¸car-se a una certa velocitat, i es defineix per l’expressi´o
Ec ≡
mv^2.
El treball i l’energia cinetica estan relacionats mitjan¸cant el teorema de l’energia cinetica,
W 12 =
mv 22 −
mv 12 = Ec(2) − Ec(1),
on s’ha de tenir en compte que aquest ´es el treball realitzat per la for¸ca total que actua sobre el cos.
Hi ha un cert tipus de forces, anomenat forces conservatives, pel qual el treball realitzat no depen de la trajectoria que ha seguit el cos entre el punt inicial i final. Per aquest tipus de forces es pot definir una difer`encia d’energia potencial com
Up(1) − Up(2) ≡
∫ (^2)
1
F^ ~cons · dr,~ (6)
que s’interpreta com la variaci´o en l’energia del cos pel fet d’haver canviat la seva posici´o. Tot i que sols t´e sentit f´ısic la difer`encia d’energia, tamb´e es parla de l’energia potencial d’un cos respecte d’un cert origen amb valor
on Wnc ´es el treball de les forces no conservatives quan el cos s’ha despla¸cat des del punt 1 al punt 2. Aquest treball, igual a la disminuci´o d’energia mec`anica, es transforma en altres tipus d’energia, com calor, energia qu´ımica, etc. Aix´ı, l’energia total es mant´e constant, fet conegut com principi de conservaci´o de l’energia.
1. Per arrossegar un cos de 100 kg per un terreny horitzontal s’utilitza una força constant de 10 N que forma un angle de 45º amb l’horitzontal, calculeu: (a) el treball realitzat en 100 m. (b) Si aquest treball s’ha fet en 15 minuts, quant val la potència?
Solució: (a) 707 N; (b) 0.786 W.
2. Demostreu que el treball realitzat per elevar un cos una alçada h utilitzant un pla inclinat sense fregament és el mateix que al elevar-lo verticalment fins aquesta alçada.
Solució: mgh.
3. Calculeu el producte escalar dels vectors A i j k
v v v v = 4 + 8 − 2 i B i j k
v v v v = 6 − 2 + 4.
Solució: 0.
4. Donats els vectors A i j k
v (^) v v v = 5 + 3 + 4 i B i j k
v (^) v v v = 6 − + 2 determineu:
(a) el mòdul dels dos vectors (b) el seu producte escalar (c) l’angle que formen
Solució: (a) A = 50 , B = 41 , (b) 35; (c) 39.4 o^.
5. Un objecte es mou en línia recta realitzant un desplaçament donat per l i jm
v (^) v v = 3 + 4.
Determineu el treball realitzat per una força F i j N
v (^) v v = 8 − 8.
Solució: -8 J.
6. Calcular la força que s’oposa al moviment d’un cotxe que consumeix una potència de 20 CV quan circula a 72 km/h en una carretera horitzontal.
Solució: 75 kp.
7. Un projectil de 10 g de massa surt d’un canó de 100 cm de longitud a una velocitat de 500 m/s. Calculeu la força produïda per l’expansió dels gasos al explotar la pólvora i l’energia cinètica de la bala. Suposeu que la força durant el recorregut de la bala és constant.
Solució: 1250 N, 1250 J.
8. Un cotxe de 800 kg realitza una força de tracció de 120 kp i arrossega una rulot de 1000 kg amb una corda. Calculeu: (a) l’acceleració. (b) la tensió de la corda. (c) l’energia cinètica i la velocitat del conjunt després de recórrer 20 m si han partit del repòs.
Solució: (a) 0.653 m/s^2 ; (b) 653 N; (c)23508 J, 5.11 m/s.
e
