¡Descarga Fisica Q0 Tema1 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
1.Moviment unidimensional
Resum te`oric
Donat un cos, que prenem com puntual, la quantitat fonamental que ens interessa con`eixer ´es la seva posici´o en qualsevol instant de temps. Si el moviment es dona sobre una l´ınia recta podem utilitzar un eix (x) per repre- sentar la direcci´o del moviment. Aix´ı, la posici´o en funci´o del temps es pot expressar per la funci´o x(t).
A part de la posici´o hi han altres quantitats rellevants (i que com veurem es poden deduir d’ella). Una mesura aproximada de les caracter´ıstiques del moviment la constitueix la velocitat mitjana, vm, que es defineix com
vm ≡
∆x ∆t
on ∆x i ∆t s´on respectivament el despla¸cament net i el temps total transcor- regut. En el moviment uniforme la velocitat (v) que porta el m`obil es sempre la mateixa i igual a la seva velocitat mitjana. Per aquest tipus de moviment tenim la relaci´o
x(t) = x(t 0 ) + v · (t − t 0 ). (1)
Si la velocitat no ´es constant, obtindrem una mesura acurada de la velocitat en un cert instant si calculem la velocitat mitjana per intervals de temps molt curts (m´es rigorosament, fem el l´ımit ∆t → 0). D’aquest procediment en resulta la funci´o velocitat instant`ania
v(t) ≡ lim ∆t→ 0
∆x ∆t
dx(t) dt
Com es veu en la segona igualtat, aquesta ´es matematicament la derivada de la funci´o posici´o respecte del temps. Per tant, si coneixem x(t) podem obtenir la velocitat instantania f`acilment. Observeu per exemple com, en el moviment uniforme, si derivem l’equaci´o (1) en resulta la velocitat (constant).
En els casos on la velocitat no ´es constant, una mesura aproximada de la seva variaci´o la proporciona l’acceleraci´o mitjana. Aquesta es defineix com
am ≡
∆v ∆t
on ∆v ´es la variaci´o de la velocitat. Si aquesta acceleraci´o ´es independent de l’interval de temps utilitzat, i per tant constant (a), tenim el moviment uniformement accelerat. Per aquest es verifica
x(t) = x(t 0 ) + v(t 0 ) · (t − t 0 ) +
a 2
· (t − t 0 )^2
v(t) = v(t 0 ) + a · (t − t 0 ).
En general l’acceleraci´o no ´es constant, i es defineix l’acceleraci´o instant`ania com el l´ımit
a(t) ≡ lim ∆t→ 0
∆v ∆t
dv(t) dt
que com es veu, indica que l’acceleraci´o ´es la funci´o derivada de la velocitat.
En resum, tenim les seg¨uents equacions generals que relacionen la funci´o x(t) amb la velocitat i acceleraci´o instant`anies
v(t) =
dx(t) dt
a(t) =
dv(t) dt
L’analisi matematica ens indica que aquestes relacions es poden escriure en termes d’integrals com
x(t) = x(t 0 ) +
∫ (^) t
t 0
v(t)dt v(t) = v(t 0 ) +
∫ (^) t
t 0
a(t)dt.
D’aquestes expressions es despren que si coneixem a(t), mitjan¸cant integraci´o podem calcular v(t) i x(t). La importancia fonamental d’aquest fet rau en
stant`ania (α(t))
ω(t) ≡
dθ(t) dt
α(t) ≡
dω(t) dt
Amb les simples identificacions θ(t) ≡ x(t), ω(t) ≡ v(t), i α(t) ≡ a(t), totes les formules del moviment rectilini s´on tamb´e d’aplicaci´o al moviment circular. Tindrem aix´ı moviment circular uniforme, uniformement accelerat, etc. Les unitats respectives s´on θ (rad), ω (rad/s), α (rad/s^2 ). Si el que ens interessa ´es la dist`ancia recorreguda o arc (l) la relaci´o ´es
l = R · θ.
De forma similar, si ens interessa coneixer la velocitat (m/s) a la que es despla¸ca el mobil, tenim v = R · ω
1. La distància entre Sant Jaume de Frontanyà i Horta de Sant Joan és de 120 km. Si un cotxe ha trigat 3 h en anar i 3.5 h en tornar, sense aturar-se, calculeu (expressant els resultats en m/s): (a) la velocitat mitjana en el trajecte d’anada. (b) la velocitat mitjana en el trajecte de tornada. (c) la velocitat mitjana en el trajecte d’anada i tornada.
Solució: (a) 11.1 m/s; (b) 9.52 m/s; (c) 10.26 m/s.
2. Un cotxe que està recorrent 100 km en un dia ha fet els primers 50 km a 40 km/h. Quina velocitat haurà de portar en els 50 km següents per a obtenir una velocitat mitjana de 50 km/h?
Solució: 66.67 km/h
3. La llum viatja a una velocitat de 3 x 10 8 m/s. (a) Quan triga la llum a arribar des del Sol fins a la Terra, si estan separats una distància de 1.5 x 10 11 m? (b) Quan triga la llum a arribar de la Lluna a la Terra, si la distància és de 3.84 x 10 8 m?
Solució : (a) 8.33 min; (b) 1.28 s.
4. En un tram recte d’una carretera Mikel Indurain presegueix Jan Ullrich. Si els dos es mouen a una velocitat constant de 43.2 km/h i 36 km/h respectivament, calculeu el temps que trigarà Indurain en agafar Ullrich a partir del moment que els dos estan separats una distància de 100 m?
Solució: 50 s.
5. Un cotxe accelera constantment des del repòs a 8 m/s^2. (a) Quina velocitat té després de 10 s? (b) Quina distància ha recorregut en 10 s? (c) Quina és la seva velocitat mitjana en l’interval entre t = 0 i t = 10 s?
Solució: (a) 80 m/s; (b) 400 m; (c) 40 m/s.
6. Un objecte amb acceleració constant té una velocitat v = 10 m/s quan està a x = 6 m i v = 15 m/s quan està a x = 10 m. Quina és la seva acceleració?
Solució: 15.6 m/s^2.
7. Si una partícula parteix de l’estat de repòs: (a) Quant trigarà en recórrer 100 m si és accelerada a 10 m/s^2? (b) Quina és la velocitat quan ha recorregut 100 m? (c) Quina és la velocitat mitjana durant aquest temps?
Solució: (a) 4.47 s; (b) 44.7 s; (c) 22.4 m/s.
15. Una partícula descriu un moviment rectilini i el camí recorregut ve donat per l’expressió s = 4t 3 – 3t 2 – 6 , on s s’expressa en metres i t en segons. (a) Determineu les unitats de les constants de l’equació. (b) Si la partícula parteix del repòs, calculeu el temps que triga en adquirir una velocitat de 6 m/s. (c) Calculeu el valor de l’acceleració quan la velocitat és de 6 m/s. (d) Calculeu el desplaçament experimentat per la partícula en el cinquè segon.
Solució: (a) 4 m/s 3 , 3 m/s 2 , 6 m; (b) 1 s; (c) 18 m/s^2 ; (d) 419 m.
16. Un mòbil descriu un moviment rectilini que obeeix l’equació 8 6 2
x = − t + t + t −
(a) On és el mòbil a t = 0 s? (b) Quina velocitat té en aquest moment? (c) Quina és la posició màxima que assoleix a la dreta de l’origen? (d) En quin instant és nul·la la seva velocitat? (e) Quina és l’acceleració quan t = 2 s? (f) Quina es la distància recorreguda en els últims 4 s?
Solució: (a) – 6 m; (b) 8 m/s; (c) 14.1 m/s; (d) 8/3 s; (e) -7 m/s 2 ; (f) 32.2 m.
17. El moviment d’un punt material en trajectòria recta ve donat per l’equació
x ( t )= e^3 t − 5 (SI). Calculeu:
(a) les expressions de la velocitat i acceleració en termes del temps i la posició. (b) el valor de la velocitat i l’acceleració a l’instant inicial.
Solució: (a) v (t) = 3 e 3t^ , a (t) = 9 e 3t^ ; v (x) = 3x+15, a (x) = 9x+45; (b) v (0) = 3 m/s, a (0) = 9 m/s 2.
18. L’acceleració d’un mòbil en funció del temps és a(t) = 3t – 2 m/s^2. Si al començar a contar el temps el mòbil es troba 2 m a la dreta de l’origen, amb una velocitat de 3 m/s cap a l’esquerra, quina és la funció que ens dona la posició en funció del temps?
Solució: x (t) = ½ t 3 -t 2 -3t+2 m.
19. Un avió es mou seguint una trajectòria recta, de forma que l’equació de la velocitat en el SI ve donada per la funció: v(t) = 250 – 10t. Determineu: (a) La velocitat inicial. (b) La velocitat als instants t = 5 s i t’ = 10 s. (c) L’instant en que la velocitat és nul·la. (d) La velocitat per t = 30 s. (e) Determineu l’equació que relaciona la distància a l’origen i el temps, suposant que l’avió està a l’origen per t = 0. (f) Distància a l’origen quan la velocitat és 0. (g) Distància a l’origen per t = 30 s.
Solució: (a) 250 m/s; (b) v (5s) = 200 m/s, v (10s) = 150 m/s; (c) 25 s; (d) -50 m/s; (e) s (t)= 250t-5t^2 ; (f) 3125 m, 3000 m.
20. L’acceleració d’un coet ve donada per a=Ct , on C és una constant. (a) Trobeu la forma general de la funció posició x(t). (b) Trobeu la posició i la velocitat a t=5 s si x=0 i v=0 per t=0 , i C=3m/s^2.
Solució: (a) x (t) = (C/6)t^3 + Dt+ E; (b) v = 37.7 m/s, x = 62.5 m/s.
21. Expresseu 45 rpm en rad/s.
Solució: 4.71 rad/s.
22. Una partícula descriu una trajectòria circular de 3 m de radi. Si l’arc descrit en qualsevol instant ve donat per l’expressió l = t 2 +t+1 (SI), calculeu als dos segons de començat el moviment: (a) l’arc (b) l’angle (c) el mòdul de les velocitats lineal i angular.
Solució: (a) 7 m; (b) 133.7o^ ; (c) 5 m/s, 1.67 rad/s.
23. Un disc de 1m de radi gira amb una velocitat angular de 60 rpm. Calculeu: (a) la velocitat angular en rad/s. (b) la velocitat lineal d’un punt de la perifèria i d’un punt que està a 50 cm del centre (c) el nombre de voltes que dóna en 0.5 h
Solució: (a) 6.28 rad/s; (b) 6.28 m/s, 3.14 m/s; (c) 1800 voltes.
24. Un volant de 2 dm de diàmetre gira al voltant del seu eix a 3000 rpm. Si un fre el para en 20 s, determineu: (a) l’acceleració angular, si suposem que es manté constant. (b) el nombre de voltes donades pel volant fins que s’atura.
Solució: (a) 15.708 rad/s^2 ; (b) 500 voltes.
25. Es diu que uns executius de la casa Philips van preguntar al director d’orquestra vienès Herbert von Karajan quin havia d’ésser el màxim temps de música gravada en un CD. Ell els hi va contestar que una tecnologia moderna havia d’ésser capaç d’encabir en un sol CD tota la novena simfonia de Beethoven (72 min). Sabent que el CD es mou a una velocitat lineal constant de 1.2 m/s: (a) Calculeu la longitud total de les pistes. (b) Avalueu la velocitat de transferència a partir del temps que triga el feix làser en recórrer un forat de 0.833 μm de longitud (1 bit). (c) Sabent que la informació s’emmagatzema en una corona circular de diàmetre 5 cm i 11.6 cm, calculeu el nombre de pistes (distància entre pistes 1.6 μm). (d) Determineu les velocitats de rotació màxima i mínima.
Solució: (a) 5.18 km; (b) 1.44 Mbips; (c) 20625 pistes; (d) 458 rpm, 197.7 rpm.
