¡Descarga Forces centrals y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Forces Centrals
Sistema de 2 cossos: En general ja està estudiat
doncs hem vist un sistema de N partícules i podem fer N=2.
Les posicions de les dues partícules son i
Podem definir:
Posició del CM
Posició relativa de la partícula 1 respecte a la 2
Les velocitats i acceleracions es dedueixen fàcilment
r 1
ur
r 2
ur
R CM
ur
m 1
m 2
r 1
ur
r 2
ur
1 1 2 2
1 2
CM
m r m r R m m
=
ur ur ur
a = a 1 −a 2
r ur uur 1 1 2 2
1 2
CM
m v m v V m m
=
ur uur ur 1 1 2 2
1 2
CM
m a m a A m m
=
ur uur ur v = v 1 −v 2
r ur uur
r = r 1 −r 2
r ur ur
Les expressions inverses son fàcils d’obtenir
2 1 1 2
1 2 1 2
CM
CM
m r R r m m
m r R r m m
ur ur r
ur ur r
2 1 1 2
1 2 1 2
CM
CM
m v V v m m
m v V v m m
ur ur r
uur ur r
1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
CM ; CM ;
m m m m F m a m A a F m a m A a m m m m
uur ur ur r uur uur ur r
2 1 1 2
1 2 1 2
CM
CM
m a A a m m
m a A a m m
ur ur r
uur ur r
1 2 (^1 2 )^ CM
total^ CM
F F m m A
M A
uur uur ur
ur
Si només hi ha forces interiors:
També podem escriure: com
restant
F (^1) → 2 = F 12 i F (^2) → 1 =F 21
ur uur ur uur Ft = 0 ⇒ ACM = 0 ⇒ V (^) CM =cte
uur ur ur
m F 2 21 = m m a 2 1 1 i m F 1 12 = m m a 1 2 2
uur ur uur uur F 21 = − F 12 = Fint
uur uur uuur
( )
( )
( )
2 21 1 12 2 int 1 int 1 2 int 1 2 int 1 2 2 21 1 12 1 2 1 2 1 2
m F m F m F m F m m F m m F m m a m F m F m m a a m m a
− = + = + ⇒^ +^ = − = − = (^)
uuur uur uuur uuur uuur uuur r uuur uur ur uur r
1 2 int 1 2
m m F a a m m
= = μ
uuur r r
on m s’anomena massa reduïda
Si una de les masses (p.e. m 1 ) és molt més gran que l’altre , que és lo que
passa en el sistema Terra-Sol o protó-electró. Cas dels àtoms muònics
μ ≈m 2
2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
c CM CM
m m E m v m v m m V v MV v m m
= + = + + = + μ
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) CM CM CM CM
m m L r p r p m m R V r v R P r p m m
= × + × = + × + × = × + ×
ur ur uur ur uur ur ur r r ur ur r ur
Reducció al problema d’un cos
on
P = m v 1 1 + m v 2 2 = ( m 1 + m 2 )V CM = P CM i p = μ v
ur ur uur ur ur ur r
Si no hi ha forces externes, i en el sistema de referència del CM (^12)
E (^) c = μ v L = r × p = r × μ v
ur r ur r r
V (^) CM =cte
ur
Tot està referit solament a una partícula, l’altre és l’origen de coordenades. En un
sistema de partícules seguíem tenint N partícules referides al CM.
La integral en el primer tram és nul·la, i en el segon tenim F^ (^ ρ^ )^ ⋅^ d^ ρ^ =^ F^ (^ ρ^ )^ n^ ⋅^ d^ ρ^ = F^ (^ ρ^ )d ρ
ur ur r ur
2
1
r
r
V r − V r = F ρ d ρ
∫
Observis que hem reduït la integral en l’espai de 3 dimensions a una integral en 1 dimensió.
L’origen de potencials es pot agafar en l’origen de coordenades, o en un altre lloc. En particular per
forces del tipus F(r) = k/r^2 , com pot ser la força gravitatòria o l’electrostàtica, convé agafar l’origen
de potencials en l’infinit, ja que si agafem el zero tenim:
2 2 0 0
( ) ( ) 0
i agafant l'infinit
r r^ r r k k k k k k k k k V r d V r d r r r
ρ ρ ρ ρ (^) ∞ ρ ρ ∞
= − = − − = − = ∞ = − = − − = − = ∞
∫ ∫
Acabem de demostrar que per
2 1 2 1 2 0
( ) ( ) , per o
k k
F r V r k Gm m k q q
r r πε
Reducció a un moviment en el pla. En la transparència 9 de dinàmica es deia:
El vector posició i el vector velocitat determinen un pla, que conté a l’origen, el del paper. Si la força es radial també està en el paper El moment angular és perpendicular al paper i cap a dins El moment angular és perpendicular a la velocitat sempre La velocitat no pot sortir del paper, per tant la posició tampoc Si la força es radial el moviment és pla (passem de tres a dos dimensions) Les forces gravitatòries i electrostàtiques son radials
Les forces centrals ocasionen moviments plans, l’origen també està en el pla
Equacions del moviment sota forces centrals:
Es conserva el moment cinètic, en particular el mòdul L, i l’energia mecànica.
Fem servir coordenades polars. L’acceleració i la força son:
2 2 2 2 2 2
d r d dr d d a r n r r l dt dt dt dt dt
(^) θ (^) (^) (^) θ (^) θ = (^) − (^) + (^) + ^ ^ ^ ^ ^
r r r
F r( ) = F r n( )
ur r
De la 2ª equació de Newton
2 2
2
2 2 2
d r d m r F r dt dt
dr d d m r r dt dt dt
θ
θ θ
^
−^ =^
^ ^
+^ =
^ ^
Observis com tenim un sistema diferencial de 2 equacions amb 2 incògnites
necessitarem 4 condicions inicials.
Sabem que , la segona equació
diferencial no és res més que L = cte. Com
r t ( ) i θ ( )t
2 2 2 2 (^0 )
d dL d d dr d d L mr mr m r r dt dt dt dt dt dt dt
θ (^) θ (^) θ θ = ⇒ = = (^) = (^) + (^)
0
( ) 2 2 2 2 0 2 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
t t t
t t
d d L L dt L dt L dt mr L d d t dt dt mr m r t m r t m r t
θ
θ
θ θ θ θ θ θ
= =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ∫ ∫ ∫
Per trobar r(t) primer veiem que 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 2
dr d dr d dr d v n r l v v v r E mv V r m mr V r dt dt dt dt dt dt
θ (^) θ (^) θ = + ⇒ = ⋅ = (^) + (^) ⇒ = + = (^) + (^) +
r r r r r
Anàlisi gràfic de l’energia
Encara que estem davant d’un problema de 2 cossos en l’espai, hem pogut reduir- lo a un problema
d’una partícula tan sols en una dimensió. Ha calgut introduir els conceptes de:
Massa reduïda : Potencial efectiu :
L’origen de coordenades és l’altre partícula. Tot el sistema és mou com el CM. L’origen de
potencials està en l’infinit
Si k > 0 es tracta de una força repulsiva, el potencial és sempre positiu
Si k < 0 es tracta d’una força atractiva, el potencial és sempre negatiu
Si k = 0, no hi ha força i el moviment és rectilini ja que és constant. Aquest cas no l’estudiem.
Al potencial cal sumar- li el terme centrífug que és sempre positiu.
Observis que tendeix cap a infinit quan r tendeix cap a zero d’una manera més ràpida que
el potencial. Per tant el potencial efectiu és sempre positiu a distanciés suficientment
curtes de l’origen de coordenades.
Per lo contrari per domina el terme del potencial , i el potencial efectiu serà positiu o
negatiu, segons sigui k, a distàncies grans de l’origen de coordenades, però sempre tendirà cap a
zero.
Com és la distància a l’origen no te sentit valors negatius
2 ( ) (^2) 2
ef
k L V r r mr
= +
1 2
1 2
m m
m m
μ =
v
r
2
2 2
L
(^2) mr
2 2
L
mr
r → ∞
Vef ( )r → +∞
k r
r = r
r
distància
energia
Anàlisi gràfic de l’energia per forces repulsives k > 0
Anàlisi gràfic de l’energia per forces atractives k < 0
distància
Una corba és positiva i l’altre negativa
L’energia és positiva a petites distàncies i negativa a distàncies grans
La partícula pot tenir energies positives, negatives i zero.
Si E es positiva o zero, la partícula es mou des de l’infinit fins a un punt de retrocés. Distància mínima a l’origen. Les trajectòries son hipèrboles ( E > 0) o paràboles ( E = 0)
L’energia no pot ser inferior a un valor mínim Emin
Per 0 > E > Emin el moviment està acotar entre un mínim i un màxim
Les dues corbes son positives sempre
L’energia no es fa mai negativa
La partícula només pot tenir E > 0
La partícula es mou des de l’infinit fins a un punt de retrocés. Distància mínima a l’origen
Les trajectòries son hipèrboles
2
c
m
T r
k
D’aquesta relació surt la tercera llei de Kepler. Pels planetes al voltant del Sol, la força d’atracció
val
2 2
sol planeta^1 sol planeta
M m F G F k k GM m r r
= − ⇒ = − ⇒ =
Per tant
2
orbita planeta sol
T r
GM
Si k < 0 i 0 > E > Emi n, hi ha dos valors de r, un màxim i un mínim. L’òrbita està acotada per
aquests dos valors. Es tracta d’una el·lipse. S’anomena excentricitat de l’el·lipse a
max min
max
r r
r
ε
−
Realment els planetes no fan òrbites circulars, son el·lipses amb excentricitat molt petita. Els
planetes estan molt a prop del mínim d’energia.
La 3ª llei de Kepler es exacta si en lloc d’escriure ròrbita-planeta posem
Que és la mida del semi- eix més gran de l’el·lipse
2
r max rmin a
=
L’àtom de Bohr
L’electró gira al voltant del protó amb una òrbita circular degut a una força atractiva
qulombiana que val: amb
2 2 19 12 12 2 (^0 ) 0
C
, 1.60 10 C i 8.85 10 2.31 10 Nm 4 Nm
e k e ε k πε
− − − = = × = × ⇒ = ×
k k F r V r r r
31 1836 9.11 10 Kg 1836 1837
e p e p e e e e p
m M m M m m m m M
μ
− = × = ⇒ = = ≈
Condició de quantificació del moment
angular
34 , 1,2,3.... 1.055 10 Js 2 2
h h L n n π π
− = = = ×
En general , per a una òrbita circular
2 2 centrípeta
k
m r F F
r
2
L = mr θ &
2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 4
k L ( h / 2 ) ( h/ 2 )
n r n
mr m r m r mk
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
18 2 2 2 2
2 ( / 2 ) (^ / 2^ ) 2 ( / 2 )
2.18 10 J ;
n
n f i i f
L k n h k mk
E E
mr r h h h n
m n n
mk mk
h
E R E E E R
n n n n
π π^ π
−
⇒ = − × = − ∆ = − = = −
Formula de Balmer
