¡Descarga Oscil·ladors y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Oscil·ladors
Definició : Moviment unidimensional sotmès a la força f(x) = -kx
Es tracta del moviment d’una molla, agafant l’origen de coordenades en el punt
d’equilibri, x representa l’allargament respecte a la posició d’equilibri.
Si s’agafa un altre punt arbitrari com a origen de coordenades, la força be
donada per f(x) = -k(x-x 0 ) on x 0 és la posició del punt d’equilibri.
El significat del signe menys.
L’energia potencial serà V(x) = -1/2 kx 2
on agafem l’origen de treballs també en
la posició d’equilibri, que és l’origen de coordenades, V(0) = 0..
Introducció del fregament dinàmic
Introducció d’una força externa periòdica
agafant un origen de temps apropiat
Suma de forces externes. Desenvolupament de Fourier
Aproximació harmònica
f
dx F bv b dt
= − = −
Fext = F 0 cos ( ω f t + α )⇒ Fext = F 0 cos ω ft
Matemàtiques: Concepte d’equació diferencial.
La incògnita no és un número, és una funció i intervenen derivades
Equació diferencial d’ordre n (derivada més gran), primer grau (només potencies de
primer grau:
son funciones conegudes.
Si b(t) = 0 se li diu homogènia, i si no inhomogènia.
Teorema : El conjunt de solucions d’una equació diferencial homogènia forma un espai
vectorial de dimensió l’ordre de l’equació amb les operacions suma de funcions i
producte per un número
Demostració: Si son solució, també ho es
Si és solució i C és qualsevol constant, també ho es
0 també es solució
Existeix element invers, de
Es compleixen les propietats commutativa, associativa i distributiva
2
2
( ) ( ( ))
d x t m f x t dt
=
1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n (^) n n (^) n n n
d x t d x t d x t d x t dx t a t a t a t a t a t a t x t b t dt dt dt dt dt
− −
- (^) − (^) − + (^) − − + + + + =
ak ( ) it b t( )
x 1 ( ) it x 2 ( )t x 1 ( )t^ +x 2 ( )t
x t ( ) Cx t( )
x t ( ) → −x t( )
A > 0; − A ≤ x t( ) ≤ A
Qualsevol solució es podrà escriure com
Una altre manera d’escriure-ho. Recordem que
Fem
Anàlogament
x t( ) = C 1 cos ω t +C 2 sin ω t
cos (^) ( α + ϕ (^) )= cos α cos ϕ −sin α sin ϕ
α = ω t , C 1 = A cos ϕ i C 2 = A sin ϕ x t( ) = A cos ( ω t + ϕ )
sin (^) ( α + ϕ (^) ) = sin α cos ϕ + cos α sin ϕ α ; = ω t C , 2 = A cos ϕ i C 1 = A sin ϕ ; x t( ) = A sin( ω t+ ϕ )
En el primer cas
En el segon cas
2 1 2 2 1 1 1 1 1
tan c c tan arctan
C C C
C C C
−
1 1 1 1 2 1 2 2 1
tan tan ctan
s s s c
C C C
C C C
− −
Moviment periòdic/repetitiu.
Nomenclatura:
Amplitud: A màxima separació de la posició d’equilibri
Pulsació: relacionada amb el període i la freqüència
si T es el període, temps que triga en repetir-se el moviment.
x t( + T ) = A cos (^) ( ω ( t + T ) + ϕ (^) ) = A cos( ω t + ω T + ϕ )
x t( ) = C 1 cos ω t +C 2 sin ω t
ω
Anàlisis del moviment 2
2
( ) cos( ); ( ) sin( ); ( ) cos( )
x t A t v t A t a t A t
k
a t x t a t x t ma f kx
m
2 T 2 T
π ω π ω
= ⇒ = (^) Dimensions (^) [ T (^) ] = T ;[ ω (^) ] = T−^1
freqüència
1
2
f T
ω ν π
= = = Dimensions^ [^ ]^ [^ ]^
1 f ν T
− = =
Observis que 1 2 2
k m k T f m k m
ω π ν π
= ⇒ = ⇒ = =
Consideracions energètiques.
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) cos( ) ( ) cos ( )
( ) sin( ) sin ( ) sin ( )
c
total c c
x t A t V x kx kA t
v t A t E mv mA t kA t
E V x E kA V x kA E kA
Moviment circular uniforme i moviment harmònic simple
θ
θ θ (^) θ
θ = ω t+ ϕ x = A cos θ = A cos( ω t+ ϕ )
El pèndul simple
Una massa que penja d’un fil. Actua g i la tensió
del fil. Com a resultant només força tangencial θ
x mg
f mg mg x x
L L
≈ − θ = − = − =k
1 2 ; 2
k g L g T m L g L
ω π ν π
= = ⇒ = =
Si l’angle és petit, o sigui l’amplitud petita sin θ ≈ θ
f = −mg sin θ
L
Mg
El pèndul físic
Un sòlid rígida massa M que penja d’un punt fix que està a una
distància d del CM del sòlid. Actua g.
El sòlid es pot moure al voltant del punt fix, de fet gira al voltant d’un eix que passa pel punt fix i és perpendicular a la vertical.
N = I α
Mgd I Mgd
T
I Mgd I
θ
Mg
Sigui I el moment d’inèrcia del sòlid respecte a l’eix de gir i el moment del pes. El
moviment haurà de ser:. Com
En l’aproximació d’oscil·lacions petites. Per tant
2
sin sin (^2)
d N Mgd Mgd I dt
θ = − θ ⇒ θ =
sin θ = θ
2
2
d Mgd
dt I
k
M
θ = − θ = − θ
Noteu que l’angle que fan d i Mg és π − θ
La freqüència angular (que no la velocitat angular) serà
Oscil·lacions d’una barra de massa M i longitud L que penja a una distància d del CM.
2 2 2 2 2 2
2 2
CM ps CM
gd I ML I I Md ML Md M L d
L d
ω
0
0,
0,
0,
0,
1
1,
1,
t = 0 ⇒ x (0)= C 1 +C 2
Observis que tendeix cap a 0 més ràpidament que per tant per t gran
domina el terme en C 1.
x ( t), com a màxim només es fa zero un cop.
( )t e
− γ − φ
( )t e
− γ + φ -1,
-0,
-0,
-0,
-0,
0
0,
0,
k = 1, m = 1, b = 3, C 1 = 0.3, C 2 = 1 k = 1, m = 1, b = 3, C 1 = 0.3, C 2 = − 1
2 b = 4 km
( ) ( ) ( ) (^1 )
t t x t C e C e
− γ + φ − γ − φ = +
MOVIMENT HARMÒNIC CRÍTICAMENT ESMORTEÏT
( )t e
− γ + φ
k = 1, m = 1, b = 2, C 1 = 0.3, C 2 = − 1
-2,
-1,
-0,
0
0,
1
1,
0
0,
1
1,
2
2,
3
3,
k = 1, m = 1, b = 2, C 1 = 0.3, C 2 = 1
2 MOVIMENT HARMÒNIC MOLT ESMORTEÏT (fregament gran) b > 4 km
. Per , per ( ) ( ) ( ) (^1 )
t t x t C e C e
− γ + φ − γ − φ = + t^ → ∞ ⇒^ x(^ ∞ →)^0
( ) ( ) ( ) (^1 )
t t x t C e C e
− γ + φ − γ − φ = +
( ) ( 1 2 ) (^). Per , per t → ∞ ⇒ x ( ∞ →) 0
t x t C C t e
− γ = + (^) t = 0 ⇒ x (0)=C 1
Observis que tendeix cap a 0 més ràpidament que tendeix cap a infinit. Com a màxim la recta només es fa zero en un punt, i per tant x(t) només s’anul·la un cop.
t e
− γ
C 1 +C t 2
Observis que els valors de A i a NO tenen res a veure amb les condicions inicials, estan relacionats amb la força externa.
La solució serà per tant , on hem vist que la solució de la homogènia sempre tendeix cap a zero. Transcorregut suficient temps , i tenim un moviment harmònic simple de pulsació la de la força externa i d’amplitud A.
x (^) p ( )t = A sin( ω (^) f t − α ) +xh ( ;t C 1 , C 2 )
MOVIMENT HARMÒNIC FORÇAT
A més de les forces s’introdueix una força externa depenent del temps normalment
2
2 ( ),
d x dx m b kx F t dt dt
− kx i −bv^ +^ +^ =
Les solucions no formen espai vectorial. Es fàcil veure que restant dues solucions s’obté una solució de l’equació homogènia. La solució es pot escriure (^) { x t( ) (^) } = x (^) p ( )t +{ x (^) h( ,t C 1 , C 2 )}
F t ( ) = Fe cos ω ft
Hem de trobar una solució particular, i la buscarem del tipus x p ( )t = A sin( ω ft− α )
( )
2 2 0
2 2 2 2 2 0
i tan
e f
f f f
F
m
A
x (^) p ( )t ≈ A sin( ω (^) ft− α )
Observis que si g és petita i el valor de l’amplitud tendeix cap a infinit. A aquest fet se li diu ressonància.
Desenvolupament de Fourier
Aproximació harmònica. Desenvolupament de Taylor al voltant d’una posició d’equilibri
(^2) f = −kx 1 ( ) ( ) 2
V x ≈ V a + k x −a
2 3 2 3 2 3
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3! a a (^) a a
dV x d V x d V x V x V x a x a x a dx dx dx
^ ^ = + (^) − + (^) − + (^) − + (^)
K
2 2 2 2 2
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2
a amb a a
d V x d V x V x V x a dx dx
≈ + (^) − (^) > 2 ^
2 0
( )
x a
d V x k dx (^) = =
= (^)
