CB-Matem´aticas Formulario
Funciones
Operaciones con funciones:
- Algebraicas: (f±g)(x) = f(x)±g(x),(fg)(x) = f(x)g(x),(f
g)(x) = f(x)
g(x)con g(x)= 0
- Composici´on de dos funciones: (f◦g)(x) = f(g(x)) rango de gtiene intersecci´on con el dominio de f
Transformaciones:
- Traslaciones: horizontales, y=f(x∓c) (drcha,izda), verticales, y=f(x)±c(arriba,abajo)
- Reflexiones: eje OX,y=−f(x), eje OY ,y=f(−x)
- Dilataciones o contracciones horizontales de factor cson:
y=f(cx) es dilataci´on si c < 1 y contracci´on si c > 1
- Dilataciones o contracciones verticales de factor cson:
y=cf(x) es dilataci´on si c > 1 y contracci´on si c < 1
Aproximaci´on
- Interpolaci´on de Lagrange: (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3), ..., (xn+1, yn+1), p(xi) = yi,1≤i≤n+ 1
p(x) =
n+1
∑
i=1
yili(x), li(x) =
n+1
∏
j=1,j=i
(x−xj)
(xi−xj)
- Ajuste por el m´etodo m´ınimos cuadrados (donde tomamos yi=f(xi), i= 1, . . . , n):
Recta y=f(x) = ax +b: Par´abola f(x) = ax2+bx +c:
a
n
∑
i=1
xi+bn =
n
∑
i=1
yi
a
n
∑
i=1
x2
i+b
n
∑
i=1
xi=
n
∑
i=1
xiyi
a
n
∑
i=1
x2
i+b
n
∑
i=1
xi+cn =
n
∑
i=1
yi
a
n
∑
i=1
x3
i+b
n
∑
i=1
x2
i+c
n
∑
i=1
xi=
n
∑
i=1
xiyi
a
n
∑
i=1
x4
i+b
n
∑
i=1
x3
i+c
n
∑
i=1
x2
i=
n
∑
i=1
x2
iyi
- Ajuste reduciendo la funci´on a lineal:
Ajuste a una funci´on y=axb
Y=A+bX, Y = logy, A = log a, X = log x
Ajuste a una funci´on y=abx
Y=A+Bx, Y = log y, A = loga, B = log b
Ecuaciones en diferencias
soluci´on = soluci´on homog´enea + soluci´on particular
- Soluci´on de la homog´enea yh(k):
Primer orden: ecuaci´on caracter´ıstica de grado 1, soluci´on s:yh(k) = Csk
Segundo orden: ecuaci´on caracter´ıstica de grado 2, dos soluciones. Casos posibles:
1. dos ra´ıces reales y distintas s1ys2:yh(k) = C1sk
1+C2sk
2
2. ra´ız real doble s:yh(k) = C1sk
1+C2ksk
1
3. dos ra´ıces complejas conjugadas s1=a+ib,s2=a−ib:
yh(k) = C1rkcos (kα +C2), r =√a2+b2, α = arctan (b/a)
- B´usqueda de una soluci´on particular yp(k) (cualquier orden):
1. si el segundo miembro es h(k) = dkydno es soluci´on de la caracter´ıstica, ensayamos yp(k) = Adk
2. si es h(k) = skyses soluci´on de la caracter´ıstica, ensayamos yp(k) = Akdk, aumentando el grado de kpor cada
una de las veces que est´a repetida la ra´ız
3. si es un polinomio de grado nen khay que ensayar un polinomio de grado nen k
4. si h(k) es la suma de funciones conocidas ensayaremos como soluci´on particular la suma de las soluciones parti-
culares para cada funci´on
5. si fallan las soluciones anteriores propuestas, las multiplicamos por k,k2,... hasta que alguna funcione